Pochodna w punkcie:
f
0
(
x
0
) =
df
(
x
)
dx
|
x
=
x
0
= lim
x
!
0
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)
x
Ró»niczka:
df
(
x
) =
f
0
(
x
)
dx
Całka nieoznaczona:
R
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
, gdzie
F
0
(
x
) =
f
(
x
),
C
=
const
Całka oznaczona:
b
R
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
a
Szereg Taylora:
f
(
x
) =
f
(
a
) +
x
−
a
1!
f
0
(
a
) +
(
x
−
a
)
2
2!
f
00
(
a
) +
...
+
(
x
−
a
)
n
n
!
f
(
n
)
(
a
) +
...
Własno±ci pochodnych
Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna
(
af
)
0
=
af
0
x
n
nx
n
−
1
arc sin
x
1
p
1
−
x
2
(
f
+
g
)
0
=
f
0
+
g
0
e
x
e
x
arc cos
x
−
1
p
1
−
x
2
(
fg
)
0
=
f
0
g
+
fg
0
a
x
a
x
ln
a
arc tg
x
1
1+
x
2
(
fgh
)
0
=
f
0
gh
+
fg
0
h
+
fgh
0
0
ln
x
1
x
arc ctg
x
−
1
1+
x
2
=
f
0
g
−
fg
0
sin
x
cos
x
sinh
x
cosh
x
g
2
df
(
g
(
x
))
dx
=
df
dg
dg
dx
cos
x
−
sin
x
cosh
x
sinh
x
tg
x
1
cos
2
x
tgh
x
1
cosh
2
x
f
,
g
,
h
- funkcje zmiennej
x
,
a
- stała
ctg
x
−
1
sin
2
x
ctgh
x
−
1
sinh
2
x
Własno±ci całek
Całki (z dokładno±ci¡ do stałej)
R
af
(
x
) =
a
R
f
(
x
)
dx
R
x
n
dx
=
x
n
+1
n
+1
,
n
6
=
−
1
R
e
x
dx
=
e
x
R
(
f
+
g
)
dx
=
R
fdx
+
R
gdx
R
dx
x
= ln
|
x
|
R
a
x
dx
=
a
x
ln
a
R
sin
xdx
=
−
cos
x
R
sinh
xdx
= cosh
x
R
cos
xdx
= sin
x
R
cosh
xdx
= sinh
x
Podstawianie:
u
=
g
(
x
),
du
=
g
0
(
x
)
dx
R
tg
xdx
=
−
ln
|
cos
x
|
R
tgh
xdx
= ln cosh
x
R
f
g
(
x
)
g
0
(
x
)
dx
=
R
f
(
u
)
du
R
ctg
xdx
= ln
|
sin
x
|
R
ctgh
xdx
= ln
|
sinh
x
|
R
dx
R
dx
cos
2
x
= tg
x
cosh
2
x
= tgh
x
R
dx
R
dx
Przez cz¦±ci:
sin
2
x
=
−
ctg
x
sinh
2
x
=
−
ctgh
x
R
fdg
=
fg
−
R
gdf
R
dx
R
dx
a
2
+
x
2
=
a
arc tg
x
a
p
a
2
−
x
2
= arc sin
x
a
,
a>
|
x
|
R
dx
a
ar tgh
x
a
,
|
x
|
<a
R
dx
a
2
−
x
2
=
1
p
a
2
+
x
2
= ar sinh
x
a
R
f
0
(
x
)
f
(
x
)
dx
= ln
|
f
(
x
)
|
+
C
R
dx
x
2
−
a
2
=
−
1
a
ar ctgh
x
a
,
|
x
|
>a
R
dx
p
x
2
−
a
2
= ar cosh
x
a
Funkcje trygonometryczne Funkcje hiperboliczne
Wektory
sin
2
x
+ cos
2
x
= 1
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
Iloczyn skalarny
2
~a
•
~
b
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
cos 2
x
= cos
2
x
−
sin
2
x
ar sinh
x
= ln(
x
+
p
x
2
+ 1)
~a
•
~
b
=
|
~a
||
~
b
|
cos
]
(
~a,
~
b
)
p
tg 2
x
=
1
−
tg
2
x
ar cosh
x
=
±
ln(
x
+
x
2
−
1) Iloczyn wektorowy
q
1
−
cos
x
2
sin
x
2
=
q
1+cos
x
2
cosh
2
x
−
sinh
2
x
= 1
~a
×
~
b
= [
a
y
b
z
−
a
z
b
y
,a
z
b
x
−
a
x
b
z
,a
x
b
y
−
a
y
b
x
]
cos
x
2
=
|
~a
×
~
b
|
=
|
~a
||
~
b
|
sin
]
(
~a,
~
b
)
f
g
1
sin 2
x
= 2 sin
x
cos
x
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2 tg
x