Ļę
Materiałów. Podstawowe poj
ħ
cia, definicje i zało
Ň
enia
1. PODSTAWOWE POJ
Ħ
CIA, DEFINICJE I ZAŁO
ņ
ENIA
1.1. Przedmiot i zadania wytrzymało
Ļ
ci materiałów
Wytrzymało
Ļę
materiałów
jest nauk
Ģ
o sztywno
Ļ
ci, wytrzymało
Ļ
ci i stateczno
Ļ
ci konstrukcji
in
Ň
ynierskich. Poj
ħ
cia te, cho
ę
intuicyjnie zrozumiałe warto bli
Ň
ej i szerzej okre
Ļ
li
ę
. Efekt
działania sił zewn
ħ
trznych na ciało materialne (a wi
ħ
c i konstrukcj
ħ
in
Ň
yniersk
Ģ
) pozostaj
Ģ
ce
w równowadze mo
Ň
e przejawia
ę
si
ħ
w ró
Ň
nej formie a mianowicie: zmianie kształtów i
wymiarów ciała bez naruszania jego spójno
Ļ
ci, zniszczenia ciała przez p
ħ
kni
ħ
cie, złamanie
itp. oraz naruszenia jego równowagi stałej jako cało
Ļ
ci.
Zdolno
Ļę
konstrukcji do przeciwstawienia si
ħ
tym niekorzystnym efektom nazywamy
odpowiednio jej sztywno
Ļ
ci
Ģ
, wytrzymało
Ļ
ci
Ģ
i stateczno
Ļ
ci
Ģ
. Z punktu widzenia in
Ň
yniera
konstruktora zadaniem
wytrzymało
Ļ
ci materiałów
jest racjonalny dobór materiału, kształtu i
wymiarów, dowolnie obci
ĢŇ
onej i znajduj
Ģ
cej si
ħ
w dowolnych warunkach fizyko
chemicznych i termodynamicznych, konstrukcji, aby była ona odpowiednio sztywna,
wytrzymała, stateczna. Tzn. aby przemieszczenia poszczególnych jej punktów po przyło
Ň
eniu
obci
ĢŇ
e
ı
nie przekraczały wielko
Ļ
ci uznanych za dopuszczalne, aby warto
Ļ
ci sił mi
ħ
dzy
cz
Ģ
steczkowych były mniejsze od pewnych wielko
Ļ
ci charakterystycznych dla danego
materiału przy których traci on swoj
Ģ
spójno
Ļę
(niszczy si
ħ
), i wreszcie aby konstrukcja jako
cało
Ļę
pracowała w stanie równowagi trwałej. Mo
Ň
na wi
ħ
c powiedzie
ę
,
Ň
e celem
wytrzymało
Ļ
ci materiałów
jest stworzenie podstaw wymiarowania zarówno elementów jak i
całych konstrukcji i warto tu zwróci
ę
uwag
ħ
,
Ň
e mówimy „wymiarowanie”, nie
„projektowanie” bo w toku dalszych studiów przekonamy si
ħ
,
Ň
e wymiarowanie to nie to
samo co projektowanie ale bez umiej
ħ
tno
Ļ
ci wymiarowania nie mo
Ň
na dobrze projektowa
ę
.
Cele te b
ħ
d
Ģ
ró
Ň
nie
dominowa
ę
w zale
Ň
no
Ļ
ci od rodzaju rozwa
Ň
anej konstrukcji i tak np. strop
w pomieszczeniu musi by
ę
wytrzymały i sztywny, ale b
ħ
d
Ģ
te
Ň
konstrukcje w których
dopuszcza
ę
b
ħ
dziemy du
Ň
e deformacje bez utraty spójno
Ļ
ci (np. w procesach tłoczenia blach
karoseryjnych samochodów) albo zniszczenie przy pewnych warto
Ļ
ciach obci
ĢŇ
e
ı
jak to si
ħ
dzieje w przypadku zaworów bezpiecze
ı
stwa.
