2.1 WIADOMOŚCI WSTĘPNE
2.1.1 Podstawowe założenia i hipotezy wytrzymałości materiałów
Doświadczenia praktyczne uczą, że każde ciało pod wpływem działających na nie obciążeń ulega
odkształceniu. Jeśli obciążenia osiągną odpowiednio duże wartości mogą spowodować, że ciało
(element konstrukcyjny) ulega zniszczeniu lub nadmiernemu, nieodwracalnemu odkształceniu. W
efekcie traci on swe własności użytkowe, co pociąga za sobą znaczne straty ekonomiczne, a w
szczególnych przypadkach może stanowić zagrożenie dla zdrowia i życia jego użytkowników.
Zadaniem wytrzymałości materiałów jest opracowanie metod oceny zachowania spotykanych w
praktyce inżynierskiej typowych elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu obciążeń. Przez
ocenę odporności, czyli sprawdzenie (kontrolę) nośności istniejących lub projektowanych elementów
konstrukcyjnych należy rozumieć: ocenę wytrzymałości (obliczenie wartości i rodzaju naprężeń) oraz
ocenę odkształceń (określanie wartości i rodzaju odkształceń), w stosunku do ustalonych (zwykle
narzucanych normami, zaleceniami producenta lub przepisami odpowiednich służb dozoru
technicznego) wymagań praktycznych, gwarantujących dostateczne bezpieczeństwo i dostateczną
sztywność elementu.
Odkształcenia i naprężenia występujące w elementach konstrukcyjnych zależą od wielu
czynników, przy czym za najważniejsze zwykło uważać się:
•
Rodzaj materiału i jego stan,
•
Kształt i wymiary elementu,
•
Rodzaj oraz wartości sił obciążających.
W związku z tym metody obliczeniowe stosowane w wytrzymałości muszą wiązać zasady
mechaniki ciała stałego (równania równowagi) z matematycznym opisem jego zachowaniem pod
wpływem obciążeń. W szczególności koniecznym jest zdefiniowanie stanu odkształceń i naprężeń
ciała oraz wzajemnych związków pomiędzy nimi a własności materiału(równania konstytutywne), z
którego wykonany jest element konstrukcyjny.
Dla potrzeb zagadnień rozpatrywanych w niniejszym skrypcie, wprowadza się następujące
założenia dotyczące materiału, z jakiego wykonany jest element konstrukcyjny:
•
Ciągłość materiału
. W materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane materiały
można uważać za continuum materialne.
•
Jednorodność materiału.
Właściwości mechaniczne materiału nie są funkcjami położenia, czyli są
jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego.
•
Izotropowość materiału.
Właściwości mechaniczne materiału nie zależą od orientacji
rozpatrywanej objętości elementarnej ciała.
•
Liniowa sprężystość materiału
. Zakłada się, że do pewnej granicy obciążenia ciało zachowuje
ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężeniowy stan ciała, do którego badane
ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne.
Powyższe założenia pozwalają w konsekwencji na ustalenie wzajemnych zależności
matematycznych (równań konstytutywnych) pomiędzy odkształceniami ciała a obciążeniami
zewnętrznymi, w oparciu o mechaniczne własności materiału. Należy sobie zdawać sprawę z faktu, że
poczynione założenia umożliwiają analizę jedynie pewnej klasy materiałów (liniowo sprężystych)
poddanych obciążeniom nieprzekraczających wartości powodujących powstanie odkształceń trwałych.
Stosowanie wzorów obliczeniowych uzyskanych przy tych założeniach do innych zagadnień (materiał
ulegający uplastycznieniu, materiały kompozytowe itp.) prowadzi do znacznych błędów na etapie
projektowania a w konsekwencjami do zniszczenia konstrukcji w czasie jej eksploatacji.
Jest oczywistym, że opis matematyczny wymaga informacji na temat własności mechanicznych
materiału. Powyższe informacje uzyskuje się przez odpowiednie badania wytrzymałościowe, w
szczególności określające odkształcenia materiału w funkcji obciążeń przy różnych warunkach
zewnętrznych. Tak uzyskane wartości opisują w sposób uśredniony właściwości mechaniczne
materiału i opisują z pewną dokładnością zjawiska, jakie zachodzą w materiale rzeczywistym.
