Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 9
9. Zasada zachowania pędu9.1 Środek masyDotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bezwymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postępowego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
· ciało może wirować lub drgać.
· w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie.
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Zajmiemy się ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka o różnej masie. W jednej mamy n1 jabłek, każde o masie m1, w drugiej n2, każde o masie m2. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
czyli
To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.
Natomiast środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej.
Np. dla dwóch różnych mas m1 i m2
czyli
Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
ponieważ suma jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postępując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc
oraz
Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwięzłe równanie wektorowe
(9.1)
Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zależy od wyboru układu odniesienia).
Przykład 1
Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg, umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak jak na rysunku.
xśrm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
yśrm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·m)/6kg = m
Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.
9.2 Ruch środka masyRozważmy układ punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o stałej całkowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać
Mrśrm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn
gdzie rśrm jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (względem czasu) powyższe równanie otrzymamy
lub
Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
lub
Maśrm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan
czyli
Maśrm = F1 + F2 + ...........+ Fn
Wobec tego możemy napisać
Maśrm = Fzew (9.2)
Z równania (9.2) wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
· Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
· Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości. W rozważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Obliczmy Ek mierzone w układzie środka masy.
gdzie vwzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymamy
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy prędkość środka masy (Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn). W układzie środka masy, w którym mierzymy, vśrm = 0 więc drugi wyraz znika.
Zatem
gdzie Ek' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych to równanie przyjmuje postać
gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obrotową).
Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v.
Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?
gdzie vrot,wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc vrot,wzg = v.
Stąd
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).
9.3 Pęd układu punktów materialnychZdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n punktów materialnych o masach m1, ......, mn. Zakładamy, że masa układu (M) pozostaje stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia
P = p1 + p2 + ......... + pn
...