Jak wida
ę
z podanych wy
Ň
ej okre
Ļ
le
ı
, modelem ciała b
ħ
d
Ģ
cego w centrum zainteresowania
wytrzymało
Ļ
ci materiałów
jest ciało odkształcalne i z tego punktu widzenia opisuje ona
zachowanie ciał bli
Ň
szych rzeczywisto
Ļ
ci ni
Ň
mechanika teoretyczna
,
której modelem było
ciało sztywne, nieodkształcalne. Tym niemniej
wytrzymało
Ļę
materiałów
szeroko bazuje na
fundamentalnych wynikach uzyskanych w
mechanice teoretycznej
w postaci uniwersalnych
twierdze
ı
i zasad mechaniki jak np. zasada p
ħ
du, kr
ħ
tu, prac wirtualnych czy warunki
konieczne i wystarczaj
Ģ
ce równowagi układu sił.
1.2. Schemat obliczeniowy. Klasyfikacja podpór, konstrukcji, obci
ĢŇ
e
ı
i materiałów
Przyst
ħ
puj
Ģ
c do analizy zachowania si
ħ
jakiej
Ļ
konstrukcji rzeczywistej musimy si
ħ
zdecydowa
ę
na odrzucenie pewnych aspektów jej zachowania si
ħ
czy te
Ň
budowy, które
wydaj
Ģ
si
ħ
by
ę
mało wa
Ň
ne, a wzi
ħ
cie pod uwag
ħ
tylko tych, które w sposób istotny b
ħ
d
Ģ
wpływa
ę
na sztywno
Ļę
, wytrzymało
Ļę
i stateczno
Ļę
. Taka idealizacja jest konieczna, gdy
Ň
ka
Ň
dy obiekt rzeczywisty ma bardzo wiele cech, a naszym zadaniem jest osi
Ģ
gniecie
konkretnych ilo
Ļ
ciowych i jako
Ļ
ciowych rezultatów.
Przybli
Ň
ony model rzeczywistej konstrukcji, uzyskany drog
Ģ
odrzucenia jej cech
drugorz
ħ
dnych, nazywamy schematem obliczeniowym. Wybór dobrego schematu
obliczeniowego jest jednym z najtrudniejszych zada
ı
praktyki in
Ň
ynierskiej i podanie
jednoznacznych kryteriów jego doboru nie jest mo
Ň
liwe. Zasadnicz
Ģ
trudno
Ļę
w wyborze
schematu obliczeniowego stanowi wewn
ħ
trzna sprzeczno
Ļę
tkwi
Ģ
ca w tym zagadnieniu,
polegaj
Ģ
ca na wybraniu i rozwa
Ň
aniu jak najmniejszej ilo
Ļ
ci cech pierwszorz
ħ
dnych, aby
otrzyma
ę
konkretne wyniki, a z drugiej strony d
ĢŇ
no
Ļę
do uwzgl
ħ
dnienia jak najwi
ħ
kszej ich
7
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Podstawowe poj
ħ
cia, definicje i zało
Ň
enia
liczby, aby analizowa
ę
model jak najbli
Ň
szy rzeczywisto
Ļ
ci. W rezultacie konkretnemu
obiektowi mo
Ň
emy przypisa
ę
du
ŇĢ
liczb
ħ
schematów obliczeniowych (w zale
Ň
no
Ļ
ci od tego,
które aspekty i cechy pominiemy), a danemu schematowi obliczeniowemu mo
Ň
e odpowiada
ę
nawet kilka konkretnych konstrukcji. Ta druga niejednoznaczno
Ļę
jest dla nas korzystna, bo
pozwala na ustalenie pewnych typowych przypadków obliczeniowych.
Omówimy teraz pewne wspólne cechy schematów obliczeniowych i dokonamy ich
klasyfikacji zwi
Ģ
zanej z modelowaniem wi
ħ
zów, geometrii, obci
ĢŇ
e
ı
i materiału konstrukcji.
