_
^
„^
733
ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI I ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ MATURALNYCH
LICZBY RZECZYWISTE. ZBIORY
I. a) 399975; b) 1521: c) 80|.
3. a) 14i 15 są względnie pierwsze; c) ^ = ?i«, gdzie «e N.
4. a) Jest podzielna przez II; b) 1; c) cztery liczby, najmniejsza: 1848, największa: 9S78.
5. a) Nic jest podzielna; b) jest podzielna; c)a-fo=7 lub
a-b = '--l,
czyli
\a-b] = l.
6.
Rozwiązanie.
Ozn.
a, h, c -
cyfry liczby
n.
odpowiednio setek, dziesiątek, jedności.
Przy tych oznaczeniach
n=\00a+lQb + c, k=lQ0c+\0b + a. n-k^l00a+\0b + c~<\00c+\0b+a}^99a-99b = 99(a-b).Uc7bz99(a-b)
jest iloczynem liczby 99 i liczby parzystej
{a, h
sąmeparzyste, więc ci-fc jest liczbą parzystą), zatem jest podzielna pvzex 99-2 - 198.
7. a)(0,-2), (1,-5), (3.-5), (4,-8): b)(l,2), (5,14), (7,8), (13,6); c) (-9,-6). (-3,-12), (-1,2), (5,-4),
Wskazówka,
c)xy + 5x + 2y + ?,=xy + 5.x + 2y+lQ-l.
8. a) 6 jest liczbą doskonałą, 18 nie jest;
b)
28,
Wskazówka, b)
Szukana liczba jest postaci
4p.
gdziep jest hczbą pierwszą,
9. a)/ie {-5,-3.-1. I}; b)/le {-8.-2, O, 2, 4, 10),
10. 6130 lub 2 i 74,
Rozwiązanie,
a, ^ - szukane liczby,
a<b.
Liczba (3ft + — jest całkowita, więc «jest dzielnikiem t. Zatem ft-Zra, gdzie ^jest liczbą naturalną.
.
,
{k = l
\k=5
\k=31
ik = li5
ab + ^=ka~ + k^k(a--f-l),
185-5 • 37, Zatem
.
lub { -,
lub J -
lul> i ^
"
[a-+l = 185
[a^+1-37
[a^+l^5
[a^+l^l
Stąd otrzymujemy:
<
(k^5
lub '^
(k=37
, Szukane pary liczb, to 6 i 30 oraz 2 i 74.
[a~6
[a = 2
II. 61210 lub 30142.
12. a) 39; b) 27.
Wskazówki. I.
Jeżeli liczba naturalna ;i ma dokładnie cztery dzielniki, to
n=pq ]ub n=p^,
gdzie p i
q
są liczbami pierwszymi.
11.
l-rp + q+pq = {p + \){q+\}.
13.
Wskazówki. I,
Wielomian
ił -n
rozlóz na czynniki możliwie najniższego stopnia. II. Liczba *? jest podzielna przez 5 albo jest postaci 5*:+ 1
albo jest postaci 5^ ± 2. gdzie
k
jest liczbą całkowitą.
14.
Wskazówki.
1.;? jest liczbą nieparzystą, więc
(p-\.)(p+
1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb parzystych; II. p jest liczbą pierwszą większą
od 3, więc przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 lub 2.
15.
Wskazówka,
n = a- + b',g&z.iza,b^C,
5n = 5(u- + b') = {a^ + 4b'-) + {Aa~+b^).
2
2
16. Przv oszacowaniu rezultatu tróiskoczka (
>
).
217 243
17. a)ci-17,276, ^'^8,616; b) błąd bezwzględny: 0,008, błąd względny: —^.
6473
18. a)-l.i + -L;
b)np.i.i + -L + ^.
5 6 30
5 7 30 42
134
ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA
19. a) -;
b) —.
6
100
20. a, i; b) ^; o, If.
21. Wartość wyrażenia: 68,25, przybliżenie: 68, błąd względny:
273
22. Liczba a jest niewymierna, ijjest wymierna (a = V2, fc = 5).
V2(V2 + 1) /T .
. ,. ^ .
, (V7+V3)-+(%/7-V3(-
7+2V2r+3+7-2721+3 20
• , • ,
Rozwiązanie, d-
?= ^ = v2, więc a lest hczbąmewyrmemą.
b-
——;=—^^—;=—
1=
—--
TT^
-—r~' więcojest
V2+l
(V7-V3)(V7+V3)
7-3
4
liczbą^ wymierną.
23. H=-y6-3. |M| = 3-V6^-
24. a)4+V3:
b) 2^2-1;
c)yf5-yf2.
25. a)i^li^i^^; b)V?-V^.
