Metoda Lagrange’a: Ln(x)=i=0nyi∙k=0k≠inx-xkxi-xk
Iloraz różnicowy: Yi,i+1,…,i+k-1,i+k=Yi+1,…,i+k-Yi,i+1,…,i+k-1Xik-Xi
N3(X)=y0+y01(x-xo)+y012(x-xo)(x-x1)+ y0123(x-xo)(x-x1)(x-x2)
M. Trapezów: n+1=2 n=1 abfxdx=b-a//2 [f(a)-f(b)]+RT
RT=-(b-a)3/12 *fII(ζ)
M. Simpsona: n+1=3 n=2 abfxdx=b-a//6 [f(a)+4f(a+b//2)+f(b)]
RS=-(b-a)5/2880 *fIV(ζ)
Metody złożone wyzn. Funkcji: a=xob=xmfxdx=xox1fxdx+x1x2fxdx+…+xm-1xmfxdx gdzie m-il.częśći skok: h=b-a//m
Xi= Xi-1+h=Xo+ih=a+ih gdzie i=1,2…m
Metoda złożona trapezów:
abfxdx≜b-a2m[fa+fb+2i=1m-1fa+ih]
Dla m=4: abfxdx≜b-a2m[fa+fb+2[fa+h+ fa+2h+fa+3h]]
RTZ=-(b-a)312m2*fII(ζ) War: IfII(ζ)I≤maxxe<a,b>If"(x)I
abfxdx-Tz≤RTZ
Metoda złożona SIMPSONA:
abfxdx≜b-a12m[fa+fb+2i=1m-1fa+ih+4i=1mfa+i-12h]
Dla m=4: abfxdx≜b-a12m{fa+fb+2fa+h+ fa+2h+fa+3h+4[fa+12h+ fa+32h+fa+52h+fa+72h}
RTS=-(b-a)52880m4*fIV(ζ) War: IfIV(ζ)I≤maxxe<a,b>IfIV(x)I
abfxdx-Sz≤RTS
Numeryczne rozwiązywanie równań z 1niewiadomą:
1. f(x)=0 <a,b>
2. f(a)*f(b)≤0 1pierwiastek lub nieparzysta ilość. Albo 0 albo a lub b będzie rozwiązaniem x0,x1…xn=α → limn→∞α f(xn)≤ε ε-dokładność
Metoda Bisekcji x0=a+b//2 i wychodzą 2przedziały <a,xo> <xo,b> i jest <-+> i <++> więc bierzemy pierwszy(_i niby to przedział<a1,b1 itd.) i dalej i mamy <a,x1><x1,xo> i jest < -- > i <-+> więc drugi dalej.
3. Robimy to co ↑. Aż otrzymamy Xn=an+bn/2
4. f(xn)≤εx Iα-xnI≤ εx b-a//2n+1≤ εx Z tej równości wyliczamy liczbe kroków metody bisekcji równą n potrzebną do wyznaczenia rozwiązania równania 1. Z dokładnością εx Iα-xoI≤ b-a//2 Iα-x1I≤ b-a//22 … Iα-xnI≤ b-a//2n+1 log2( b-a//2n+1 )≤log2εx à n≥log2(b-a// εx)-1
5. n=log2b-aεx-1 zaokrąglenie w ↑ do całkow
Metoda Newtona: f(x)=0 <a,b> f(a)*f(b)≤0 f’(x)w<a,b> ma stały znak czyli f’(x)≠0 (→ g(x)=0) f’’(x)w<a,b> ma stały znak czyli f’’(x)≠0 (→ g(x)=0)
Xo: f(xo)*f’’(xo)>0 →xo=a lub b Wzór: xi=xi-1-f(xi-1)f'(xi-1) i=1,2,…,n xo
M. siecznych: f’(xi-1)=fxi-1-fxi-2xi-1-xi-2 x0x1 i xi= xi-1-f(xi-1)* xi-1 –xi-2fxi-1-fxi-2
I=2,3…n W4: Ixo-x1I> Ix1-x2I>… >Ixn-1-xnI
M Eulera: Yi=Yi-1+hf(ti-1,Yi-1) h=tn-to//n warunki: y’=f(t,y) y(to)=yo
RK: Yi=Yi-1+(1/6)(K1+2K2+2K3+K4) i=1,2,…n ...