Reprezentacja wiedzy z wykorzystaniem zbiorw
rozmytych
Podstawowe pojħcia teorii zbiorw rozmytych
Gþwnym motywem powstania teorii zbiorw rozmytych i
logiki rozmytej byþa potrzeba opisu danych, ktre majĢ
charakter nieprecyzyjny.
SĢ to tak zwane dane lingwistyczne typu áwysoka
temperaturaÑ ámþody czþowiekÑ áĻredni wzrostÑ áduŇe
miastoÑ.
Dawno teŇ byþy znane matematykom paradoksy: paradoks
fryzjera i paradoks kþamcy.
Pierwszy z nich, sformuþowany na poczĢtku XIX w. przez
Bertranda Russella, sprowadza siħ do odpowiedzi na pytanie Î
JeŇeli fryzjer goli mħŇczyzn, ktrzy nie golĢ siħ sami, to do
ktrego zbioru zaliczyę samego fryzjera? Do zbioru
mħŇczyzn, ktrzy golĢ siħ sami, czy do zbioru mħŇczyzn,
ktrzy nie golĢ siħ sami?
JeĻli chodzi o paradoks kþamcy, to jeĻli przestrzeı
wszystkich osb podzielię na prawdomwnych i kþamcw, to
do ktrego zbioru zaliczyę osobħ mwiĢcĢ áTo co
powiedziaþem jest kþamstwemÑ? Gdyby zaliczyę go do osb
prawdomwnych, to musi byę prawdĢ to co powiedziaþ, zatem
skþamaþ Î nie moŇe wiħc naleŇeę do tego zbioru. JeŇeli
zaliczaę go do zbioru kþamcw, to wypowiedziane zdanie jest
kþamstwem, zatem mwca powinien naleŇeę do zbioru
prawdomwnych. Paradoks ten przypisywany jest
Eubulidesowi z Miletu.
Definicja 1
Zbiory rozmyte to zbiory, ktrych elementy mogĢ naleŇeę do
nich w pewnym stopniu.
2
Rys. 4. Dyskretna i rozmyta reprezentacja wartoĻci
WadĢ dyskretnej reprezentacji wartoĻci jest fakt, Ňe np.
osobħ, ktra ma 30 lat i 1 dzieı musimy juŇ zaliczyę do osb
wieku Ļredniego. Wady tej nie ma reprezentacja rozmyta.
Tutaj osoba 30-letnia jest w 50% osobĢ mþodĢ i w 50% osobĢ
wieku Ļredniego.
Zbiorem rozmytym A w pewnej (niepustej) przestrzeni X,
nazywaę bħdziemy zbir par
A x
{(
x
µ
A
(
)}
x
X
natomiast
µ
A
:
X
[
0
jest funkcjĢ przynaleŇnoĻci zbioru rozmytego A
.
Funkcja przynaleŇnoĻci kaŇdemu elementowi x
X
przypisuje jego stopieı przynaleŇnoĻci do zbioru rozmytego
A, przy czym moŇna wyrŇnię 3 przypadki:
• Ⱥ
A(x)
= 1 oznacza peþnĢ przynaleŇnoĻę do zbioru
rozmytego A, tzn. x
X,
• Ⱥ
A(x)
= 0 oznacza brak przynaleŇnoĻci elementu x do
zbioru rozmytego A, tzn. x ӥ A,
,
=
gdzie
3
• 0 < Ⱥ
A(x)
< 1 oznacza czħĻciowĢ przynaleŇnoĻę elementu
x do zbioru rozmytego A.
Inne przykþady:
Rys. 5. Funkcja przynaleŇnoĻci dla zbioru rozmytego wysoki:
0 gdy wzrost <= 170 cm
Ⱥ
A(x)
= ( wzrost Î 170 )/ 20 gdy 170 cm > wzrost < 190 cm
1 gdy wzrost >= 190 cm
µ
(
−
)
=
1
A
1
+
(
x
7
)
2
Rys. 6. Przykþadowa postaę funkcji przynaleŇnoĻci - zbioru
áliczby rzeczywiste bliskie liczbie 7Ñ
x
4
Wszystkie powyŇsze przykþady okreĻlajĢ funkcje
przynaleŇnoĻci na ciĢgþym zbiorze X. MoŇe byę ona rwnieŇ
okreĻlona na zbiorze dyskretnym.
WþasnoĻci
€
Teoria zbiorw rozmytych opisuje niepewnoĻę w innym
sensie, aniŇeli rachunek prawdopodobieıstwa.
Prawdopodobieıstwo wyrzucenia 4, 5 lub 6 przy
rzutach kostkĢ wynosi 0.5. Natomiast za pomocĢ
zbiorw rozmytych moŇna okreĻlię zbir rozmyty,
opisujĢcy nieprecyzyjne pojħcie, áwyrzucenie duŇej
liczby oczekÑ w nastħpujĢcy sposb
A={ {4, 0.5}, {5, 0.5}, {6, 0.5}}
Jest to zbir rozmyty okreĻlony na dyskretnym zbiorze
X={4, 5, 6}.
€
Rozmyte pojħcia sĢ subiektywne i zaleŇne od kontekstu.
€
Prawdopodobieıstwo jest znormowalizowane do
jedynki, funkcja przynaleŇnoĻci nie musi.
WspomnianĢ subiektywnoĻę pojħę moŇna wyeliminowaę
okreĻlajĢc zbir X. Na przykþad nieprecyzyjne pojħcie áduŇa
suma pieniħdzyÑ ma inne znaczenie dla wartoĻci x z przedziaþu
<0, 1000>, niŇ dla wartoĻci x z przedziaþu <0, 1 000 000>.
Definicja 2
WysokoĻę zbioru rozmytego oznaczymy przez h(A) i
okreĻlimy jako h(A)=sup(Ⱥ
A(x)
) po wszystkich x
X
Definicja 3
Zbir rozmyty nazwiemy znormalizowanym, jeĻli h(A)=1.
WysokoĻę zbioru rozmytego oznaczymy przez i okreĻlimy
jako h(A)=sup(Ⱥ
A(x)
) po wszystkich x
X
5
Zbir rozmyty moŇna znormalizowaę za pomocĢ
przeksztaþcenia funkcji przynaleŇnoĻci
Ⱥ
A(x)
= Ⱥ
A(x)
/
h(A)
Operacje na zbiorach rozmytych
Przeciħciem zbiorw rozmytych A, B
X jest zbir rozmyty
A ֕ B o funkcji przynaleŇnoĻci
µ
=
X
B
(
x
)
=
µ
A
(
x
)
µ
B
(
x
)
min(
µ
A
(
x
),
µ
B
(
x
)
x
Rys.6. Przeciħcie zbiorw rozmytych i suma
SumĢ zbiorw rozmytych A, B
X jest zbir rozmyty
A
B okreĻlony funkcjĢ przynaleŇnoĻci
µ
=
B
(
x
)
=
µ
A
(
x
)
µ
B
(
x
)
max(
µ
A
(
x
),
µ
B
(
x
)
X
Rys. 7. Suma zbiorw rozmytych
A
A
x