Napodstawie:D.Halliday,R.Resnick,J.Walker,
PodstawyFizyki,tom1,dodatekE,PWN,Warszawa2003
Opracowałmgrin».KarolTarnowski
Symbolematematyczne
= równa si¦
równa si¦ w przybli»eniu
jest tego samego rz¦du wielko±ci
6
= nie jest równe
jest równe to»samo±ciowo, jest zdefiniowane jako
>
jest wi¦ksze ni» (
jest du»o wi¦ksze ni»)
<
jest mniejsze ni» (
jest du»o mniejsze ni»)
jest wi¦ksze lub równe (czyli nie mniejsze ni»)
¬
jest mniejsze lub równe (czyli nie wi¦ksze ni»)
±
plus albo minus
/
jest proporcjonalne do
suma
x
±r
warto±¢ ±rednia x
Niech
b¦dzie mniejszym z k¡tów mi¦dzy wektorami
a
i
b
. Zachodz¡ zwi¡zki:
a
·
b
=
b
·
a
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
=
ab
cos
,
a
×
b
=
−
b
×
a
=
i
j k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
−
j
+ k
=
i
a
y
a
z
b
y
b
z
a
x
a
z
b
x
b
z
a
x
a
y
b
x
b
y
= (
a
y
b
z
−
b
y
a
z
)
i + (
a
z
b
x
−
b
z
a
x
)
j+
+ (
a
x
b
y
−
b
x
a
y
)k
,
Geometria
Koło o promieniu
r
: obwód = 2
r
; pole powierzchni
=
r
2
.
Kula o promieniu
r
: pole powierzchni = 4
r
2
, obj¦-
to±¢ =
4
3
r
3
.
Walec obrotowy o promieniu podstawy
r
i wysoko±ci
h
: pole powierzchni = 2
r
2
+ 2
rh
; obj¦to±¢ =
r
2
h
.
Trójk¡t o podstawie
a
i wysoko±ci
h
: pole powierzchni
=
1
2
ah
.
a
×
b
=
ab
sin
,
a
·
(
b
×
c
) =
b
·
(
c
×
a
) =
c
·
(
a
×
b
)
,
a
×
(
b
×
c
) = (
a
·
c
)
b
−
(
a
·
b
)
c.
WzoryCramera
Układ równa« z dwiema niewiadomymi
x
i
y
Iloczynywektorów
Niech
i,
j i k b¦d¡ wektorami jednostkowymi kierun-
ków
x
,
y
i
z
. Zachodz¡ zwi¡zki:
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
oraz
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
ma rozwi¡zanie
i
·
i =
j
·
j = k
·
k = 1
,
i
·
j =
j
·
k = k
·
i = 0
,
c
1
b
1
c
2
b
2
i
×
i =
j
×
j = k
×
k = 0
,
i
×
j = k
,
j
×
k =
i
,
k
×
i =
j
.
x
=
=
c
1
b
2
−
c
2
b
1
a
1
b
2
−
a
2
b
1
a
1
b
1
a
2
b
2
Dowolny wektor
a
o składowych wzdłu» osi
x
,
y
i
z
równych
a
x
,
a
y
i
a
z
mo»na przedstawi¢ w postaci
oraz
a
1
c
1
a
2
c
2
a
=
a
x
i +
a
y
j +
a
z
k
.
y
=
=
a
1
c
2
−
a
2
c
1
a
1
b
1
a
2
b
2
Niech
a
,
b
i
c
b¦d¡ dowolnymi wektorami o długo-
±ciach (modułach)
a
,
b
i
c
. Zachodz¡ zwi¡zki:
a
×
(
b
+
c
) = (
a
×
b
) + (
a
×
c
)
,
Równaniekwadratoweijegor
ozwi¡za
nie
Je±li
ax
2
+
bx
+
c
= 0, to
x
=
−
b
±
p
b
2
−
4
ac
2
a
(
sa
)
×
b
=
a
×
(
sb
) =
s
(
a
×
b
)
(
s
— skalar)
.
.
1
a
1
b
2
−
a
2
b
1
.
Funkcjetrygonometrycznek¡ta
cos
+ cos
= 2 cos
+
2
cos
−
2
sin
=
y
r
cos
=
x
r
o±
y
cos
−
cos
=
−
2 sin
+
2
sin
−
2
6
tg
=
y
x
ctg
=
x
y
r
y
Pochodne
W poni»szych wzorach
u
i
v
s¡ dowolnymi funkcjami
zmiennej
x
, a
a
i
m
s¡ stałymi.
sec
=
r
x
cosec
=
r
y
0
x
-
o±
x
TwierdzeniePitagorasa
Pochodne:
W trójk¡cie prostok¡tnym
a
2
+
b
2
=
c
2
.
c
a
1.
d
x
d
x
= 1
b
2.
d
x
(
au
) =
a
d
u
d
x
Trójk¡ty
K¡ty:
A
,
B
,
C
.
Boki im przeciwległe:
a
,
b
,
c
.
A
+
B
+
C
=
.
sin
A
a
3.
d
d
x
(
u
+
v
) =
d
u
d
x
+
d
v
d
x
4.
d
x
=
mx
m
−
1
sin
B
b
sin
C
c
=
=
.
d
d
x
ln
x
=
1
x
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
ab
cos
C.
