10
ESTYMACJA
Szacowanie wartości parametrów w populacji na podstawie próby jest zadaniem estymacji parametrycznej.
Estymacja przedziałowa
Przedziałem ufności nazywamy taki przedział, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem (1–α), zwanym poziomem ufności (lub współczynnikiem ufności), pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru Q.
Z reguły przyjmuje się poziom ufności bliski jedności, tzn. (1–α)=0,9; 0,95; 0,99.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Przedziały ufności dla średniej.
Zakładamy, że cecha X ma w populacji rozkład normalny N(m,σ). Niech
m – średnia arytmetyczna w populacji
σ – odchylenie standardowe w populacji
- średnia arytmetyczna z próby
S – odchylenie standardowe z próby
n – liczebność próby
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) Przedział ufności dla średniej w przypadku, gdy σ – znane, dowolna liczebność próby
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(2) Przedział ufności dla średniej w przypadku, gdy σ – nieznane, liczebność próby n < 30
gdzie tα odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta dla danego α i (n-1) stopni swobody.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(3) Przedział ufności dla średniej w przypadku, gdy σ – nieznane, liczebność próby n ≥ 30, rozkład X w populacji nie musi być normalny
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Przedział ufności dla wskaźnika struktury.
Niech
p – wskaźnik struktury ( procent wyróżnionych elementów) w populacji,
k – liczba elementów wyróżnionych w próbie
n – liczebność próby
Zakładamy, że n>100, k/n >0,05. Wówczas
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Przy ostrożnym szacunku
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------
Przedział ufności dla wariancji.
Zakładamy, że cecha X ma w populacji rozkład normalny N(m,σ). Niech
σ2 – wariancja w populacji
S2 – wariancja w próbie
n – liczebność próby
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) Dla n < 30
gdzie c1 – odczytujemy z tablic rozkładu χ2 dla (1- α/2) i (n-1) stopni swobody,
c2 – odczytujemy z tablic rozkładu χ2 dla ( α/2) i (n-1) stopni swobody.
(2) Dla n≥30
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Minimalna liczebność próby przy szacowaniu średniej m w populacji (losowanie proste)
Zakładamy, że cecha X ma w populacji rozkład normalny N(m,σ). Niech
m – średnia arytmetyczna w populacji
σ – odchylenie standardowe w populacji
- średnia arytmetyczna z próby
S – odchylenie standardowe z próby
n – niezbędna liczebność próby
n0 – liczebność próby wstępnej
d – dopuszczalny błąd szacunku
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) σ – znane, dowolna liczebność próby, cecha X ma w populacji rozkład normalny N(m,σ)
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
[ ] – oznacza całość z liczby
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(2) σ – nieznane, liczebność próby n < 30, cecha X ma w populacji rozkład normalny N(m,σ)
gdzie tα odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta dla danego α i (n-1) stopni swobody.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(3) σ – nieznane, liczebność próby n ≥ 30, rozkład X w populacji nie musi być normalny
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
Jeżeli n > n0 to należy dolosować n-n0 elementów.
Minimalna liczebność próby przy szacowaniu wskaźnika struktury w populacji (losowanie proste)
p – wskaźnik struktury ( procent wyróżnionych elementów) w populacji,
k – liczba elementów wyróżnionych w próbie
n – niezbędna liczebność próby
n0 – liczebność próby wstępnej
d – dopuszczalny błąd szacunku
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Zakładamy, że n>100, k/n >0,05, znamy wskaźnik struktury p w populacji
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
Zakładamy, że n>100, k/n >0,05, nie znamy wskaźnika struktury p w populacji
gdzie uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Test dla wartości średniej
------------------------------------------------------------------------------------------------
m – średnia arytmetyczna w populacji, m0- hipotetyczna wartość średniej arytmetycznej w populacji, - średnia arytmetyczna z próby, σ – odchylenie standardowe w populacji, S – odchylenie standardowe w próbie, n – liczebność próby
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) Zakładamy, że rozkład cechy w populacji jest normalny N(m,σ) lub zbliżony do normalnego, odchylenie standardowe σ w populacji jest znane.
H0 : m = m0
H1 : m ≠ m0 (obustronny obszar odrzucenia)
m < m0 ( lewostronny obszar odrzucenia)
m > m0 (prawostronny obszar odrzucenia)
Postać statystyki testowej:
Dla obszaru obustronnego uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
Dla obszaru jednostronnego uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- α.
Hipotezę zerową odrzucamy gdy: dla obszaru obustronnego, dla obszaru lewostronnego, dla obszaru prawostronnego. W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do odrzucenia H0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(2) Zakładamy, że rozkład cechy w populacji jest normalny N(m,σ) lub zbliżony do normalnego, odchylenie standardowe σ w populacji jest nieznane oraz n ≤ 30
H0 : m = m0
H1 : m ≠ m0 , m < m0 , m > m0
Postać statystyki testowej:
Dla obszaru obustronnego tα odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta dla α i (n-1) stopni swobody.
Dla obszaru jednostronnego tα odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta dla 2α i (n-1) stopni swobody.
Hipotezę zerową odrzucamy gdy: dla obszaru obustronnego, dla obszaru lewostronnego, dla obszaru prawostronnego. W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do odrzucenia H0.
------------------------------------------------------------------------------------------------- (3) Zakładamy, że rozkład cechy w populacji jest normalny N(m,σ) lub dowolny, odchylenie standardowe σ w populacji jest nieznane oraz n > 30.
H0 : m = m0
H1 : m ≠ m0 , m < m0 , m > m0
Postać statystyki testowej:
Dla obszaru obustronnego uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- ½ α.
Dla obszaru jednostronnego uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla F(uα)= 1- α.
Hipotezę zerową odrzucamy gdy: dla obszaru obustronnego, dla obszaru lewostronnego, dla obszaru prawostronnego.W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do odrzucenia H0.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Test dla wariancji
------------------------------------------------------------------------------------------------
m – średnia arytmetyczna w populacji, - średnia arytmetyczna z próby
σ – odchylenie standardowe w populacji, σ0- hipotetyczna wartość odchylenia standardowego w populacji, S – odchylenie standardowe w próbie, n – liczebność próby
---------------------------------------------------------------------------------------------
Zakładamy, że rozkład cechy w populacji jest normalny N(m,σ), odchylenie standardowe σ w populacji jest nieznane.
H0 : σ2 = σ20
H1 : σ2 > σ20
Postać statystyki testowej:
Dla obszaru obustronnego odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla α i (n-1) stopni swobody. Hipotezę zerową odrzucamy gdy: . W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do odrzucenia H0. Pamiętając, że
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Test dla wskaźnika struktury.
...