Galileo Galilei
Rwnanie zachowania energii (rwnanie Bernoulliego)
Przewidywanie zachowania siħ ukþadw fizycznych zawsze zaprzĢtaþo gþowy
naukowcw. Aby moŇna byþo prognozowaę przebieg zjawisk fizycznych najpierw
naleŇy umieę prawidþowo opisywaę ich stan bieŇĢcy. JednĢ z dziedzin, gdzie stosuje siħ
prognozowanie zachowaı ukþadu jest modelowanie numeryczne dynamiki przepþywu
wody. ZmierzajĢ one do symulowania reŇimu przepþywu wody poprzez okreĻlenie
parametrw takich jak napeþnienie, ciĻnienie, prħdkoĻę przepþywu, natħŇenie przepþywu
w kaŇdym punkcie w przestrzeni i w dowolnym czasie.
Dziħki rozwojowi technik komputerowych moŇliwe staþo siħ modelowanie
numeryczne w ukþadzie jednowymiarowym (1D), dwu- i trzy-wymiarowym (2D i 3D).
Modele te rŇni stopieı skomplikowania opisu matematycznego przebiegu zjawiska,
iloĻę danych wejĻciowych, sposb wizualizacji danych ... Obecnie stosowane modele
hydroinformatyczne umoŇliwiajĢ symulowanie ukþadu zwierciadþa wody w warunkach
ustalonego i nieustalonego przepþywu wody, transportu rumowiska, meandrowanie
koryt rzek itp. W obliczeniach uwzglħdnia siħ ruch spiralny wody, zmianħ wartoĻci
szorstkoĻci podþoŇa w czasie przejĻcia fali powodziowej i wiele innych zjawisk
towarzyszĢcych przepþywowi. .... SĢ to skomplikowane modele numeryczne.
Zanim rozpoczniemy przygodħ z modelowaniem numerycznym przepþywu wody
i bħdziemy odpowiedzialni za wyniki obliczeı (czytaj: zarabiaę) musimy cofnĢę siħ w
czasie do XVIII wieku, kiedy Daniel Bernoulli (ur. 8 lutego 1700 w Groningen, zm. 17
marca 1782 w Bazylei) Î szwajcarski matematyk i fizyk podaþ rwnanie ruchu
stacjonarnego cieczy idealnej zwane rwnaniem Bernoulliego (1738 rok). Rwnanie to
zostaþo wyprowadzone dla cieczy idealnej. Przepþyw wody jest na tyle
skomplikowanym zagadnieniem, Ňe wydawaþo siħ niemoŇliwe jego numeryczne
opisanie. Wprowadzono, wiħc pojħcie cieczy idealnej. Ciecz idealna jest wytworem
wyobraŅni ludzkiej: taka ciecz nie ma lepkoĻci, jest nieĻciĻliwa, ma jednakowa għstoĻę
w caþej swojej objħtoĻci, nie posiada zanieczyszczeı.
Ciecz idealnĢ od cieczy rzeczywistej najbardziej rŇni brak lepkoĻci. Przy
ciĻnieniach wystħpujĢcych w przyrodzie, np. wodħ moŇna uznaę za ciecz nieĻciĻliwĢ,
rŇnice għstoĻci w danej objħtoĻci wody teŇ moŇna uznaę za wielkoĻę nieznaczĢcĢ, ale
pominiħcie lepkoĻci prowadzi do niezgodnoĻci wynikw obliczeı z wynikami
pomiarw a czħsto do paradoksw. W nastħpnych latach zmodyfikowano rwnanie
wzbogacajĢc je o czþon uwzglħdniajĢcy wpþyw lepkoĻci cieczy na warunki jej
przepþywu.
1. Wprowadzenie
NajprostszĢ postaciĢ zapisu rwnania Bernoulliego dla cieczy idealnej w ruchu
ustalonym jest:
E = staþa dla strug cieczy
(1)
ktre oznacza, Ňe w ruchu ustalonym cieczy idealnej energia E poruszajĢcych siħ w
strudze czĢstek pþynu jest wartoĻciĢ staþĢ. Energia ta jest sumĢ wielkoĻci, ktrych
zaleŇnoĻę opisana jest wzorem:
u
2
2
p
E
=
+
+
gz
=
const
(2)
r
JeŇeli rwnanie (2) pomnoŇymy stronami przez masħ m, għstoĻę r lub podzielimy przez
przyĻpieszenie ziemskie g rwnanie to przeksztaþca ciħ do postaci odpowiednio (3), (4)
lub (5).
Po pomnoŇeniu stronami przez masħ m otrzymujemy:
m
u
2
2
mp
+
+
gz
=
const
(3)
I
g
I
I
energia
potencjala
energia
kinetyczna
praca
siþ
ciĻiĻnieni
ych
Pierwszy czþon w rwnaniu 3 wyraŇa energiħ kinetycznĢ, ostatni energiħ potencjalnĢ.
Suma tych dwch elementw stanowi energiħ mechanicznĢ. WyraŇenie mp/
g
jest to
praca siþ ciĻnieniowych. CaþoĻę to rwnanie zachowania energii mechanicznej.
