Wyklad08(2)(2), fizyka, wyklady

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 8

8. Zasada zachowania energii8.1 Wstęp

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że

W = DEk

Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypadkową: F = F1 + F2 + F3 +.......+ Fn. Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykonanych przez poszczególne siły: W = W1 + W2 + W3 +...........+ Wn.

Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać

W1 + W2 + W3 +...........+ Wn =DEk

Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają różne siły, pozwoli to na definiowanie różnych rodzajów energii.

8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze

Zaczynamy od rozważmy przykładów dwóch rodzajów sił: sił zachowawczych i sił niezachowawczych.

Najpierw rozpatrzmy sprężynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.

Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku.

Założenia:

· ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia,

· sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest siłą wywieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość x,

· masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała energia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.

Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania pracy kosztem jego ruchu (kosztem Ek). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę jest zachowawcza. Inne siły, działają także w ten sposób, np. siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą samą prędkością i energią kinetyczną.

Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to, że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą.

Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest idealnie gładka, że mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podobnie) są niezachowawcze.

Możemy przeanalizować zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje ta siła nad punktem materialnym.

W pierwszym przykładzie (bez tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy sprężyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą się praca jest dodatnia (siła i przemieszczenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprężystą (siłę wypadkową) jest równa zero.

W drugim przykładzie (uwzględniamy tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia jest ujemna dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).

Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest niezachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru.

Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi.

Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z B do A po innej (2) (patrz rysunek).

Jeżeli siła jest zachowawcza to

WAB,1 + WBA,2 = 0

bo droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej

WAB,1 = ‑ WBA,2

Ale gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to, ponieważ zmieniamy tylko kierunek to

WAB,2 = -WBA,2

Skąd otrzymujemy

WAB,1 = WAB,2

Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu od A do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć dowolny kształt byleby tylko łączyły te same punkt A i B.

Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.

Przedstawione definicje są równoważne.

8.3 Energia potencjalna

Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + sprężyna. Zamiast mówić ciało się porusza będziemy mówić: stan układu się zmienia.

Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem rośnie tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia energii stanu lub energii potencjalnej Ep. Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o wartość DEk to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna Ep (stanu) tego układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

DEk + DEp = 0

Innymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej Ek jest równoważona przez równą co do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej Ep układu, tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

Ek + Ep. = const. (8.1)

Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą.

W przykładzie ze sprężyną (bez tarcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje, a zlokalizowana w sprężynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii

W = DEk

więc dla zachowawczej siły F

W = DEk = - DEp

Stąd

(8.2)

Możemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną

(8.3)

Trzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć DEp a nie Ep samą. Ponieważ DEp = EpB – EpA. Żeby znaleźć EpB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość EpA

Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby Ep było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).

Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych

· grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi)

Ruch wzdłuż osi y

F(y) = -mg

F jest stała. Przyjmujemy, że dla y = 0, Ep(0) = 0.

Wtedy

Sprawdzenie

· energia potencjalna sprężyny

Ruch wzdłuż osi x

F(x) = -kx

Przyjmujemy dla x = 0, Ep(0) = 0.

Wtedy