4
26. Dana liczba jest równa 3. jest więc wymierna,
27. a)l; b) 9.
28- Dla dowolnych
a.b (ait b)
wartość wyrażenia jest równa 1.
Wskazówki.
l.lb-a\^\a-hl
U.^[x^ = \xl.
29. Dla każdego .t e (-1; 5) wyrażenie ma wartość 15.
30. a) Elemcni neutralny mnożenia: 1. element neutralny dodawania: 0; b) 12, 2 jest elementem neutralnym d;:ialania ®:
c) 2 nie jest elementem neutralnym działania ®.
31.
Wskazówka. Istnieje taka liczba .5, że dla każdego (' e {1, 2.. . . , n} zachodzi równość
—^ = s,
stąd
a, = sb,.
32.
a+b
Rozwiązanie. Wykażemy, że dla dowolnych nieujemnych liczb
a, b
zachodzi nierówność równoważna —r
^Jah
>0.
a+b r-r a+b-2y[ah
{4af-l^ab
H4bf
i4a'4b)^ .^^
-^~^cb=^^
—^
=
2
-^•
34.
Wskazówka,
a" + h- + c>ah + acń-bc
<^
Ha' + b' + c^)>2{Qb + ac-\-hcX
35.
Wskazówka. Jeśli jc+>'+; = 0,
to(x+y + z)' = 0.
36. a) Ane = (-5;-3>w(3;4); b) A^oB-<-6-,-l)w(0;6>-, c) A\B-(-6;-5>u(4;6>; d) B\A = (-3;-l)u(0:3).
37.
AnB = B. B'^C = A. A\C = B.
38. a)Rys, 1/2M;
b)np. (A\Qu(BnQ
albo
(AijC)\(B\Q.
39. Au5^R, An5-|4,ó}.
40. A\g-(-l; l)u{-4},
B\A = 0.
f A = <-4; 1), 6 = (-4;-l)),
ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA
135
41. a) DlaflSl; b) (3-3; c) nie istnieje takie A; d)
a-6.
Rozwiązanie, a) Suma zbiorów
A.
i
B
będzie zbiorem liczb rzeczywistych wtedy, gdy prawy koniec przedziału
A
nie będzie mniejszy niż lewy
koniec przedziału fi: a>-3(! + 4. Stąd otrzymujemy «>1.
42. a)Rys.2/2M; b) (-3; 0)u<3; 6); c)
np. (A\B) u{B\A)
lub
(AuB)\(AnB).
43.
A'n:B={2]
(A'-<2; 5), S = {-oc;-2)u {2|).
Rys. 2/2 M
44. 3900 kg.
45. a) 30 uczniów: b) 40%; c) 32 uczniów.
46. a) 190 000; b)61,l%; c) 53,3%; d) 32.6%; e)ll,l%; f) o 1,7 punktu procentowego.
47. 178 zł 20 er.
4,4
Rozwiązanie.
Naliczone odsetki po 6 miesiącach: ^*7;br'5000 = 110 (zł). Stan konta powiększył się oO,81-110-89,1 (zł).
48. Lokata HIT: 124 S, lokata GOLD: 121,8 $, lokata SUPER: 126 $.
49. 49,7%,
50. a) Można. Na pierwszym miejscu; b) spadła o 13%.
51. a) Kowalski: 6 094.08 zł, Nowak: 12 373.08 zł; b) o 5! %.
52. a) 315; b)64%; c) o 43,75%.
53.
729 min.
Rozwiązanie.
p.e~
liczba mieszkańców odpowiednio Polski i Europy,
p -
' • 6 • 10 = 39000000. 5,35%-e-;), czyli-^e- 39000000.
1000
100
Stąd f = 729,0 min,
54. 4%.
55. a) 1457240ha; b) o 35%: c)5482000ha.
56. 10 kg.
Rozwiązanie.
; - masa zanieczyszczeń (w kg), które trzeba usunąć. 0,08 -210= 16,8 (kg) - masa zanieczyszczeń w 210 kg nasion. Po usunię
ciu z kg zanieczyszczeń zostanie 210-c kg nasion, które będą zawierać 16,8-; kg zanieczyszczeń. —^-
-TT^' stąd otrzymujemy równa
nie liniowe 100-(16,8-z)-3,4'(210-c}, a z otrzymanego równania dostajemy-- 10,
57. Ponad 19,8 tys, samochodów.
58. 2%.
59. 1:3,
60.
8zi.
Rozwiązanie.
Oznaczenia:
b
- liczba sprzedanych biletów na pierwszy mecz.
c -
cena biletu po obniżce.
Liczba sprzedanych biletów na drugi mecz: ł,8fc. Wpływy ze sprzedaży biletów na pierwszy mecz:
I2b.
