prawdopodobie«stwaistatystyki
matematycznej
WojciechMłocek
wojciech.mlocek@ur.krakow.pl
KamilaPiwowarczyk
kamila.piwowarczyk@ur.krakow.pl
AgnieszkaRutkowska
rmrutkow@cyf-kr.edu.pl
UniwersytetRolniczywKrakowie
KatedraZastosowa«Matematyki
Kraków2007-2011
Spistre±ci
Wst¦p.................................................... 3
1.Rachunekprawdopodobie«stwa.................................... 4
1.1.Klasycznadefinicjaprawdopodobie«stwa............................ 4
1.2.Prawdopodobie«stwogeometryczne............................... 4
1.3.SchematBernoulliego...................................... 6
1.4.Prawdopodobie«stwowarunkowe.Zdarzenianiezale»ne.................... 6
1.5.Prawdopodobie«stwocałkowite.WzórBayesa......................... 7
2.Zmiennelosowe............................................. 9
2.1.Zmiennelosowedyskretne.................................... 9
2.2.Zmiennelosoweci¡głe...................................... 11
2.3.Nierówno±¢Czebyszewa.Twierdzeniagraniczne........................ 16
2.4.Estymatory............................................ 19
3.Charakterystykipróby......................................... 20
4.Przedziałyufno±ci ........................................... 23
4.1.Przedziałyufno±cidla±redniej ................................. 23
4.2.Przedziałyufno±cidlawariancjiiodchyleniastandardowego................. 24
4.3.Przedziałyufno±cidlawska¹nikastruktury.......................... 25
4.4.Minimalnaliczebno±¢próby................................... 25
5.Parametrycznetestyistotno±ci .................................... 27
5.1.Testyistotno±cidla±redniej................................... 27
5.2.Testyistotno±cidladwóch±rednich............................... 29
5.3.Testyistotno±cidlawariancji .................................. 32
5.4.Testyistotno±cidladwóchwariancji .............................. 33
5.5.Testyistotno±cidlawska¹nikastruktury............................ 34
5.6.Testyistotno±cidladwóchwska¹nikówstruktury....................... 35
6.Nieparametrycznetestyistotno±ci................................... 36
7.Korelacjairegresjaliniowa...................................... 43
8.Analizawariancjizklasyfikacj¡pojedyncz¡............................. 46
Dodatek................................................... 48
Wzorystatystyczne........................................... 48
Tablicestatystyczne.......................................... 49
Katalogwybranychrozkładówprawdopodobie«stwa........................ 55
Zasadytworzeniaszeregówrozdzielczych............................... 56
Charakterystykiliczbowepróby.................................... 57
Spisoznacze«.............................................. 58
Odpowiedzidozada«........................................... 59
Literatura.................................................. 75
'CopyrightbyW.Młocek,K.PiwowarczykandA.Rutkowska
Wst¦p
Zbiórzada«zrachunkuprawdopodobie«stwaistatystykimatematycznejjestprzeznaczonydla
studentówkierunkówprzyrodniczychitechnicznych.Podlegaonaktualizacji,bie»¡cawersja
znajdujesi¦nastronie
Zbiórskładasi¦z8rozdziałówpo±wi¦conychm.in.rachunkowiprawdopodobie«stwa,zmiennym
losowym,charakterystykompróby,przedziałomufno±ci,parametrycznyminieparametrycznym
testomistotno±ci,korelacjiiregresjiliniowej,analiziewariancji.Nako«cuzbioruzamieszczony
zostałdodatek,któryzawierawzoryitablicestatystyczne,charakterystyk¦niektórychrozkładów
prawdopodobie«stwa,zasadytworzeniaszeregówrozdzielczychorazcharakterystykiliczbowe
próby.
Wi¦kszo±¢zada«posiadaodpowiedzi.Ostatecznywynikwodpowiedziachpodawanyzprzybli-
»eniem±wiadczyodokonywaniuichzdokładno±ci¡do2-golub3-gomiejscapoprzecinkuna
ka»dymetapieoblicze«.Jedyniewrozdziale„Charakterystykipróby”zaokr¡glanojezdokład-
no±ci¡ojedenrz¡dwy»sz¡ni»warto±cipróby.
Autorzyb¦d¡wdzi¦cznizawszelkieuwagiisugestiedotycz¡cezada«lubodpowiedzi.Uwagi
mo»naprzesyła¢naadres
wojciech.mlocek@ur.krakow.pl
.