W przypadku, gdy obie strony rwnania pomnoŇymy przez għstoĻę oĻrodka r
poszczeglne czþony rwnania reprezentujĢ ciĻnienia: dynamiczne, statyczne i
hydrostatyczne, razem stanowiĢ ciĻnienie caþkowite.
ru
2
2
+
I
+
g
z
=
const
(4)
I
ciĻiĻnien
statyczne
ciĻiĻnien
hydrostaty
czne
ciĻiĻnieni
e
dynamiczne
Po podzieleniu obu stron rwnania (2) przez przyĻpieszenie ziemskie g kolejne
wyraŇania w rwnaniu (5) oznaczajĢ wysokoĻci: prħdkoĻci, ciĻnienia i poþoŇenia.
u
2
2
p
+
+
z
=
const
(5)
g
g
I
I
wysokoĻy
poþoþoŇen
wysokoĻy
prħrħdkoĻ
wysokoĻy
ciĻiĻnien
Sprawdzamy jednostki:
u
2
(
m
)
2
m
2
s
2
p
N
N
m
3
2
¼
s
=
=
m
,
¼
m
=
=
m
,
z
¼
m
2
g
m
s
2
m
g
N
m
2
N
s
2
m
3
JednostkĢ kolejnych czþonw rwnania (5) jest [m], czyli dþugoĻę (wysokoĻę). Z tego
wzglħdu istnieje moŇliwoĻę wykonania wykresu (Rys.1), ktry bħdzie reprezentowaþ
rwnanie Bernoulliego (wykres Ancony). JednoczeĻnie naleŇy zaznaczy, Ňe ta postaę
rwnania Bernoulliego jest najbardziej czytelnym zapisem pozwalajĢcym na szybkĢ
jego interpretacje i znajduje szerokie zastosowanie Stosujemy je do obliczeı
parametrw przepþywu w przewodach zamkniħtych (przepþyw odbywa siħ pod
ciĻnieniem) jak i korytach otwartych (ze swobodnym ukþadem zwierciadþa wody).
W czasie rozwiĢzywania zadaı najczħĻciej korzystamy z rwnania Bernoulliego
w postaci (5) wyprowadzonym dla dwch kolejnych przekrojw poprzecznych. Dla
wybranej linii prĢdu cieczy idealnej energia nie zmienia siħ ani w przestrzeni ani w
czasie, czyli w kolejnych punktach energia jest staþa E
1
=E
2
=E
3
= È E
n
. Indeksy
oznaczajĢ kolejne przekroje. Dla dwch wybranych przekrojw energia jest staþa:
E
1
=E
2
(6)
I
p
I
Po podstawieniu wzoru (5) do rwnania (6) otrzymujemy
u
2
1
+
p
1
+
z
=
u
2
2
+
p
2
+
z
(6a)
2
g
g
1
2
g
g
2
Rys.1. Wykres linii ciĻnieı i linii energii dla cieczy idealnej
Zasadħ zachowana energii dla cieczy idealnej przedstawiono graficznie na Rys. 1. Linia
energii dla cieczy idealnej jest liniĢ poziomĢ, poniewaŇ E
1
=E
2
. Rzħdna linii energii w
kaŇdym punkcie linii prĢdu (osi przewodu) zaleŇy od wartoĻci prħdkoĻci w przekroju,
ciĻnienia oraz poþoŇenia przekroju. Ze wzglħdu na zmiennĢ geometriħ przekroju
poprzecznego pþynĢcej strugi prħdkoĻę przepþywu wody w przekroju 1-1 jest inna niŇ w
przekroju 2-2. Z warunkw przepþywu wynika, Ňe prħdkoĻę w przekroju 1-1 jest
wiħksza niŇ w przekroju 2-2 (mniejsze pole powierzchni przekroju strugi wiħksza
prħdkoĻę przepþywu wody, wiħksze pole powierzchni mniejsza prħdkoĻę). JednoczeĻnie:
u
2
1
>
u
2
2
2
g 2
g
Zmiany prħdkoĻci pociĢgajĢ za sobĢ zmiany ciĻnienia w poszczeglnych przekrojach:
p
<
1
p
2
g
g
Pomimo zmian poþoŇenia przekrojw z
1
i z
2
, wartoĻci prħdkoĻci v
1
i v
2
oraz ciĻnieı p
1
i
p
2
suma energii dla cieczy idealnej w kolejnych przekrojach jest niezmienna.
W rwnaniu (6a) wystħpuje szeĻę zmiennych: dwie prħdkoĻci v, dwa ciĻnienia p i dwie
wysokoĻci z. W celu redukcji ich iloĻci wybiera siħ przekroje oraz przyjmuje poziom
porwnawczy w charakterystycznych miejscach. Przykþad objaĻniajĢcy procedurħ
obliczeniowĢ przedstawiono poniŇej.
