Hydrostatyka
zajmuje się opisem mechaniki płynów w stanie spoczynku. Płynami będziemy nazywać tu zarówno
ciecze, jak i gazy.
Ciśnienie
definiujemy jako stosunek siły
F
działającej prostopadle na powierzchnię
S
do wielkości tej powierzchni.
siła
Ciśnienie jest wielkością skalarną, wyrażaną w paskalach [Pa].
Pa = N/m
2
F
ciśnienie
p
W zastosowaniach używamy również alternatywnych jednostek
ciśnienia, takich jak:
• mm słupa rtęci = 133,3 Pa,
• bar = 1000 hPa,
• psi =6,893 kPa.
S
powierzchnia
W cieczach, w polu grawitacyjnym, ciśnienie zależy od głębokości pod powierzchnią cieczy:
p
r
g
h
g
gdzie
p
0
– ciśnienie na powierzchni/na wybranym poziomie odniesienia,
r
- gęstość cieczy,
h
– wysokość słupa cieczy, g – przyspieszenie grawitacyjne.
p
0
Ciśnienie słupa cieczy
Zadanie 1
Do jednego ramienia rurki o kształcie litery „U”, stojącej pionowo, wlano wodę o gęstości 1kg/dm
3
, a do drugiego
benzynę o gęstości 0,7 kg/dm
3
. Ciecze nie mieszają się, a wysokość słupa benzyny wynosi H=10 cm. Na jakiej
wysokości względem powierzchni benzyny ustali się powierzchnia wody w drugim ramieniu?
Rozwiązanie
Ciśnienie cieczy na głębokości h wyrażone jest wzorem:
p
r
p
0
g
h
Wzór ten obowiązuje dla wszystkich cieczy. Zatem u podstawy słupa benzyny ciśnienie jest
identyczne jak ciśnienie w drugim ramieniu U- rurki na tej samej wysokości. Układ jest w
równowadze, a oba końce rurki są otwarte – ciśnienie wywierane przez słup wody o
wysokości y jest takie samo jak przez słup benzyny o wysokości H (zakładamy, że dodatkowy
„słup” powietrza o wysokości x można zaniedbać).
Ramię lewe:
p
B
L
r
p
0
g
H
Ramię prawe:
p
W
r
p
0
g
y
gdzie
p
0
– ciśnienie atmosferyczne,
r
W
–
gęstość wody,
r
B
–
gęstość benzyny.
Na tej samej wysokości ciśnienia są równe, czyli .
p
L
p
P
Ponieważ,
H
x
y
, więc otrzymujemy, że:
r
B
g
W
H
r
g
x
x
H
r
0
1
0
,
3
m
0
,
03
m
Wyliczamy szukane
x
:
r
1
W
Odpowiedź
: Powierzchnia wody jest 3 cm poniżej powierzchni benzyny w drugim ramieniu.
P
H
r
,
W
B
Ciśnienie słupa cieczy
Zadanie 2
Warstwa wody znajduje się na głębokości D= 5m. Jakie ciśnienie należy wytworzyć w komorze pompy ssącej, aby
mogła ona podnieść wodę na powierzchnię? Ciśnienie atmosferyczne p
0
przyjmij jako 1000 hPa, g=10 m/s
2
oraz
gęstość wody
r
W
=1kg/dm
3.
.
Rozwiązanie
Ciśnienie cieczy na głębokości h wyrażone jest wzorem:
p
g
h
Zakładamy, że jeśli pompa podnosi wodę na powierzchnię, to w rurze
doprowadzającej znajduje się słup wody o wysokości D. Zatem, u podstawy
tego słupa (na powierzchni warstwy wodonośnej) ciśnienie wynosi:
p
W
r
p
P
g
D
gdzie
p
P
–
ciśnienie w komorze pompy.
Wiemy jednocześnie, że na powierzchni warstwy wodonośnej ciśnienie jest równe atmosferycznemu – jeśli
zaniedba się dodatkowe ciśnienie słupa powietrza o wysokości D oraz ciśnienie wywierane przez otaczające
skały, czyli
0
p
1
p
Zatem:
D
p
W
P
r
p
0
g
Przyjmując, że
g
=10 m/s
2
,
p
0
=1000 hPa oraz gęstość wody
r
W
=1000kg/m
3
, otrzymujemy
p
P
1000
hPa
1000
10
5
Pa
500
hPa
Odpowiedź
: Należy wytworzyć ciśnienie 500hPa.
r
p
0
1
Prawo Pascala
W zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona bez zmiany wartości do każdego
miejsca w płynie i do ścian zbiornika.
Zadanie 3
Na tłok podnośnika hydraulicznego o średnicy
f
1
= 1 cm działa siła
F
1
= 100 N. Jaką siłą będzie działał na
podnoszony przedmiot drugi tłok o średnicy
f
2
= 10 cm? Jaki jest stosunek pracy wykonanej nad układem do
pracy wykonanej przez układ?
Rozwiązanie
Zakładamy, że oba tłoki znajdują się na tej samej wysokości
(zaniedbujemy efekt związany z ciśnieniem słupa cieczy). Ciśnienie
wywierane na tłok 1 jest przenoszone (bez zmiany wartości) na tłok 2,
p
1
p
F
1
F
F
F
S
czyli
oraz:
, a stąd
2
S
S
2
S
1
1
2
1
f
2
f
2
Powierzchnie tłoków będą odpowiednio
S
1
2
1
S
2
2
2
2
f
Zatem:
F
2
f
F
2
Po wstawieniu danych otrzymujemy
:
F 10
100
N
100
kN
2
1
1
Praca jest w tym przypadku równa iloczynowi działającej siły i przemieszczenia tłoka:
W
1
x
F
1
2
x
F
2
2
Ciecz jest nieściśliwa – objętość wypchnięta przez jeden tłok pojawia się przy drugim
S
1
x
x
1
S
2
2
Dlatego:
W
2
W
F
S
1
x
1
F
x
2
S
1
1
1
2
Odpowiedź
: Praca wykonana nad układem jest równa pracy wykonanej przez układ – energia jest zachowana.
2
2
W
1
Prawo Archimedesa
Ciało zanurzone w płynie jest unoszone w górę siłą równą ciężarowi wypartego płynu.
Ciało pływające na powierzchni płynu wypiera tyle płynu, ile samo waży.
zanurzona objętość ciała, tj. objętość wypartego płynu
masa ciała objętość ciała
siła wyporu
F
W
r
V
g
siła ciężkości
Q
m
g
V
r
g
W
gęstość płynu
gęstość ciała
F
W
< Q
r
W
<
r
F
W
= Q
F
W
= Q
r
W
>
r
F
W
F
W
F
W
Q
Q
Q
Ciało tonie
Ciało w równowadze
Ciało pływa
'