W celu wyznaczenia przemieszczenia należy dany układ rozwiązać od 2 obciążeń:
1. Od obciążenia stanowiącego przyczynę wywołującą szukane przemieszczenie,
2. Od obciążenia "jednostkowego" przyłożonego w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia.
Uwaga
:
Jedno z tych rozwiązań może być wirtualne co w praktyce oznacza, że wystarczy by było
statycznie dopuszczalne, to jest by spełniało równania równowagi. Może ono być uzyskane w drodze
rozwiązania dowolnego izostatycznego modelu układu. We wzorach oznaczono je nadkreśleniem.
PRZEMIESZCZENIA OD OBCIĄŻEŃ SIŁAMI
M
i
⋅
M
F
N
i
⋅
N
F
κ
⋅
V
i
⋅
V
F
S
i
s
⋅
S
F
s
∆
=
∆
F
i
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∑
=
iF
EI
EA
GA
k
s
s
M
i
⋅
M
F
N
i
⋅
N
F
κ
⋅
V
i
⋅
V
F
S
i
s
⋅
S
F
s
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∑
=
EI
EA
GA
k
s
s
M
i
⋅
M
F
N
i
⋅
N
F
κ
⋅
V
i
⋅
V
F
S
i
s
⋅
S
F
s
∑
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
.
EI
EA
GA
k
s
s
PRZEMIESZCZENIA OD BŁĘDÓW MONTAŻU I PRZEMIESZCZEŃ PODPÓR
M
i
⋅
M
∆
N
i
⋅
N
∆
κ
⋅
V
i
⋅
V
∆
S
i
s
⋅
S
∆
∑
∆
=
∆
∆
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
s
+
∆
i
EJ
EA
GA
k
s
s
+
∑
M
i
m
⋅
∆
ϕ
∆
+
∑
N
i
n
⋅
∆
L
∆
+
∑
V
i
⋅
∆
h
∆
−
∑
R
i
r
⋅
∆
=
m
n
v
v
r
m
n
v
r
=
∑
M
i
m
⋅
∆
ϕ
∆
+
∑
N
i
n
⋅
∆
L
∆
+
∑
V
i
v
⋅
∆
h
∆
−
∑
R
i
r
⋅
∆
.
m
n
r
m
n
v
v
r
PRZEMIESZCZENIA OD ZMIAN TEMPERATURY
M
i
⋅
M
T
N
i
⋅
N
T
κ
⋅
V
i
⋅
V
T
S
i
s
⋅
S
T
s
∆
=
∆
T
i
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∑
+
∫
M
i
⋅
∆
d
ϕ
T
+
∫
N
i
⋅
∆
dL
T
=
iT
EI
EA
GA
k
s
s
=
∫
M
i
⋅
∆
d
ϕ
T
+
∫
N
i
⋅
∆
dL
T
,
gdzie
∆
d
ϕ
T
=
α
T
⋅
(
∆
T
w
-
∆
T
p
)
⋅
dx,
∆
dL
T
=
α
⋅
∆
To
⋅
dx
=
α
⋅
(
∆
T
w
⋅
h
p
+
T
∆
p
⋅
h
w
)
⋅
dx
.
h
T
T
h
Gdy przekrój jest symetryczny
h
w
=
h
p
=
h
/
2
,
∆
To
=
(
∆
Tw
+
∆
Tp
)
/
2
.
Zwykle wyrażenia
α
T
⋅
( ∆
∆
Tw
−
Tp
)
i
⋅α są na długości określonych przedziałów stałe.
∆
To
h
T
W tym przypadku wzory te przyjmują postać:
M
i
⋅
M
T
N
i
⋅
N
T
κ
⋅
V
i
⋅
V
T
∑
S
i
s
⋅
S
T
s
∆
=
∆
T
i
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
+
iT
EI
EA
GA
k
s
s
+
∑
α
T
⋅
(
∆
Tw
−
∆
Tp
)
⋅
Ω
+
∑
(
α
⋅
∆
To
⋅
Ω
)
=
h
M
i
T
N
i
p
p
p
p
=
∑
α
T
⋅
(
∆
Tw
−
∆
Tp
)
⋅
Ω
+
∑
(
α
⋅
∆
To
⋅
Ω
)
,
h
M
i
T
N
i
p
p
p
p
DLA KRATOWNIC:
∆
=
∆
F
i
=
∑
N
i
p
⋅
N
F
p
⋅
L
+
∑
S
s
⋅
S
s
=
∑
N
i
p
⋅
N
F
p
⋅
L
+
∑
S
s
⋅
S
s
=
∑
N
i
p
⋅
N
F
p
⋅
L
+
∑
S
s
⋅
S
s
iF
p
p
p
E
A
k
E
A
k
E
A
k
p
p
p
s
s
p
p
p
s
s
p
p
p
s
s
N
i
p
⋅
N
∆
S
i
s
⋅
S
∆
∆
=
∆
∆
=
∑
p
⋅
L
+
∑
s
+
∑
N
i
p
⋅
∆
L
∆
−
∑
R
i
r
⋅
∆
=
∑
N
i
p
⋅
∆
L
∆
−
∑
R
i
r
⋅
∆
∆
i
E
A
p
k
p
r
p
r
p
p
p
s
s
p
r
p
r
∆
=
∆
T
i
=
∑
N
i
p
⋅
N
T
p
⋅
L
+
∑
S
i
s
⋅
S
T
s
+
∑
N
i
p
⋅
∆
L
T
p
=
∑
N
i
p
⋅
∆
L
T
p
gdzie
∆ α
L
T
p
=
⋅
L
⋅
∆
To
.
iT
E
A
p
k
T
p
p
p
p
p
p
s
s
p
p
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
26.02.07
1
i
i
==
a zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu nie wywołują żadnych sił:
M
M
,
N
N
,
V
=
V
,
R
=
R
,
S
=
S
.