Klasyfikacja podpór
Ka
Ň
da konstrukcja zwi
Ģ
zana jest z podło
Ň
em, na które przenosi obci
ĢŇ
enia. Poł
Ģ
czenia te
stanowi
Ģ
dla konstrukcji wi
ħ
zy i nazywamy je podporami. Wymienimy krótko podpory
płaskie, co nie upraszcza zasadniczo ogólno
Ļ
ci zagadnienia. B
ħ
d
Ģ
to:
• podpora przegubowo-przesuwna
• podpora przegubowa
• sztywne utwierdzenie
• utwierdzenie z mo
Ň
liwo
Ļ
ci
Ģ
poziomego przesuwu (teleskopowe)
• utwierdzenie z mo
Ň
liwo
Ļ
ci
Ģ
pionowego przesuwu
• wewn
ħ
trzny przegub w konstrukcji
Ich obrazy rzeczywiste jak i rysunki schematyczne oraz oddziaływania na konstrukcje po
zastosowaniu postulatu o wi
ħ
zach były szeroko i wnikliwie omawiane w ramach przedmiotu
mechanika teoretyczna
.
Klasyfikacja konstrukcji
Klasyfikacj
ħ
konstrukcji mo
Ň
na prowadzi
ę
według ró
Ň
nych kryteriów. I tak konstrukcje
mo
Ň
emy podzieli
ę
na: statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne albo na: płaskie i
przestrzenne lub na: stalowe, betonowe,
Ň
elbetowe, drewniane, zespolone i inne w zale
Ň
no
Ļ
ci
od zastosowanych materiałów.
Jednak
Ň
e z punktu widzenia przedmiotu jakim jest
wytrzymało
Ļę
materiałów
jednym z
zasadniczych kryteriów b
ħ
dzie geometria ich elementów i st
Ģ
d konstrukcje podzielimy na:
• pr
ħ
towe: belki, ramy, kraty, łuki, ruszty; niektóre z nich mog
Ģ
by
ę
zarówno płaskie, jak i
przestrzenne,
• powierzchniowe: tarcze, płyty, powłoki,
• masywne: mury oporowe, ławy i stopy fundamentowe.
Klasyfikacja obci
ĢŇ
e
ı
Profesjonalnie, z uwagi na warunki projektowania klasyfikacja obci
ĢŇ
e
ı
podana jest w
odpowiednich i obowi
Ģ
zuj
Ģ
cych przepisach nazywanych Polskimi Normami. Na potrzeby
wykładanego przedmiotu, który nie uczy projektowania lecz jedynie podstaw wymiarowania,
obci
ĢŇ
enia mo
Ň
emy podzieli
ę
ze wzgl
ħ
du na:
a) sposób przyło
Ň
enia do konstrukcji:
•
siły powierzchniowe, tj. obci
ĢŇ
enia działaj
Ģ
ce na okre
Ļ
lon
Ģ
powierzchni
ħ
zewn
ħ
trzn
Ģ
konstrukcji. Rozró
Ň
niamy tu obci
ĢŇ
enia ci
Ģ
głe, okre
Ļ
lone intensywno
Ļ
ci
Ģ
na jednostk
ħ
długo
Ļ
ci [N/m] lub na jednostk
ħ
powierzchni [N/m
2
] lub siły skupione [N] (b
ħ
d
Ģ
ce
idealizacj
Ģ
obci
ĢŇ
e
ı
ci
Ģ
głych działaj
Ģ
cych na bardzo mały obszar powierzchni elementu
konstrukcji). Mog
Ģ
te
Ň
by
ę
obci
ĢŇ
enia modelowane poprzez skupione momenty [Nm] lub
momenty rozło
Ň
one w sposób ci
Ģ
gły [Nm/m],
•
siły masowe (lub obj
ħ
to
Ļ
ciowe) tj. obci
ĢŇ
enia działaj
Ģ
ce na ka
Ň
d
Ģ
cz
Ģ
stk
ħ
materiału
konstrukcji, np. siły grawitacji czy bezwładno
Ļ
ci,
b) sposób działania na konstrukcj
ħ
:
8
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Podstawowe poj
ħ
cia, definicje i zało
Ň
enia
•
obci
ĢŇ
enia statyczne, tj. takie, których wielko
Ļę
i poło
Ň
enie nie zmienia si
ħ
w czasie lub
zmienia si
ħ
tak powoli,
Ň
e nie wywołuje drga
ı
konstrukcji i w obliczeniach nie
uwzgl
ħ
dniamy sił bezwładno
Ļ
ci,
•
obci
ĢŇ
enia dynamiczne, tj. takie których wielko
Ļę
lub poło
Ň
enie zmienia si
ħ
w czasie w
sposób tak gwałtowny,
Ň
e powoduje drgania konstrukcji i w obliczeniach musimy
uwzgl
ħ
dnia
ę
siły bezwładno
Ļ
ci.
