Konstrukcja szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi
1. Ustalenie liczby klas – k:
(gdzie n – liczba obserwacji)
2. Ustalenie rozpiętości przedziałów klasowych - h:
(gdzie R – rozstęp)
3. Ustalenie granic przedziałów klasowych – dolna granica pierwszego przedziału powinna obejmować najmniejszą wartość cechy .
Średnia arytmetyczna jest miarą położenia.
Informuje o przeciętnym poziomie badanej cechy w całej zbiorowości.
Wzór dla szeregu szczegółowego prostego:
Wzór dla szeregu szczegółowego ważonego:
Wzór dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:
gdzie:
- średnia arytmetyczna
- i-ta wartość zmiennej X (i = 1, 2, ..., n)
n - liczba jednostek statystycznych badanej zbiorowości
fi - liczba jednostek statystycznych odpowiadająca i-temu wariantowi zmiennej (n = )
k – liczba wariantów zmiennej
środek przedziału klasowego
dolna granica przedziału
górna granica przedziału Modalna to wartość zmiennej, która występuje najczęściej w zbiorowości statystycznej.
gdzie:
xm – dolna granica przedziału najbardziej licznego
fm – liczebność przedziału modalnej
fm-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział modalnej
fm+1 - liczebność przedziału następującego po przedziale modalnej
h – rozpiętość przedziału klasowego modalnej (interwał)
Kwantyle są to liczby spośród wartości cechy badanej zbiorowości, które dzielą ją na określone części pod względem liczby jednostek.
gdzie:
qp – kwantyl rzędu p
xs – dolna granica przedziału, w którym określony kwantyl się znajduje
hs – interwał przedziału, w którym określony kwantyl się znajduje
fs – liczebność przedziału, w którym określony kwantyl się znajduje
p – rząd kwantyla (0<p<1)
n – liczebność danej zbiorowości
- suma liczebności od 1 klasy do klasy poprzedzającej przedział kwantyla
Kwartyle – Q1, Q2, Q3
Q1 – kwartyl pierwszy dzieli zbiorowość uporządkowaną w ten sposób, że 25% jednostek ma wartości cechy nie wyższe, a 75% nie niższe niż Q1.
Q3 – kwartyl trzeci dzieli zbiorowość uporządkowaną w ten sposób, że 75% jednostek ma wartości cechy nie wyższe, a 25% nie niższe niż Q3.
Q2 – mediana (Me) – wartość środkowa
Jest to liczba, która dzieli szereg statystyczny na dwie równe części pod względem liczebności:
50% jednostek o wartościach większych lub równych medianie, a 50% o wartościach mniejszych lub równych.
Wariancja – średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od ich średniej arytmetycznej. Jest to miara zmienności.
Wzór dla szeregu szczegółowego prostego:
Wzór dla szeregu szczegółowego ważonego:
Wzór dla szeregu rozdzielczego:
Odchylenie standardowe (s) informuje jaka jest średnia wartość odchyleń, a zatem o ile średnio jednostki danej zbiorowości różnią się od średniej arytmetycznej badanej zmiennej.
Współczynnik zmienności informuje o zróżnicowaniu wartości badanej zmiennej. Jest stosowany gdy zaistnieje potrzeba dokonania porównań zbiorowości ze względu na zmienność cech o różnych mianach (V>20% świadczy o znacznym rozproszeniu cechy).
Współczynnik asymetrii jest miarą asymetrii.
As = 0 to rozkład jest symetryczny
As > 0 to rozkład jest asymetryczny prawostronnie
As < 0 to rozkład jest asymetryczny lewostronnie
Im jest większe, tym asymetria rozkładu jest silniejsza.
Inną miarą asymetrii jest moment centralny trzeciego rzędu
Wzór dla szeregu szczegółowego prostego:
Wzór dla szeregu rozdzielczego:
m3 = 0 dla szeregów dokładnie symetrycznych
m3 > 0 dla szeregów asymetrycznych prawostronnie
m3 < 0 dla szeregów asymetrycznych lewostronnie
Współczynnik skośności (moment standaryzowany trzeciego rzędu - względna miara asymetrii)
Moment centralny czwartego rzędu jest miarą koncentracji (zbiorowości wokół wartości średniej).
Wzór dla szeregu szczegółowego prostego:
Wzór dla szeregu rozdzielczego:
Wskaźnik koncentracji (kurtoza - względna miara koncentracji)
a4 = 3 dla rozkładu normalnego
a4 < 3 dla rozkładu spłaszczonego względem rozkładu normalnego
a4 > 3 dla rozkładu wysmukłego względem rozkładu normalnego
Eksces
γ = 0 dla rozkładu normalnego
γ < 0 dla rozkładu spłaszczonego względem rozkładu normalnego
γ > 0 dla rozkładu wysmukłego względem rozkładu normalnego
2