1. Pręt i Jego charakterystyka geometryczna.
-MOMENTY BEZWŁADNOŚCI.
Moment bezwładności Io figury płaskiej względem ustalonego punktu 0, zwanego biegunem, definiuje się jako
gdzie r jest odległością elementu powierzchni o polu dA od punktu 0 (biegunowy mom. bezw.).
Moment bezwł. Il względem prostej l określamy wzorem gdzie r jest odległością elem. powierzchni dA od danej prostej czy osi.
-Momenty dewiacji (zboczenia)
W prostokątnym układzie współ. wprowadza się pojęcie momentu zboczenia (dewiacji)
(wartości mogą + lub - ).
Moment bezwł. lub moment zboczenia złożonej figury płaskiej równa się sumie momentów bezwł. lub momentów zboczenia figur składowych.
2.Siły wewnętrzne w pręcie.
Moment gnący w dowolnym przekroju pręta jest równy sumie momentów względem środka tego przekroju wszystkich sił działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem.
Siła podłużna lub poprzeczna w dowolnym przekroju równa się sumie odnośnych sił składowych obciążeń działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem.
Moment skręcający występuje jeżeli prosty pręt obciążymy w płaszczyźnie prostopadłej do osi parą sił o momencie K, wówczas siły wewnętrzne w pręcie zredukują się do momentu MS = K o kierunku zgodnym z osią pręta.
Rozciąganie lub ściskanie-występuje wyłącznie siła osiowa N, ścinanie-występuje wyłącznie siła poprzeczna T, zginanie-występuje wyłącznie moment gnący MG, skręcanie-występuje wyłącznie moment skręcający MS
3.Rozciąganie i ściskanie pręta.
-Stan naprężeń i odkształceń w pręcie rozciąganym.
Wytrzymałość na rozciąganie Rm = Fm/S0 . Granica plastyczności Re = Fe /S0 . Granica proporcjonalności RH , wydłużenie A = (LU- L0)/L0 *100%, przewężenie Z = (S0 - SU)/S0 * 100%
-Wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie.
Naprężenia odpowiadające maksymalnej wartości siły Fm nazywa się wytrzymałością na rozciąganie Rm = Fm/S0 (S0 - przekrój początkowy próbki, Fm - max. siła działająca na próbkę).
4.Pręt skręcany.
-Stan naprężeń i odkształceń w prętach skręcanych o przekroju kołowym.
1)Związki geometryczne:
Zakładamy płaskość przekroju i że przemieszczenia są małe g = r(dr/dx), g -odkształcenie poprzeczne
2)Związki fizyczne:
g = t /G, G -moduł sprężystości poprzecznej (Kirchoffa), t /G = r(dr/dx)
3)Warunek równowagi:
,,
t = (MS/I0 )*r - wzór ten pozwala wyznaczyć naprężenie w skręcanym pręcie.
-Prawo Hooke’a dla prętów skręcanych.
Warunki fizyczne określa prawo Hooke’a.
występują w przekroju naprężenia styczne mające wartości proporcjonalne do promienia r i skierowane są do nich prostopadle.
-Wytrzymałość na skręcanie.
Warunek wytrzymałości: sred£sdop
W celu wyznaczenia sred należy posłużyć się jedną z hipotez wytężenia, sred = t*31/2 a stąd t £tdop
r = r, t = tmax ® tmax = Msr /Wo
Wo = Io /r -wskażnik wytrz. na skręcanie
tmax = Ms /Wo, tmax = Ms /Wo £ tdop
5.Pręt zginany.
-Stan naprężenia i odkształcenia pręta zginanego.
Naprężenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym.
T - siła poprzeczna
Mg - moment gnacy
Warstwa obojętna składa się z włókien, które nie zmieniaja swojej długości.
1.Zakładamy płaskość przekroju
2.Zakładamy że w tej belce wystapi warstwa obojetna i powierzchnia obojętna jest prostopadła do działania momentu gnacego.
3.Kierunek wektora momentu gnacego jest zgodny z kierunkiem osi obojętnej.
4.W przekrojach poprzecznych występuja tylko naprężenia normalne.
-Wytrzymałość na zginanie.
6.Pręt ścinany.
-Stan naprężeń przy ścinaniu.
Uproszczone obliczenia na ścinanie:
-Naprężenia styczne przy zginaniu nierównomiernym (wzór Żurawskiego).
Wzór Żurawskiego pozwala obliczyć w sposób przybliżony wartość jednej składowej tXY naprężeń stycznych w przekroju pręta zginanego nierównomiernie.
8.Wyboczenie pręta.
Wyboczenie to utrata stateczności pręta spowodowana przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej.
-Wyboczenie sprężyste
-Wyboczenie niesprężyste.
Naprężenia krytyczne wyznaczamy.
Dla l<lgr ze wzorów empirycznych:
a) - (Tetmajera-Jasińskiego: skr = a-bl,
b) - Johnsona-Ostanfelda: skr = A-Bl2,
a,b,A,B-stałe materiałowe.
