mgrZofiaMatusiewicz
13maja2005
1Wprowadzenie
Niechb¦dziedanamacierzkwadratowa
A
,stopnian.
Definicja1
Wyznacznikiemnazywamy,takieodwzorawanie,któredanej
macierzyA
=[
a
ij
]
n
×
n
przyporz¡dkowujedokładniejedn¡liczb¦rzeczywist¡
det
A.
det
A
=
X
sgn
(
i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
...a
i
n
n
gdziesumowanierozci¡gasi¦nawszystkiepermutacje(
i
1
,i
2
,...,i
n
)zbioru
{
1
,
2
,...n
}
.
2Minoryiró»nesposobyobliczaniawyznaczni-
ków
Definicja2
Minorem(podwyznacznikiem)elementua
ij
macierzyAnazywa
si¦wyznacznikmacierzypowstałejzAprzezskre±leniei
−
tegowierszai
j
−
tejkolumny.MinorjestoznaczanyprzezM
ij
.
Definicja3
Dopełnieniemalgebraicznymelementua
ij
macierzyAnazywa
si¦warto±¢:
A
ij
=(
−
1)
i
+
j
M
ij
Zatem,nietrudnozatemzauwa»y¢,»ewyznacznikmacierzy
A
=[
a
ij
]
n
×
n
mo»naobliczy¢wsposóbrekurencyjny:
(
a
11
n
=1
P
n
i
=1
a
1
i
(
−
1)
1+
i
M
1
i
n>
1
det
A
=
Como»nauogólni¢dokonuj¡crozwini¦ciawzgl¦demwiersza
k
:
det
A
=
n
X
a
ki
(
−
1)
k
+
i
M
ki
i
=1
1
Warto±¢wyznacznikadet
A
,(oznaczan¡równie»jako
|
A
|
),obliczasi¦ze
wzoru:
lubdokonuj¡crozwini¦ciawzgl¦demkolumny
k
:
det
A
=
n
X
a
ik
(
−
1)
k
+
i
M
ik
i
=1
como»narównie»zapias¢jako(dokonuj¡crozwini¦ciawzgl¦demwiersza
k
):
det
A
=
n
X
a
ki
A
ki
i
=1
oraz(dokonuj¡crozwini¦ciawzgl¦demkolumny
k
):
det
A
=
n
X
a
ik
A
ik
i
=1
Tensposóbnazywasi¦
rozwini¦ciemLaplace’a
.
Podsumowuj¡cnietrudnozauwa»y¢,»ewyznacznikmacierzystopniapierw-
szegowynosi:
det[
a
11
]=
a
11
,
Wyznacznikmacierzystopniadrugiego:
"
#
a
11
a
12
a
21
a
22
det
=
a
11
·
a
22
−
a
12
·
a
21
.
Je»elinatomiastjestdanamacierz
A
stopnia3,wówczasjejwyznacznik
mo»naobliczy¢zewzoru(reguły)Sarrusa:
det
2
6
4
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
3
7
5
=
det
2
6
4
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
3
7
5
=
−
a
11
a
12
a
13
+
−
a
21
a
22
a
23
+
=
a
11
·
a
22
·
a
33
+
a
21
·
a
32
·
a
13
+
a
31
·
a
12
·
a
23
−
a
13
·
a
22
·
a
31
−
a
23
·
a
32
·
a
11
−
a
33
·
a
12
·
a
21
.
3Własno±ciwyznaczników
Definicja4
Macierzkwadratow¡A
=[
a
ij
]
n
×
n
,którejwyznacznikjestrów-
nyzeronazywamymacierz¡osobliw¡,natomiastmacierzkwadratow¡,której
wyznacznikjestró»nyodzeranazywamymacierz¡nieosobliw¡.
