Atom wodoru (lub wodoropodobny)
C
C
r
-
r
-
e
+
e
j
Ze
elektron
j dro
(proton)
C
C
j
O
2
2
2
>
>
1
Ze
2
2
>
>
ˆ
ˆ
H
=
-
D
-
D
-
H
=
-
D
-
D
C
C
e
j
e
j
2
m
2
m
4
pe
r
-
r
2
m
2
m
e
j
e
j
e
j
Kulombowskie przyci ganie
„miesza” współrz dne elektronu i j dra.
Atom wodoru – współrz dne rodka masy
Wprowadzamy współrz dne
wzgl dne
C
C
C
-
e
r
º
r
-
r
+
Ze
e
j
elektron
j dro
(proton)
C
C
C
C
m
r
+
m
r
i rodka masy
e
e
j
j
R
º
m
+
m
e
j
Z zewn trz nie działaj na atom adne siły, wi c jako cało (
M=m
e
+m
j
)
jest on „cz stk ” swobodn , której poło enie to poło enie rodka masy.
O
2
2
2
>
>
1
Ze
ˆ
Ruch wewn trzny – wzgl dny.
Jakby ruch w polu kulombowskim
H
=
-
D
-
D
-
C
C
r
R
2
M
2
m
4
pe
r
m
m
e
j
m
=
„cz stki” o masie zredukowanej
m
+
m
e
j
Separacja ruchu wzgl dnego od ruchu rodka masy
Współrz dne rodka masy i wzgl dne
s w hamiltonianie rozseparowane
dwóch wyrazach.
-
e
+
Ze
C
elektron
j dro
(proton)
ˆ
ˆ
C
ˆ
C
H
=
H
(
R
)
+
H
(
r
)
C
el
M
2
2
2
>
>
1
Ze
-
2
D
-
D
-
C
C
r
R
M
2
m
4
pe
r
O
Mo na znale
rozwi zanie
ˆ
C
C
H
X
(
R
)
=
E
X
(
R
)
ˆ
C
C
C
C
równania:
H
F
(
R
,
r
)
=
E
F
(
R
,
r
)
M
M
ˆ
C
C
H
Y
(
r
)
=
E
Y
(
r
)
w postaci iloczynu:
el
el
C
C
C
C
F
(
R
,
r
)
=
X
(
R
)
Y
(
r
)
E
=
E
+
E
el
M
Ruch wzgl dny („elektronowy”)
Separacja współrz dnych k towych i radialnej
2
2
ˆ
C
C
>
1
Ze
H
Y
(
r
)
=
E
Y
(
r
)
ˆ
H
=
-
D
-
el
el
C
el
r
2
m
4
pe
r
Cz stka w polu sferycznie symetrycznym
Rozwi zanie:
C
1
Y
(
r
)
=
x
(
r
)
Y
(
J
,
j
)
lm
r
Y
(
J
,
j
)
Cz
k towa rozwi zania
jest znana.
lm
Do rozwi zania pozostaje równanie na cz
radialn
Ç
2
2
2
2
×
>
>
d
1
Ze
l
(
l
+
1
-
-
+
x
(
r
)
=
E
x
(
r
)
É
Ù
2
2
2
m
dr
4
pe
r
2
m
r
Struktura elektronowa atomu wodoru – stany zwi zane
Ç
2
2
2
2
×
d
1
Ze
l
(
l
+
1
>
>
-
-
+
x
(
r
)
=
E
x
(
r
)
É
Ù
2
2
2
m
dr
4
pe
r
2
m
r
V
widmo ci głe energii
bez „rezonansów”
asymptota
r
widmo dyskretne energii
Interesuj nas
tylko
stany zwi zane
– rozwi zujemy radialne równanie Schrödingera
tylko dla
E<
0.
energie zakazane