Autorzy
'CopyrightbyW.Młocek,K.PiwowarczykandA.Rutkowska
1.Rachunekprawdopodobie«stwa
1.1.Klasycznadefinicjaprawdopodobie«stwa
1.
Egzaminatorprzygotował20pyta«,zktórychzdaj¡cylosuje3.Jakiejestprawdopodobie«-
stwo,»eucze«dobrzeodpowiena3pytania,je»eliumieodpowiedzie¢napołow¦pyta«.
2.
Zurny,wktórejjest13kulbiałychi7czarnychlosujemy2kule
a)zezwrotem,
b)bezzwrotu.
Obliczy¢prawdopodobie«stwotego,»eobiekuleb¦d¡białe.
3.
Zgrupystudenckiejlicz¡cej30osóbwtym20chłopcówwybranodelegacj¦zło»on¡z5
osób,przyczymrozwa»anoró»nemo»liwo±ciliczbychłopcówidziewcz¡twdelegacji,
wka»dymrazieliczbyró»neodzera.Obliczy¢prawdopodobie«stwo,»edodelegacjib¦d¡
wybranenajwy»ej3dziewczyny.
4.
Ztaliizło»onejz52kartlosujemyjedn¡.Obliczy¢prawdopodobie«stwo,»ewylosowana
kartajestdam¡lubkrólem.
5.
Rzucamykostk¡dogry.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»ewjednymrzucieuzyskano
liczb¦oczekpodzieln¡przeztrzylubpi¦¢?
6.
Spo±ródliczb5,6,7,8,9losujemykolejnodwiebezzwracania.Jakiejestprawdopodo-
bie«stwo,»esumawylosowanychliczbjestniewi¦kszaod13?
7.
Wprzetargubierzeudział5firm.Prawdopodobie«stwotego,»ewygrafirma
A
jestrówne
0,25,natomiast,»ewygrafirma
B
-0,4.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»eprzetargwygra
firma
A
lub
B
?
8.
Wykonujemyjedenrzutkostk¡sze±cienn¡dogry.Jakiejestprawdopodobie«stwozdarzenia
przeciwnegodozdarzeniapolegaj¡cegonatym,»eotrzymali±myjednolubtrzyoczka?
9.
Zcyfr1
,
2
,...,
9losujemybezzwracaniatrzycyfry
x,y,z
itworzymyliczb¦trzycyfrow¡
xyz
.Obliczy¢prawdopodobie«stwo,»eotrzymamyliczb¦mniejsz¡od555.
10.
Nadziesi¦ciuklockachwyrze¹bionolitery:a,a,k,s,s,t,t,t,y,y.Bawi¡csi¦nimidziecko
układajewrz¡d.Obliczy¢prawdopodobie«stwotego,»eprzypadkowozło»yonosłowo
„statystyka”.
1.2.Prawdopodobie«stwogeometryczne
11.
Nakołoopromieniu
R
losowo”rzucono”punkt.Znale¹¢prawdopodobie«stwotego,»e
punkttrafidown¦trza
a)kwadratuwpisanegowkoło,
b)trójk¡tarównobocznegowpisanegowkoło.
Zakładamy,»eprawdopodobie«stwotrafieniapunktuwdan¡cz¦±¢kołajestproporcjonalne
dopolatejcz¦±ciiniezale»yodjejpoło»eniawkole.
12.
Wybieramylosowopunkt(
x,y
)zkwadratu[0
,
1]
×
[0
,
1].Jakiejestprawdopodobie«stwo,
»ejegowspółrz¦dneb¦d¡spełniałynierówno±¢
y<x
2
?
13.
Naodcinku
OA
odługo±ci
L
naosiliczbowej
OX
,losowowybranopunkt
B
.Znale¹¢praw-
dopodobie«stwotego,»emniejszyzodcinków
OB
i
BA
b¦dziemiałdługo±¢wi¦ksz¡ni»
1
'CopyrightbyW.Młocek,K.PiwowarczykandA.Rutkowska
3
L
.Zakładamy,»eprawdopodobie«stwotrafieniapunktunaodcinekjestproporcjonalne
dodługo±ciodcinkainiezale»yodjegopoło»enianaosiliczbowej
OX
.
1.Rachunekprawdopodobie«stwa
5
14.