2.1. Przykÿad 1
Obliczyę wartoĻę natħŇenia przepþywu
na wylocie z rurociĢgu dla schematu
pokazanego na Rys. 2 (ciecz idealna)
dla nastħpujĢcych danych;
h
1
= 3,0 m,
h
2
= 1,5 m,
l
1
= 2,0 m,
l
2
= 14 m,
d = 2,5 cm.
Rys.2. Schemat obliczeniowy
WartoĻę przepþywu Q [m
3
ßs
-1
] obliczymy ze wzoru:
F
=
u
(7)
gdzie; v - prħdkoĻę przepþywu wody [mßs
-1
],
F
Î pole powierzchni przekroju strugi [m
2
].
Pole powierzchni traktujemy jako wielkoĻę o znanej wartoĻci Î znamy Ļrednicħ
przewodu. PrħdkoĻę przepþywu wody obliczymy wykorzystujĢc rwnanie Bernoulliego.
W celu jego zastosowania naleŇy przyjĢę poziom porwnawczego oraz wybraę
przekroje poprzecznych, w ktrych bħdziemy wykonywaę obliczenia.
Przekroje poprzeczne przyjmujemy
zawsze prostopadle do kierunku
przepþywu strugi (Rys. 3), w miejscach
charakterystycznych, to znaczy jeden w
miejscu gdzie chcemy coĻ obliczyę,
kolejny (poprzedni lub nastħpny) w
miejscu gdzie znane sĢ jakiekolwiek
parametry. Lokalizacja przekrojw
obliczeniowych wpþywa na wynik
obliczeı, nie kaŇda para przekrojw
prowadzi do rozwiĢzania, w skrajnych
przypadkach mogĢ pojawię siħ
sprzeczne wyniki.
Poziom porwnawczy jest to pozioma
pþaszczyzna. Od pþaszczyzny tej liczyę
bħdziemy poþoŇenie przekrojw z.
Przyjħcie poziomu porwnawczego nie
wpþywa na wynik obliczeı, jedynie ma
wpþyw na ich przebieg (prostotħ lub
stopieı skomplikowania).
Rys.3. Przekroje poprzeczne prostopadþe do kierunku
przepþywu
Procedurħ obliczeniowĢ zwiĢzanĢ z obliczeniem prħdkoĻci przepþywu (wykorzystaniem
rwnania Bernoulliego) przeprowadzimy w nastħpujĢcych etapach:
Q
Etap 1 Î wybr przekrojw poprzecznych
Obliczenia przeprowadzimy dla dwch
wybranych przekrojw poprzecznych.
Pierwszy z nich zostanie zlokalizowany
w miejscu, gdzie spodziewamy siħ
okreĻlię szukanĢ wartoĻę, czyli
prħdkoĻę przepþywu (a nastħpnie
natħŇenie przepþywu). Miejscem tym
jest wylot z rurociĢgu Î przekrj 23-23.
Przy wyborze drugiego bħdziemy
kierowaę siħ ádostħpnoĻciĢ danych
wyjĻciowychÑ. NaleŇy pamiħtaę, Ňe w
rwnaniu Bernoulliego wystħpuje szeĻę
niewiadomych. Redukcja ich iloĻci jest,
wiħc kluczowym zagadnieniem. Wynika
z tego, Ňe korzystnie byþoby
zlokalizowaę ten przekrj w miejscu
gdzie dostħpna jest informacja o stanie
ukþadu. Dla naszego ukþady takim
miejscem jest zwierciadþo wody Î
ciĻnienie na jego powierzchni
odpowiada ciĻnieniu atmosferycznemu
oraz znane jest napeþnienie. Przekrj ten
oznaczymy 7-7 (bħdzie to przekrj
poczĢtkowy).
Rys.4. Wybr przekrojw poprzecznych
Etap 2 Î przyjħcie poziomu porwnawczego
Poziom porwnawczy jest poziomĢ pþaszczyznĢ odniesienia, sþuŇĢcĢ do lokalizacji
przekrojw. Jej usytuowanie nie wpþywa na wynik, kaŇda speþni swoje zadanie. Ale
pamiħtajĢc o potrzebie redukcji niewiadomych w rwnaniu Bernoulliego wskazane jest
jej usytuowanie w miejscach charakterystycznych. Wariantowe przyjħcia poziomu
porwnawczego przedstawiono na Rys. 5 i b.
b)
Rys.5. Przyjħcia poziomu porwnawczego, a) na dowolnej wysokoĻci, b) w osi przewodu, w przekroju 23-23
Z analizy Rys. 5a wynika, Ňe odlegþoĻę z
23
nie jest znana. Co prawda odlegþoĻę ta
zredukowaþaby siħ w rwnaniu Bernoulliego, ale bħdziemy stosowaę rozwiĢzania
najefektywniejsze. Z tego wzglħdu rekomendowane jest przyjħcie poziomu
porwnawczego w osi przewodu, w przekroju 23-23.
Etap 3 Î oszacowanie wartoĻci
zmiennych w rwnaniu Bernoulliego,
Dla tak wybranych przekrojw i
przyjħtego poziomu porwnawczego
(Rys. 5b) szacujemy wartoĻci