Wydział: MECHANICZNY
Antończyk Andrzej
Zespół:
VII
Ocena ostateczna:
Grupa: 202
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.
Numer ćw.
5
Data wykonania ćw.
1. Wprowadzenie.
Ciała stale poddawane działaniu niezrównoważonych sił lub momentów sił
ulegają odkształceniom. Jeżeli po usunięciu siły ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach sprężystych. Naprężenie mechaniczne pojawiające się w materiale jednorodnym, pochodzące od sił oddziaływania międzycząsteczkowego, równoważy siły zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału. Jeżeli siły odzyskujące działają prostopadle do powierzchni ciała (rys.1), to mówimy wtedy o naprężeniu normalnym s, które określamy jako stosunek siły normalnej Fn do pola powierzchni S:
s= Fn *S
Gdy działająca siła Fn jest styczna do powierzchni, to naprężenie nazywamy ścisłym lub ścinającym:
t= Fs /S.
Jeżeli siły działające na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względem poszczególnych punktów materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest proporcjonalne do przyłożonych sił (naprężeń). Własność ta nosi nazwę prawa Hooke¢a zapisane dla naprężeń normalnych i obejmujące naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postać:
s= Ee,
gdzie miarą odkształcenia: e=Dl/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Prawo Hooke¢a dal naprężeń stycznych wyraża się wzorem:
t= Ga,
gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania a, który dla małych wartości a jest równy (rys.1);
Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem szczytności. Moduł ten ( jak również E) jest dla danego materiału zależny od temperatury.
Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych: modułu Younga E i modułu sztywności G można określić wszelkie właściwości sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała.
Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ścinania. Jeżeli jeden koniec cylindrycznego pręta o długości l i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt j (moment pary sił skręcających), to wartość momentu sił sprężystych M pręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta j, a stała proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału:
Wzór powyższy jest dogodny do wyznaczenia modułu G. metoda styczna polegałaby na pomiarze wielkości występujących w/w wzorze. W metodzie dynamicznej wyznacza się moduł sztywności z pomiaru okresu drgań wahadła torsyjnego. W tym celu pręt, którego moduł sztywności G mamy wyznaczyć, zawieszamy pionowo, a na jego końcu umieszczamy symetryczne ciało (wibrator) o znanym momencie bezwładności I. gdy drut skręcimy i puścimy swobodnie, wibrator na jego końcu wykonuje (dla niewielkich kątów skręcania, w granicach sprężystości) drgania torsyjne, opisywane zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruch obrotowego równaniem;
gdzie: I jest momentem bezwładności wibratora jest wektorem przyspieszenia kątowego, a M wektorem momentu sił działających na pręt. Równanie ruch względem osi obrotu przechodzącej przez oś pręta ma postać równania oscylatora harmonicznego;
gdzie wartość momentu kierującego: D=Gpr4/2l, a częstość drgań tego ruch w spełnia warunek w2=D/warunek.
Pręt wykonuje, zatem drgania harmoniczne o okresie:
Mierząc okres, T wahadła o momencie bezwładności I można wyznaczyć moduł szczytności G pręta.
2. Metoda pomiaru
W/w wzór można stosować, gdy wibrator ma prosty kształt i możemy moment
bezwładności wibratora wyliczyć teoretycznie. Jeżeli momentu bezwładności nie da się wyliczyć bezpośrednio, stosujemy metodę różnicową. Do wibratora dołączamy bryłę o znanym momencie bezwładności. Całkowity moment bezwładności układu jest sumą momentów bezwładności wibratora nie obciążonego I0 i momentu bezwładności czterech ciężarków w kształcie walca względem osi obrotu 00’ wahadła:
I=I0+4Il
gdzie: Il jest momentem bezwładności pojedynczego ciężarka względem osi 00’. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności krążka względem osi równoległej do osi 00’ i odległej o a wynosi:
gdzie: m, R odpowiednio masa i promień krążka, a – odległość osi pręta od osi krążków.
Okres drgań wahadła torsyjnego dla wibratora nie obciążonego ma postać:
natomiast dla wibratora obciążonego jest równy:
Wyznaczona na podstawie w/w wzorów wartość modułu sztywności G wynosi:
3