M
∆
=
M
∆
=
0
N
∆
=
N
∆
=
0
V
∆
=
V
∆
=
0
R
∆
=
R
∆
=
0
S
∆
=
S
∆
=
0
M
T
=
M
T
=
0
N
T
=
N
T
=
0
V
T
=
V
T
=
0
R
T
=
R
T
=
0
S
T
=
S
T
=
0
Stąd
DLA UKŁADÓW IZOSTATYCZNYCH
M
i
⋅
M
F
N
i
⋅
N
F
κ
⋅
V
i
⋅
V
F
S
i
s
⋅
S
F
s
∆
=
∆
F
i
=
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∫
⋅
dx
+
∑
,
iF
EI
EA
GA
k
s
∆
=
∆
∆
=
∑
M
ϕ
i
m
⋅
∆
∆
+
∑
N
i
n
⋅
∆
L
∆
+
∑
V
i
v
⋅
∆
h
∆
−
∑
R
i
r
⋅
∆
.
i
∆
i
m
n
v
r
m
n
v
r
∆
=
∆
T
i
=
∫
M
ϕ
i
⋅
∆
T
+
∫
N
i
⋅
∆
dL
T
.
iT
Gdy wyrażenia
α
T
⋅
( ∆
∆
Tw
−
Tp
)
i
⋅α są, na długości określonych przedziałów, stałe
∆
To
h
T
∆
=
∆
T
i
=
∑
α
T
⋅
(
∆
Tw
−
∆
Tp
)
⋅
Ω
+
∑
(
α
⋅
∆
To
⋅
Ω
)
,
iT
h
M
i
T
N
i
p
p
p
p
Dla kratownic izostatycznych
∆
=
∑
N
i
p
⋅
N
F
p
⋅
L
+
∑
S
i
s
⋅
S
F
s
,
∆
=
∆
∆
=
∑
N
i
p
⋅
∆
L
∆
−
∑
R
i
r
⋅
∆
∆
=
∆
T
i
=
∑
∆
N
i
p
⋅
L
T
p
.
iF
E
A
p
k
i
∆
i
p
r
iT
p
s
p
r
p
p
p
s
PRZYJĘTE OZNACZENIA
Oznaczenie
wielkości składa się z symbolu oznaczającegotę wielkość i indeksów dolnych oraz górnych.
SYMBOLE oznaczające określone wielkości:
∆ - przemieszczenie (może to być przesunięcie, kąt obrotu lub dowolna suma przemieszczeń a w tym
wzajemne przemieszczenie) lub przyrost określonej wielkości
M=M(x)
– moment zginający,
N=N(x)
– siła osiowa (podłużna),
V=V(x)
– siła tnąca (poprzeczna), Ω - pole wykresu siły przekrojowej
S
– siła w więzi sprężystej (moment w więzi rotacyjnej lub siła podłużna w więzi translacyjnej),
k
– sztywność więzi sprężystej,
α - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału,
A
S
2
A
κ
=
⋅
∫
⋅
dA
- współczynnik zależny od kształtu przekroju (dla dwuteowników
κ ),
I
2
b
2
A
A
E
– moduł sprężystości podłużnej materiału (Younga),
G
=
E
– moduł sprężystości poprzecznej (postaciowej) materiału (Kirchoffa),
(
ν
2
⋅
1
+
ν - współczynnik Poissona,
b
– szerokość przekroju w miejscu ścinania
A, I – pole i moment bezwładności poprzecznego przekroju pręta,
S
– moment statyczny „odciętej” części przekroju,
A
- pole przekroju środnika.
INDEKSY
Indeks górny
określa przyczynę wywołującą daną wielkość.
Pierwszy indeks dolny
określa miejsce działania (występowania) danej wielkości.
Drugi indeks dolny
określa, jeśli nie ma indeksu górnego, przyczynę wywołującą daną wielkość, a jeśli
jest indeks górny, stanowi uzupełnienie określenia miejsca działania danej wielkości.
Np.:
M
oznacza moment w dowolnym miejscu wywołany przyczyną oznaczoną symbolem
n
,
i
M
oznacza moment w punkcie
i
pręta
i-j
wywołany przyczyną oznaczoną symbolem
n
,
n
∆ ,
oznaczają przemieszczenie w miejscu i kierunku
i
wywołane przyczyną oznaczoną symbolem
j
ij
∆
j
i
N
oznacza siłę osiową w pręcie o numerze
p
wywołaną przyczyną oznaczoną symbolem
i
,
i
S
oznacza siłę w więzi sprężystej o numerze
s
wywołaną przyczyną oznaczoną symbolem
i.
i
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
26.02.07
2
W układach izostatycznych
rozwiązania rzeczywiste są identyczne z wirtualnymi (statycznie
dopuszczalnymi):