Wewn¡trzdanegoodcinkaodługo±ci
a
obieramylosowo2punkty:jedennalewo,adrugina
prawood±rodkaodcinka.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»eodległo±¢mi¦dzywybranymi
punktamijestmniejszani»
1
3
a
?
15.
Wewn¡trzdanegoodcinkaodługo±ci
a
obieramyna”chybiłtrafił”dwapunkty.Jakiejest
prawdopodobie«stwo,»eodległo±¢mi¦dzypunktamijestmniejszani»
1
3
a
?
16.
Napłaszczy¹niepoprowadzonoprosterównoległe.Odległo±¢mi¦dzynimijeststałairówna
d
.Napłaszczyzn¦rzucamyigł¦(takcienk¡,»emo»eby¢interpretowanajakoodcinek)
odługo±ci
l
,przyczym
l<d
.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»eigłaprzetniejedn¡
zwykre±lonychprostych?(
Jesttotzw.zadanieBuona
)
17.
Par¦liczb(
b,c
)wybranolosowozprostok¡ta[0
,
2]
×
[0
,
4].Jakiejestprawdopodobie«stwo,
»epierwiastkirównania
x
2
+2
bx
+
c
=0s¡rzeczywiste?
18.
Jakiejestprawdopodobie«stwo,»epierwiastkirównania
x
2
+2
bx
+
c
=0s¡rzeczywiste,
je±liliczby
b
i
c
zostaływybranelosowozprzedziału[0,1]?
19.
Par¦liczb(a,b)wybranolosowozprostok¡ta[
−
1
,
1]
2
.Obliczprawdopodobie«stwo,»e
równanie
ax
2
+
bx
+1=0ma
a)pierwiastkirzeczywiste,
b)pierwiastkirówne,
c)pierwiastkirzeczywistedodatnie.
20.
Jakiejestprawdopodobie«stwo,»elosowowybranypunktkwadratu
{|
x
|
<
1
,
|
y
|
<
1
}
jest
punktemle»¡cymwewn¡trzokr¦gu
x
2
+
y
2
=1?
21.
Dwojeznajomychumawiasi¦wpewnymmiejscu.Ka»dymaprzyj±¢wdowolnejchwili
mi¦dzygodz.15.00,a16.00iczeka¢nadrugiegoprzez20minut.Jakiejestprawdopodo-
bie«stwo,»esi¦spotkaj¡?
22.
Drewnianepalemaj¡losow¡długo±¢
L
,przyczymnajwi¦kszadługo±¢wynosi12m.Pale
s¡przeznaczonedowbijaniawziemi¦,którejskalnawarstwastanowi¡caopórznajdujesi¦
nalosowejgł¦boko±ci
H
,którejmaksimumwynosi10m.Zaproponowa¢przestrze«zdarze«
elementarnychipoda¢jejinterpretacj¦geometryczn¡.Zilustrowa¢nast¦puj¡cezdarzenia
iobliczy¢ichprawdopodobie«stwa:
a)długo±¢losowowzi¦tegopalajestwi¦kszaodgł¦boko±ci,naktórejznajdujesi¦skalna
warstwa,
b)gł¦boko±¢skalnejwarstwyprzekroczy8m,
c)długo±¢losowowzi¦tegopalaprzekroczy8m.
23.
Przyprojektowaniuprzepustuodprowadzaj¡cegowod¦z2oddzielnychobszarów
A
i
B
zało»ono,»eilo±¢wodypochodz¡caz
A
mo»ewaha¢si¦wgranicach0
−
900dm
3
/
s,na-
tomiastz
B
:0
−
1500dm
3
/
s.Obliczy¢prawdopodobie«stwo,»eilo±¢wodył¡czniezobu
obszarówprzekroczy2000dm
3
/
s.
24.
Zprzedziału(0
,
)wybranolosowopunkty
x
i
y
.Obliczy¢prawdopodobie«stwotego,»e
sin
x
2
y
.
25.
Dwapunkty
A
i
B
zostaływybranelosowozI¢wiartkiukładuwspółrz¦dnych,anast¦pnie
ka»dyznichpoł¡czonozpocz¡tkiem
O
układuwspółrz¦dnych.Obliczy¢prawdopodobie«-
stwo,»eobieprosteb¦d¡nachylonedosiebiepodk¡temmniejszymni»
4
.
'CopyrightbyW.Młocek,K.PiwowarczykandA.Rutkowska