Podstawowe założenie wytrzymałości materiałów mówi, że ciało materialne pod wpływem
obciążeń ulega odkształceniom. Rozróżnia się dwa rodzaje odkształceń: odkształcenia sprężyste,
ustępujące po usunięciu obciążenia, oraz odkształcenia trwałe, zwane plastycznymi, pozostające w
materiale po usunięciu ich przyczyny. Należy zaznaczyć, że odkształcenia trwałe towarzyszą
procesowi obciążenia od samego początku, ale ich wartość zaczyna mieć praktyczne znaczenie (w
przypadku materiałów liniowo sprężystych) dopiero po przekroczeniu wielkości, zwanej granicą
sprężystości. Dodatkowo przyjmuje się, że w większości przypadków wszelkie odkształcenia w
stosunku do wymiarów ciała są znikomo małe, co zresztą odpowiada praktycznym warunkom
eksploatacji elementów konstrukcyjnych. W zależności od mechanizmu odkształceń wywołanych
obciążeniem, materiały konstrukcyjne można podzielić na trzy grupy podstawowe: materiały
sprężysto-plastyczne (metale konstrukcyjne), lepko-sprężyste (tworzywa sztuczne, szkliwa, betony),
materiały sprężysto-kruche (kryształy).
Proces analizy stanu odkształceń i naprężeń elementu konstrukcyjnego wymaga prawidłowego
opisu zarówno własności mechanicznych materiału jak i kształtu elementu. Taki model nosi nazwę
schematu obliczeniowego, na który nakłada się układ obciążeń, przez co powstaje pełny model
statyczno-wytrzymałościowy układu (konstrukcji, urządzenia). Można powiedzieć, że model
statyczno-wytrzymałościowy
jest schematem lub zbiorem schematów poszczególnych elementów
konstrukcji lub urządzenia, zapisanych znakami umownymi i zawierającymi wiadomości o
podstawowych wymiarach, sposobach podparcia lub wzajemnych połączeniach oraz obciążeniach
zewnętrznych. Mimo złożoności problemów do rozwiązywania, metody rachunkowe ilościowej oceny
stanu odkształceń i naprężeń elementów konstrukcyjnych są stosunkowo proste. Wytrzymałość
materiałów jest, bowiem nauką zastosowań praktycznych, w której dla ułatwienia analizy zależności
między działającymi z zewnątrz siłami a pracą elementu godzimy się bardzo często na stosowanie
pewnych założeń upraszczających lub metod przybliżonych, których słuszność weryfikuje się z
zwykle w oparciu o wyniki badań eksperymentalnych i teorię sprężystości.
2.1.2 Rodzaje obciążeń
Jednym z podstawowych zadań elementów konstrukcyjnych jest zrównoważenie obciążeń
zewnętrznych lub wykonanie określonej pracy, sprowadzonej do przemieszczania w kierunkach
wyznaczonych działaniem działających sił. W tym rozumieniu obciążenia zewnętrzne są równe
ciężarowi własnemu konstrukcji, obciążeniom użytkowym oraz wpływom zewnętrznym związanym z
użytkowaniem urządzenia. Zwykle obciążenia działające na konstrukcję dzielimy na:
•
Obciążenia stałe.
Do obciążeń tych zalicza się ciężar własny konstrukcji oraz ciężar własny
elementów podtrzymywanych przez konstrukcję. Obciążenie to w okresie eksploatacji na
niezmienną wartość.
•
Obciążenia użytkowe
(zmienne).
Jest to grupa zasadniczych obciążeń, dla których projektuje się
daną konstrukcję. Do obciążeń tych należą m.in.: obciążenia od wyposażenia technologicznego,
siły bezwładności wynikające z pracy urządzeń, wpływ prędkości odkształceń, wpływ czasu
obciążenia, wpływ obciążeń wielokrotnych. Zakres tych obciążeń jest bardzo szeroki a ich
oszacowanie należy do najbardziej istotnych fragmentów budowy modelu statycznego.
•
Wpływ otoczenia.
Grupa warunków pracy konstrukcji obejmująca wpływy atmosferyczne (śnieg,
wiatr), wpływ temperatury otoczenia, napromieniowanie itp. Zwykle zakres tych wpływów
określają odpowiednie normy, ale może zachodzić potrzeba indywidualnej analizy, szczególnie w
przypadku konstrukcji prototypowych.
•
Obciążenia transportowe i montażowe
. Są to obciążenia określające zachowanie się elementu lub
konstrukcji w czasie transportu i montażu, gdy elementy nie są jeszcze całkowicie złączone
zgodnie z ich udziałem w maszynie lub urządzeniu.
Oczywiste jest przy tym, że w trakcie analizy ze zbioru możliwych kombinacji obciążeń należy
uwzględniać zestawy obciążeń wywołujące najbardziej niekorzystne układy sił i momentów zarówno
elementów składowych jak i całej konstrukcji.