K¡t zewn¦trzny
D
=
A
+
C.
5.
d
x
(
uv
) =
u
d
v
d
x
+
v
d
u
6.
d
x
J
C
J
J
7.
d
x
e
x
= e
x
b
a
J
J
d
d
x
sin
x
= cos
x
J
8.
J
A
B
D
J
c
9.
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
To»samo±citrygonometryczne
sin(
/
2
−
) = cos
cos(
/
2
−
) = sin
sin
/
cos
= tg
sin
2
+ cos
2
= 1
sec
2
−
tg
2
= 1
cosec
2
−
ctg
2
= 1
sin 2
= 2 sin
cos
cos 2
= cos
2
−
sin
2
= 2 cos
2
−
1 = 1
−
2 sin
2
10.
d
x
tg
x
= sec
2
x
11.
d
x
ctg
x
=
−
cosec
2
x
12.
d
d
x
sec
x
= tg
x
sec
x
13.
d
d
x
cosec
x
=
−
ctg
x
cosec
x
d
x
e
u
= e
u
d
u
14.
sin(
±
) = sin
cos
±
cos
sin
d
x
cos(
±
) = cos
cos
sin
sin
tg(
±
) =
tg
±
tg
1
tg
tg
sin
±
sin
= 2 sin
±
2
15.
d
x
sin
u
= cos
u
d
u
d
x
cos
2
16.
d
x
cos
u
=
−
sin
u
d
u
d
x
2
d
d
x
m
d
d
d
d
d
d
d
Rozwini¦ciafunkcjiwszeregipot¦gowe
(1 +
x
)
n
= 1 +
nx
1!
16.
Z
1
0
x
2
n
e
−
ax
2
d
x
=
1
·
3
·
5
·
...
·
(2
n
−
1)
2
n
+1
a
n
r
a
+
n
(
n
−
1)
x
2
2!
+
...
(
x
2
<
1)
Z
d
x
x
+
p
x
2
+
a
2
17.
p
x
2
+
a
2
= ln
e
x
= 1 +
x
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
...
Z
x
d
x
(
x
2
+
a
2
)
3
/
2
=
−
1
(
x
2
+
a
2
)
1
/
2
18.
ln(1 +
x
) =
x
−
1
2
x
2
+
3
x
3
−
...
(
|
x
|
<
1)
Z
d
x
(
x
2
+
a
2
)
3
/
2
=
x
a
2
(
x
2
+
a
2
)
1
/
2
19.
sin
=
−
3
3!
+
5
5!
−
...
(
w radianach)
Z
1
0
x
2
n
+1
e
−
ax
2
d
x
=
n
!
2
a
n
+1
(
a >
0)
cos
= 1
−
2
2!
+
4
4!
−
...
(
w radianach)
20.
Z
x
d
x
x
+
a
=
x
−
a
ln(
x
+
a
)
tg
=
+
3
3
2
5
15
+
+
...
(
w radianach)
21.
Całki
W poni»szych wzorach
u
i
v
s¡ dowolnymi funkcjami
zmiennej
x
, a
a
i
m
s¡ stałymi. Do ka»dej z całek nie-
oznaczonych nale»y doda¢ dowoln¡ stał¡ całkowania.
Z
Uwagi
Obszerniejsze tablice dost¦pne na stronach:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tablicacałek
,
http://www.math.com/tables/integrals/tableof.htm
a tak»e w literaturze:
1.
d
x
=
x
1. Matematyka. Poradnik encyklopedyczny I. N.
Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew
Z
Z
2.
au
d
x
=
a
u
d
x
2. Inegrały i riady specjalnyje funkcii, A. P. Prudnikow,
Ju. A. Bryczkow, O, I. Mariczew
Z
Z
Z
3. Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz,
Stegun
3.
(
u
+
v
)d
x
=
u
d
x
+
v
d
x
Z
x
m
d
x
=
x
m
+1
m
+ 1
4. Mathematical Handbook for Scientists and Engine-
ers: Definitions, Theorems, and Formulas for Refe-
rence and Review, G. Korn, T. Korn
4.
(
m
6
=
−
1)
Z
d
x
x
= ln
|
x
|
5.
5. Tables of Integrals and Other Mathematical Data: H.
Dwight
Z
Z
u
d
v
v
d
u
6.
d
x
d
x
=
uv
−
d
x
d
x
Generator całek online:
http://integrals.wolfram.com/
Z
7.
e
x
d
x
= e
x
Wrocław, 12.10.2009
Z
8.
sin
x
d
x
=
−
cos
x
Z
9.
cos
x
d
x
= sin
x
Z
10.
tg
x
d
x
= ln
|
sec
x
|
Z
2
x
−
1
11.
sin
2
x
d
x
=
4
sin 2
x
Z
e
−
ax
d
x
=
−
1
12.
a
e
−
ax
Z
x
e
−
ax
d
x
=
−
1
13.
a
2
(
ax
+ 1)e
−
ax
Z
x
2
e
−
ax
d
x
=
−
1
14.
a
3
(
a
2
x
2
+ 2
ax
+ 2)e
−
ax
Z
1
x
n
e
−
ax
d
x
=
n
!
a
n
+1
15.
0
3
1
1