Wpływy ze sprzedaży biletów na dmgi
mecz:
c-l,Sh. c-l.ib=\,2-l2h.
Dzieląc obie strony równania przez ],8fc, otrzymamy £7 = 8,
61. a) o 16,2punkta procentowego; b) o 44,75%.
62. a) 1,4%: b) 22,6%,
63. 16%,
136
ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA
64. 20%.
*
Rozwiązanie. Ozn. g —masa świeżych grzybów.
Woda W Świeżych grzybach:
0,9g.
Masa grzybów po suszeniu:
--g.
W wyniku suszenia wyparowaki
—g
wody. Suszone grzyby zawierają
0.9^'-—^= — ^ wody. Suszone grzyby zawierają (-^,(? :-|-§)-100% = 20% wody.
65. a) Więcej do ZSZ; b) więcej chłopców (dziewczęta stanowiły 49.8% liczby uczniów szkół ponadpodstawowych); c) o 11,5%.
66. 24%.
Rozwiązanie. Oznaczenie:
r -
liczba rybek w akwarium rok temu. Liczba rybek żyworodnych rok temu: 0,2r. Liczba rybek jajorodnych rok
temu: 0,Sr. Liczba rybek żyworodnych obecnie: l,50,2r-Q,3r Liczba rybek jajorodnych obecnie: l,l8750,8r-0,95r. Liczba wszystkich
r>'bek obecnie: l,25r. Obecnie rybki żyworodne stanowią ' -100% - 24%.
67. a) o 50%'; b) liściastych będzie o 12.5% mniej niż iglastych.
[
1
68. 87,5%.
0 24i?
Rozwiązanie. ^- liczba grusz,
j-
liczba jabłoni. 0.24^ij - o tyle drzew powiększy się sad.
—
—^ = 0,03, stądj-7g.
Szukany procent:
-^
— 100% =
'^i •
100% = -|-• 100% = 87,5%.
^ ^
S+J
g+7i'
8
69. o 301,9%.
70. a) 66%; b) 37%; c)61%.
Rozwiązanie, c) Oznaczenia:
fcM —
liczba kobiet w wieku 35 — 39 iat mieszkających
w 2002
roku
w
mieście
kw, —
liczba kobiet w wieku 35 — 39 lat mieszkających w 2002 roku na wsi
m.v) - liczba mężczyzn w wieku 35 - 39 lat mieszkających w 2002 roku w mieście
ma- -
liczba mężczyzn w wieku 35 — 39 lat mieszkających w 2002 roku na wsi
Wiemy.ze:^.!^. stądOi-,,.M>W,
m,y
iOO
100
-^ = ^. stąd ® ^„.= ^^.
^
100
©1«±^ = ^.
m,^+ln^^f
100
. . ^k . £v , £k
103.5wiv, +90,lmiv „^
,
, • . «k
55m>,
Wstawiając W i O do *>, otrzymujemy
— 98, a po przekształceniach ^
if!w=
Szukany procent: p--
—
—
-^
100%, Wykorzystując związki O, ®, O, otrzymuiemy £< =
—
'-
—
—
100% =61%.
71. Noriaki Kasai: 257,6 pkt, Adam Małysz: 254,2 pkt. (Kasai wygrał ten konkurs, Małysz zajął trzecie miej.sce).
72. a) Kowalski: 88 zł 80 gr, Nowak: 402 zł 60 gr; b) 77.9%.
73. a) 6; b) 7.
74. a) 406 zł; b) o 11,5%.
75. a) 32 km'; b) 375 osób/km'.
Rozwiązanie, a) W obu dzielnicach mieszka po 6000 osób. Powierzchnia pierwszej dzielnicy:
p, =
-20 km . Powierzchnia drugiej
300"'"^
dzielnicy:
p-,-
-12km . b) Gestosc zaludnienia miasta:
= 375 (osob/km ).
500^
^
Pi+P2
76. Lata 1950-1975: 1,5 mld, lata 1975-2000: 1,9 mid.
77. a) Afryka: 697,48 min, Europa: 730,5 min; b) Afryka: wzrost o 19,2 min, Europa: spadek o 0,79 min.
78. 17km/godz.
nin- 100
ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA
137
79. 57,6km/godz.
Rozwiązanie.
Ozn.
Is -
droga (w km), jaką przebyli Nowakowie. Pierwszą połowę drogi pokonali w czasie fi =
-^.
Drugą połowę drogi poko
nali w czasie
h^-jr-
Całą drogę przejechali ze średnią prędkością v =
Is
-57,6 km/godz.