2
Dladanejmacierzy
A
=[
a
ij
]
n
×
n
zachodzi:
1.det
A
=det
A
T
;
2.je±limacierzjestmacierz¡nieosobliw¡,todet
A
−
1
=
1
det
A
;
3.je»elidanamacierzposiadawierszzerowy(lubkolumn¦zerow¡),wów-
czasdet
A
=0;
4.je»elidanamacierzposiadadwaidentycznewiersze(lubkolumny),
wówczasdet
A
=0;
5.je»eliwdanejmacierzyzamienimyzesob¡dwawiersze(lubkolumny),
wówczasznakwyznacznikazmienisi¦naprzeciwny:
det
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
...a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
k
1
...a
kn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
l
1
...a
ln
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
...a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
−
det
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
...a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
l
1
...a
ln
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
k
1
...a
kn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
...a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
6.je»eliwdanejmacierzyelementydanegowiersza(lubkolumny)zosta-
n¡przemno»oneprzezdowoln¡
6
=0,wówczaswarto±¢wyznacznika
równie»zostanieprzem»onaprzez
:
det
2
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
... a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
a
k
1
...
·
a
kn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
... a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
=
·
det
2
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
...a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
k
1
...a
kn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
...a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
7.je»elimacierz
A
ró»nisi¦odmacierzy
B
elementamijednegowiersza
(lubkolumny),wówczasdet(
A
+
B
)jestrównywyznacznikowimacierzy
powstałejzmacierzy
A
i
B
przezprzepisaniewszystkichnieró»ni¡cych
si¦wierszy(kolumn)idodanieodpowiednichelementówró»ni¡cychsi¦
wierszamacierzy
A
i
B
:
det
2
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
...a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
l
1
...a
ln
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
...a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
+det
2
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
...a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
k
1
...a
kn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
...a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
=
3
=det
2
6
6
6
6
6
6
6
4
a
11
... a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
k
1
+
a
l
1
...a
kn
+
a
kn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
... a
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
8.je»elijednazkolumn(lubwierszy)danejmacierzy
A
jestkombinacj¡
liniow¡innychkolumn(wierszy),todet
A
=0;
9.je»elidet
A
=0tojednazkolumn(lubwierszy)danejmacierzy
A
jest
kombinacj¡liniow¡innychkolumn(wierszy);
4Przykłady
Obliczwyznaczniki:
1.
12
34
=1
·
4
−
2
·
3=4
−
6=
−
2
2.
123
456
789
=
−
123+
−
456+
=
=1
·
5
·
9+4
·
8
·
3+7
·
2
·
6
−
7
·
5
·
3+1
·
8
·
6+4
·
2
·
9=
=45+96+84
−
105
−
48
−
72=225
−
225=0
.
Łatwozauwa»y¢,»etrzeciwiersz(
w
3
)jestkombinacj¡liniow¡piersze-
go(
w
1
)idrugiegowiersza(
w
2
):
w
3
=2
·
w
2
−
w
1
.
3.
123 10
456 0
789
−
10
01
−
1 0
=
4
123
456
789
rozwijamywzgl¦demczwartejkolumny(lubczwartegowiersza),gdy»
zawieranajwi¦cejzer:
10
·
(
−
1)
1+4
·
456
789
01
−
1
+0
·
(
−
1)
2+4
·
123
789
01
−
1
+
−
10
·
(
−
1)
3+4
·
123
456
01
−
1
+0
·
(
−
1)
4+4
·
123
456
789
=
−
10
·
456
789
01
−
1
+10
·
123
456
01
−
1
−
10
·
9+10
·
9=0
.
Łatwozauwa»y¢,»edrugiwiersz(
w
2
)jestkombinacj¡liniow¡pierszego
(
w
1
)itrzeciegowiersza(
w
3
):
w
2
=
1
2
(
·
w
3
+
w
1
),wi¦cwyznacznikjest
równy0.
5Zadania
Policzwyznacznikidanychmacierzy:
1.
"
#
19
−
13
2.
"
#
12
23
3.
"
#
i i
+1
i
−
1
i
4.
"
#
cos
x
sin
x
sin
x
cos
x
5.
"
#
cos2
x
sin
x
cos
x
1
5