Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 11
11. Elementy szczególnej teorii względności11.1 WstępMechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje zjawiska, w których prędkości ciał są małe w porównaniu z prędkością światła. Jednak w zjawiskach atomowych, jądrowych i w astrofizyce spotykamy się z prędkościami zbliżonymi do prędkości światła i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stosować mechanikę relatywistyczną opartą na szczególnej teorii względności opracowanej przez Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechaniką relatywistyczną, a stanowi jej szczególny przypadek (dla małych prędkości).
11.1.1 Zasada względnościWiemy już, że gdy układ porusza się ze stałą prędkością po linii prostej to każde doświadczenie przebiega tak samo jakbyśmy się nie poruszali. Jednocześnie jakakolwiek zmiana prędkości natychmiast jest przez nas zauważana.
Narzuca się wniosek, poparty przez niezliczone obserwacje, że żadne doświadczenie nie pozwala nam stwierdzić, że się poruszamy (v = const). Inaczej mówiąc:
Prawa przyrody (w szczególności fizyki) są takie same bez względu na to, czy obserwujemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale poruszającego się bez przyśpieszenia (czyli układu inercjalnego)
Ten wniosek, nazywany obecnie zasadą względności: sformułowano jeszcze za czasów Galileusza.
11.1.2 Transformacja GalileuszaOmawiając zasady dynamiki Newtona stwierdziliśmy, że prawa przyrody (w szczególności fizyki) są takie same bez względu na to, czy obserwujemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale poruszającego się bez przyśpieszenia (układy inercjalne).
Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóch różnych inercjalnych układów odniesienia, poruszających się względem siebie (rysunek). W tym celu wyobraźmy sobie, obserwatora na ziemi, który rejestruje dwa wybuchy na pewnej, jednakowej wysokości. Odległość między miejscami wybuchów wynosi, (według ziemskiego obserwatora) Dx, natomiast czas między wybuchami Dt. Te same dwa zdarzenia obserwowane są przez pasażera samolotu lecącego z prędkością V po linii prostej łączącej miejsca wybuchów. Względem lokalnego układu odniesienia związanego z lecącym samolotem różnica położeń wybuchów wynosi Dx’, a różnica czasu Dt’.
Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to co widzą pasażerowie samolotu.
Jeżeli, pierwszy wybuch nastąpił w punkcie x1’ (względem samolotu), a drugi po czasie Dt, to w tym czasie samolot przeleciał drogę VDt (względem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch został zaobserwowany w punkcie
czyli
Jednocześnie, ponieważ samolot leci wzdłuż linii łączącej wybuchy, to Dy’ = Dz’ = 0. Oczywistym wydaje się też, że Dt’ = Dt.
Otrzymaliśmy więc wzory przekładające wyniki obserwacji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego
(11.1)
Te równania noszą nazwę transformacji Galileusza
Sprawdźmy, czy stosując powyższe wzory do opisu doświadczeń, otrzymamy takie same wyniki, niezależnie od układu w którym to doświadczenie opisujemy. Jako przykład wybierzmy ciało poruszające wzdłuż osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a. W układzie nieruchomym prędkość chwilowa ciała wynosi
Jego przyspieszenie jest stałe i równe a. Natomiast obserwator w pojeździe poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością V rejestruje, że w czasie Dt’ ciało przebywa odległość Dx’. Zatem prędkość chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora wynosi
Zgodnie z transformacją Galileusza Dx' = Dx - VDt, oraz Dt' = Dt, więc
Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego co jest wynikiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszającym się wynosi
Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z doświadczeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy innymi stwierdzono, że ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególności z praw Maxwella wynika, że prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być taka sama w każdym układzie odniesienia.
Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła rozchodzący się w próżni w kierunku x jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powyżej) to zarówno obserwator nieruchomy jak poruszający się z prędkością V (względem pierwszego) zmierzą identyczną prędkość impulsu c = 2.998×108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacją Galileusza i ze zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość
c – V. Wykonano szereg doświadczeń, w których próbowano podważyć równania Maxwella, a w szczególności próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość dźwięku zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformacji Galileusza). Najsławniejsze z nich, to doświadczenie Michelsona-Morleya mające na celu wykrycie wpływu ruchu orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkości światła w kierunku prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te doświadczenia dały wynik negatywny i musimy uznać, że prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Prędkość światła c = 2.988×108 m/s we wszystkich układach odniesienia.
Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikające ze stałości prędkości światła.
11.1.3 Dylatacja czasuZałóżmy, że w rakiecie znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A, który następnie odbity przez lustro Z, odległe od A o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek).
Czas Dt' jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie jest oczywiście równy Dt' = 2d/c (rysunek po lewej stronie). Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego, względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkością V. Chcemy, w tym układzie, znaleźć czas Dt przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A.
Jak widać na rysunku (po prawej stronie) światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z porusza się po linii o długości S
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (tj. dwóch odcinków S) wynosi
lub po przekształceniu
(11.2)
Widzimy, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny.
W konsekwencji, każdy obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny zegar w spoczynku.
To zjawisko dylatacji czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych, więc i np. biologicznego starzenia się.
Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie min. za pomocą nietrwałych cząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkości bliskiej prędkości światła i mierzono zmianę ich czasu połowicznego zaniku.
11.2 Transformacja Lorentza
Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą c w układzie nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t') poruszającym się z prędkością V wzdłuż osi x będzie poruszać się z prędkością c.
Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać
(11.3)
gdzie b = V/c. Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza.
Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.
11.2.1 JednoczesnośćPrzyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x' (czyli także wzdłuż osi x, bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie Dt' = t2' ‑ t1' = 0, ale w rożnych miejscach x2' ‑ x1' = Dx' ¹ 0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku. Z transformacji Lorentza wynika, że
...