45
FUNKCJE
80. a)
-1.0,3, 2;
b)
(O, 2);
c)
-2, O, 1,2,
Rozwiązanie, c)
Należy znaleźć te liczby x, które spełniają równanie
Ax' - Ąx^ -9x~ + x-¥2 = l JC ~
15x + 2. Równanie to sprowadzamy do postaci
4x^-4r^~ I6x^+ I6x = 0,
następnie do postaci
4x(x^~x~-4x + 4) = 0
i ostatecznie do postaci
4x(x-
l)(jt:~-4)-0. Stąd mamy x = 0 lub J:- i (ub
;(—2łub;t = 2.
V7
2
Rozwiązanie, a)
Dziedziną
D
funkcji / jest zbiór tych liczb
x,
dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nicujemne. Zatem
D
jest zbiorem
rozwiązań nierówności kwadratowej -;("-6A--5>0, czyli D = (-5; -1).
82. a)-3: b)-3i4: c)-2i2-
Rozwiązanie. a)
Dlaxe (1;-H«) funkcja/określona jest wzorem
f{x)=:ł--4x.
lE (];+«.), więc/(I)-l-4 = -3.
b) DlajTG (-™; 1) funkcja / określona jest wzorem/(J:)-J:^ + X-6, zatem/(-3) = 9 - 3 - 6 - O (więc-3 jest miejscem zerowym funkcji/),
a /(0) = 0 + 0-6--6?iO (więc O nie jest miejscem zerowym funkcji /). 2, 4e (1; -H«), więc
f(2) = 4-S^0
(2 nie jest miejscem zerowym
funkcji /). a/(4)= 16-16-0 (4 jest miejscem zerowym funkcji /).
c) Należy znaleźć: O te argumenty
xe
(-™: I), dla których zachodzi równość
x' + x-6 = -4
oraz. ® te argumenty j;e (I;
+-x>},
dla których
zachodzi równość
x' - 4x
- -4. Rozwiązując oba równania kwadratowe z uwzględnieniem podanych warunków, otrzymujemy
z & x =
-2,
az®.v-2.
83. a) 1-1,0,3,
b)f(x) = x'
- 1;
c)
Rys. 1/3M.
84.
a)f(x) = -^:
c)
(1. 18), (2. 9), (3. 6), [6, 3). (9, 2), (18, 1).
Rozwiązanie, a)
Odwrotnością liczby
x
jest liczba —. Zatem funkcja / określona jest
wzorem
f(x) = ^^.
X
b) Punktami wykresu funkcji / są punkty postaci (J:, —).
Rys. 1/3M
Ponieważ
x
e R+, to także -^ e R+. Obie współrzędne punktów należących do wykresu funkcji / są dodatnie, więc punkty znajdują się w
I ćwiartce układu współrzędnych.
c) Jeśli X jest liczbą naturalnaj to — jest liczbą naturalną wtedy, gdy A; jest dzielnikiem liczby 18.Zatemxe {1,2,3,6,9, 18}, a szukane
punkty, to (I, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1).
85. a)/(-!)= 1,/(I)--4;
b)-2 i 4; c) O, 1,2,3.
86. a) ZbiórB jest wykresem pewnej funkcji;
b)
-2;
c)
3.
Rozwiązanie.
Pierwsza współrzędna (odcięła) punktu należącego do wykresu funkcji/jest argumentem, a druga współrzędna (rzędna) jest
wartością, jaką funkcja / przyjmuje dla tego argumentu.
a) Zbiór
A
nie jest wykresem żadnej ftinkcji, ponieważ do zbioni
A
należą punkty (2, 5) i (2, 0), co uniemożliwia określenie wartości funkcji dla
(iczby 2.
b) Punkt (2, -2) ma najmniejszą rzędną, więc najmniejsza wartość funkcji /jest równa -2.
c) Punkt (3, 0) należy do wykresu funkcji /. Oznacza tu, że /(3) = 0, więc 3 jest miejscem zerowym funkcji/
87. a) 1; b) dziedzina; (-2; 1) u (4; 7), zbiór wartości: <1; 6).
88. a) Zbiór wartości funkcji/(-5; 6), zbiór wartości funkcji g; (-4; 4);
b)
(-5;^) u (4; 6);
c)
(-4, 1,5};
d)<-6;-^)
u (1; 5);
e)
(-5; -3);
f)
(-5, -3, -1, 2, 5};
g)
(-6; -5) u (-3; -1) u (2; 5) u (5; 7).
Wskazówka, g)
Iloczyn/(-v)-^(.t) jest ujemny wtedy, gdy O/(x)<0 i ^(x)>0 iub
@ f(x)>Oi f^{x)<0.
81. a)(-5;-l); b)dlax —|, /f-i].^, /(V3-3)=l.