Klasyfikacja materiałów
W naszych rozwa
Ň
aniach decyduj
Ģ
cym kryterium podziału materiałów b
ħ
dzie ich sposób
reagowania na przyło
Ň
one obci
ĢŇ
enia jak i kierunkowo
Ļę
tego reagowania. I tak materiały
b
ħ
dziemy dzieli
ę
na:
• spr
ħŇ
yste, tj. takie w których deformacje powstałe w wyniku przyło
Ň
onych obci
ĢŇ
e
ı
znikaj
Ģ
po odci
ĢŇ
eniu (np. guma),
• plastyczne tj. takie w których deformacje powstałe w wyniku przyło
Ň
onych obci
ĢŇ
e
ı
nie
znikaj
Ģ
po odci
ĢŇ
eniu (np. plastelina),
• spr
ħŇ
ysto-plastyczne, tj. takie które do pewnego poziomu obci
ĢŇ
e
ı
s
Ģ
spr
ħŇ
yste a powy
Ň
ej
s
Ģ
plastyczne (np. stal).
B
ħ
dziemy te
Ň
dzieli
ę
materiały na:
• izotropowe, tj. takie których własno
Ļ
ci w danym punkcie we wszystkich kierunkach s
Ģ
takie same (np. stal),
• anizotropowe tj. takie których własno
Ļ
ci w danym punkcie nie s
Ģ
we wszystkich
kierunkach takie same (np. drewno, kompozyty).
Mo
Ň
na te
Ň
materiały podzieli
ę
na:
• izonomiczne, tj. takie których własno
Ļ
ci w danym kierunku nie zale
ŇĢ
od wyró
Ň
nienia na
nim zwrotu (np. stal),
• anizonomiczne, tj. takie których własno
Ļ
ci w danym kierunku zale
ŇĢ
od wyró
Ň
nienia na
nim zwrotu (np. beton czy drewno maj
Ģ
ró
Ň
ne własno
Ļ
ci przy rozci
Ģ
ganiu i
Ļ
ciskaniu).
Oraz na materiały:
• jednorodne, tj. takie których własno
Ļ
ci we wszystkich punktach pewnej obj
ħ
to
Ļ
ci s
Ģ
takie
same (np. stal),
• niejednorodne, tj. takie których własno
Ļ
ci zale
ŇĢ
od wyboru punktu (np. beton, drewno
czy kompozyty).