9.Złożone przypadki wytrzymałości pręta.
-Zginanie ukośne.
Kierunek momentu gnącego jest różny od kierunku osi głównej, centralnych osi bezwładności
Kierunek osi obojętnej nie zależy od wartości momentu gnącego a zależy od kierunku momentu głównego oraz od głównych kierunków momentu bezwładności Iz, Iy. Największe naprężenia występuja w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej.
Przemieszczenia
t - przemieszczenie
a-współczynnik- funkc. położenia przekroju a=F(x)
-Zginanie wraz z rozciąganiem (ściskaniem).
Rozciąganie mimośrodowe
Dokonujemy przekroju
-Skręcanie ze zginaniem.
Jeżeli wał jest okrągły to największe wytężenie występuje w punktach najbardziej odległych od osi obojętnej zginania. Naprężenia w tym punkcie wynoszą:
tMAX = MS/wo sMAX = Mg/w
dla przekroju okrągłego stosunek wskaźników wytrzymałości wynosi (wo/w)=2 stąd wo = 2w.
Wyrażenie to nazywamy momentem zredukowanym.
Warunek wytrzymałości dla wału zginanego i skręcanego wyraża się jak dla wału zginanego z tym że zamiast momentu gnącego występuje moment zredukowany.
(Mred/w)£sdop
Opierając się na hipotezie największych naprężeń stycznych na moment zredukowany otrzymujemy wzór:
-Twierdzenie o wzajemności prac i przemieszczeń.
-Tw. Bettiego o wzajemności prac.
Suma prac sił układu pierwszego (Pi) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu drugiego (Pk) jest równa sumie prac sil układu drugiego (Pk) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu pierwszego (Pi).
-Tw. Maxwella o wzajemności przemieszczeń.
Jeżeli na układ liniowo-sprężysty działają równe co do modułu uogólnione siły to przemieszczenie odpowiadające pierwszej lecz wywołane przez drugą równe jest przemieszczeniu odpowiadającemu drugiej lecz spowodowane siłą pierwszą.
uik=uki
13.Twierdzenie Castigliano i Maxwella - Mohra.
-Tw. Castigliano i jego zast. w obliczaniu przemieszczeń.
Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu liniowo - sprężystego względem jednej z niezależnie działających sil jest równa odpowiadającemu tej sile przemieszczeniu.
-Twierdzenie Maxwella-Mohra i jego zastosowanie.
Siła Pa zaczepiona w dowolnym punkcie A układu sprężystego wywołuje w punkcie B tegoż układu przesunięcie równe przesunięciu wywołanemu w punkcie A przez siłę Pb zaczepioną w punkcie B.
14.Twierdzenie Menabre’a - Castigliano. Metoda sił.
-Zasada Menabrea - Castigliano i jej zastosowanie.
Pochodna energii potencjalnej (sprężystej) względem wielkości statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.
-Kierunki główne i naprężenia główne.
Kierunki główne: określone przez oś u dla którego naprężenie styczne jest równe 0. Wtedy napr. normalne jest napr. całkowitym i nazywamy je napr. głównym
Płaszczyzna główna: pł. na której występuje naprężenie główne.
Na kierunku głównym zachodzi zależność
Pux = s l ; Puy = s m ; Puz = s n
17.Uogólnione prawo Hooke’a.
-Uogólniony związek pomiędzy stanem naprężenia i odkształcenia.
Określamy związki pomiędzy E, G i u
20.Wytężenie materiałów.
-Pojęcie wytężenia materiału.
Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania trwałych odkształceń i zniszczenia spójności określono jako wytężenie. Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie. Jej argumentem są składowe stanu ośrodka ciągłego w danym punkcie (z reguły składowe stanu naprężenia sX , ..., tXY , ...) i parametry charakteryzujące materiał (C1,...)
W=F(sX , ..., tXY ,...,C1 ,...)
-Naprężenie redukowane.
Naprężenie zredukowane odpowiada danemu stanowi naprężenia i jest porównywalne z jednokierunkowym stanem naprężenia.
Wytężenie to zagadnienie odpowiedności trój- lub dwukierunkowego stanu naprężenia z jednokierunkowym stanem naprężenia.
-Hipotezy wytężenia.
1)Hipoteza największego naprężenia normalnego (Galileusz i Leibnitz). O wytężeniu decyduje max. naprężenie normalne (rozciągające lub ściskające)
a) Przestrzenny stan naprężenia.
s1 <= szr , s2 <= szr , s3 <= szr
szc <= s1 <= szr , szc <= s2 <= szr ,
szc <= s3 <= szr
b)Płaski stan naprężenia s3 = 0
szc <= s1 <= szr ,
szc <= s2 <= szr
c)Ścinanie
tmax = s
szc <= tmax <= szr
2)Hipoteza najwiekszych odkształceń właściwych (de Saint-Vermont)
O wytężeniu decydują odkształcenia (wydłużenie właściwe)
e1 <= ezr , e2 <= ezr , e3 <= ezr , ezc <= e1 <= ezr
3)...