2.1.3 Odkształcenia
Odkształceniem nazywamy chwilową lub trwałą zmianę wymiarów całego ciała lub jego części
wywołaną przyłożonym do niego obciążeniem. Ponieważ założyliśmy, że analizowane ciało ma postać
kontinuum materialnego, możemy założyć, że dwa punkty ciała sąsiadujące ze sobą przed
odkształceniem pozostają sąsiednimi i po odkształceniu. Ponadto można przyjąć, że przemieszczenia
stykających się elementów, na jakie podzieliliśmy myślowo rozpatrywane ciało są znikomo małe.
Rys.2.1 Odkształcenia a) ciało przed odkształceniem, b) ciało po odkształceniu
Intensywność odkształcenia będąca miarą odkształcenia określają (rys.2.1):
•
Zmiany wymiarów długości
l
(względne wydłużenie ciała – rys.2.1.a):
ε
=
lim
∆
l
(2.1)
→0
l
•
Zmiany wymiarów kąta
γ
(odkształcenie postaci ciała – rys.2.1.b)
γ
=
lim
CE
→
0
DE
→
0
CDE
−
C
'
D
'
E
'
(2.2)
Zmiana długości jest wynikiem rozluźnienia struktury ciała, a zmiana postaci wynikiem poślizgu
tj. przesunięcia się warstwy atomów po sobie. Stan odkształcenia w otoczeniu punktu np.
O,
będą
opisywały wielkości
ε
i
γ
we wszystkich kierunkach, z punktem
O
jako punktem odniesienia.
l
,
Rys.2.2 Zmiana objętości i postaci elementarnego prostopadłościanu.
W zorientowanej układem odniesienia przestrzeni odkształcenie elementarnego
prostopadłościanu o bokach
dx, dy, dz
w przypadku ogólnym określa sześć wielkości jednostkowych:
,
opisujących zmiany jego kątów
dwuściennych. Jeśli przyjmie się, że wobec jego małych wymiarów odpowiednie ściany będą do
siebie równoległe, czyli prostopadłościan przechodzi w równoległościan (rys.2.2) to jednostkowa
zmiana objętości:
,
y
ε
opisujących zmiany długości jego boków, oraz
γ ,
xy
yz
γ
zx
∆
V
=
V
−
V
=
( )
+
ε
(
+
ε
)(
1
+
ε
)
cos
γ
cos
γ
cos
γ
−
1
(2.3)
V
V
x
y
z
xy
yz
zx
gdyż:
V
=
,
dxdydz
V
'
=
( )
1
+
ε
x
(
+
ε
y
)(
1
+
ε
z
)
dxdydz
cos
γ
xy
cos
γ
yz
cos
γ
zx
.
Jeśli założy się, że iloczyny
ε ,
,
y
ε
z
można pominąć jako wielkości małego rzędu, zależność
(2.3) przyjmie postać:
∆
V
=
V
−
V
=
(
+
ε
+
ε
+
ε
)
cos
γ
cos
γ
cos
γ
−
1
(2.4)
V
V
x
y
z
xy
yz
zx
a względna zmiana objętości dana wzorem (2.4) jest superpozycją dwóch odkształceń: objętości i
postaci.
2.1.3.1 Odkształcenia czysto objętościowe
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter odkształceń czysto
objętościowych jest spełnienie zależności:
γ
xy
=
γ
yz
=
γ
zx
=
0
(2.5)
ε
=
ε
=
ε
=
ε
x
y
z
,
różniły się miedzy sobą, to powstałby kąt
γ
(rys.2.3). Z zależności (2.4)
wynika, że przy odkształceniu czysto objętościowym względna zmiana objętości jest równa:
ε ,
x
y
ε
z
ε ,
x
z
'
1
x
'
Gdyby składowe
∆
V
=
V
−
V
=
3
(2.6)
V
V
Rys.2.3 Ilustracja odkształceń czysto objętościowych
2.1.3.2 Odkształcenie czysto postaciowe
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter czysto postaciowy
jest:
cos
γ
xy
,
cos
γ
yz
,
cos
γ
zx
→
1
czyli
∆
V
=
0
(2.7)
ε
+
ε
+
ε
=
0
x
y
z
Należy zauważyć, że niespełnienie któregokolwiek z warunków (2.5) i (2.7) świadczy, że
występuje odkształcenie mieszane: objętościowo-postaciowe (rys.2.4).
Rys.2.4. Odkształcenia mieszane objętościowo-postaciowe.
2.1.4 Naprężenia
Z kursu mechaniki wynika, że miarą mechanicznego oddziaływania na siebie ciał są wektory sił
P
ρ
i wektory momentów siły
i
M
. Mówiąc, że jakieś ciało znajduje się w równowadze pod wpływem
'
ρ