1.3. Podstawowe zało
Ň
enia
Wst
ħ
pnie przyjmiemy,
Ň
e w naszych rozwa
Ň
aniach b
ħ
dziemy si
ħ
opiera
ę
na nast
ħ
puj
Ģ
cych
zało
Ň
eniach:
•
materiał rozwa
Ň
anych konstrukcji wypełnia ich obj
ħ
to
Ļę
w sposób ci
Ģ
gły czyli stanowi
tzw. continuum materialne. Oznacza to,
Ň
e traktujemy konstrukcje jako zbiór g
ħ
sto
upakowanych punktów materialnych, tj. punktów geometrycznych którym przypisano
mas
ħ
,
•
materiał rozwa
Ň
anych konstrukcji jest spr
ħŇ
ysty, izotropowy, jednorodny i izonomiczny,
•
przemieszczenia poszczególnych punktów obci
ĢŇ
onego ciała s
Ģ
tak małe w porównaniu z
jego wymiarami,
Ň
e mo
Ň
emy pomin
Ģę
wpływ przemieszcze
ı
punktów przyło
Ň
enia
obci
ĢŇ
e
ı
na efekty wywołane tymi obci
ĢŇ
eniami. Jest to tzw. zasada zesztywnienia i
pozwala ona m. in. na obliczanie reakcji w ciele odkształcalnym w konfiguracji
pocz
Ģ
tkowej (tzn. przed deformacj
Ģ
konstrukcji spowodowan
Ģ
obci
ĢŇ
eniem), i tym
samym umo
Ň
liwia stosowanie twierdze
ı
i zasad
mechaniki teoretycznej
czyli mechaniki
ciała sztywnego w mechanice ciał odkształcalnych,
•
mi
ħ
dzy obci
ĢŇ
eniami i przemieszczeniami istnieje liniowa wzajemnie jednoznaczna
zale
Ň
no
Ļę
,
9
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Podstawowe poj
ħ
cia, definicje i zało
Ň
enia
•
rozwa
Ň
ane przez nas ciała znajduj
Ģ
si
ħ
w równowadze trwałej czyli statecznej. Istot
ħ
tego
zało
Ň
enia mo
Ň
na zilustrowa
ę
zachowaniem si
ħ
ci
ħŇ
kiej kulki znajduj
Ģ
cej si
ħ
w polu
grawitacyjnym na ró
Ň
nych powierzchniach podparcia,
równowaga
trwała
równowaga
oboj
ħ
tna
równowaga
nietrwała
Rys. 1.1
• sposób przyło
Ň
enia obci
ĢŇ
e
ı
do danego ciała wpływa na rozkład napr
ħŇ
e
ı
i odkształce
ı
tylko w bliskim s
Ģ
siedztwie obszaru przyło
Ň
enia obci
ĢŇ
e
ı
. Jest to tzw. zasada de Saint-
Venanta i pó
Ņ
niej sformułujemy j
Ģ
bardziej precyzyjnie.
W toku dalszych wykładów z niektórych zało
Ň
e
ı
b
ħ
dziemy rezygnowa
ę
ale wówczas
wyra
Ņ
nie to zaznaczymy.
10
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
2.1. Definicje podstawowych charakterystyk geometrycznych
Podczas zaj
ħę
z
wytrzymało
Ļ
ci materiałów
spotkamy si
ħ
z nast
ħ
puj
Ģ
cymi charakterystykami
geometrycznymi figur płaskich:
•
pole powierzchni figury,
•
moment statyczny figury wzgl
ħ
dem danej osi,
•
moment bezwładno
Ļ
ci figury wzgl
ħ
dem danej osi,
•
moment dewiacji (od
Ļ
rodkowy) wzgl
ħ
dem danych osi,
•
biegunowy moment bezwładno
Ļ
ci,
•
promie
ı
bezwładno
Ļ
ci,
•
wska
Ņ
nik wytrzymało
Ļ
ci,
•
rdze
ı
przekroju.
Omówimy teraz pierwszych sze
Ļę
, pozostałe w toku dalszych wykładów i
ę
wicze
ı
.
Rozwa
Ň
my figur
ħ
płask
Ģ
, pokazan
Ģ
na rys.2.1, stanowi
Ģ
c
Ģ
obszar
A,
okre
Ļ
lony w
kartezja
ı
skim układzie osi (
X, Y
)
Y
Y
1
x
dA
A
a
x
1
y
y
1
X
1
b
X
Rys. 2.1
Polem powierzchni tej figury nazywamy:
A
=
ÐÐ
dA
[m
2
] ( > 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem osi
X
nazywamy :
S
x
=
ÐÐ
y
dA
[m
3
] ( >, =, < 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem osi
Y
nazywamy :
S
y
=
ÐÐ
x
dA
[m
3
] ( >, =, < 0).
A
Obliczamy momenty statyczne tej figury wzgl
ħ
dem nowych osi (
X
1
, Y
1
) przesuni
ħ
tych o
a
i
b
wzgl
ħ
dem osi (
X, Y
). Poniewa
Ň
:
y
1
=
y
−
b
i
x
=
x
−
a
,
to:
11
1