Schemat zdaniowy „x należy do y” zapisać można krótko: x Î y. Napis ‘x Î y’ oznacza, że y jest zbiorem, a x jest jednym z jego elementów. Pojęcia zbioru i należenia nie wyjaśnia się – traktuje się je jako pierwotne. Intuicyjnie, zbiorem jest jakaś grupa przedmiotów, w której wzajemne związki przedmiotów (ich kolejność, wielkość itd.) nie odgrywają żadnej roli. Dwa zbiory są identyczne, gdy mają te same elementy.
Rachunek zbiorów stanowi również konieczny wstęp do teorii relacji, bowiem relacje dwuargumentowe można zdefiniować jako zbiory par uporządkowanych, samą zaś parę uporządkowaną jako odpowiedni dwuelementowy zbiór, którego jednym z elementów jest indywiduum a drugim para nieuporządkowana dwóch przedmiotów.
„Klasa” i „zbiór” niekiedy są traktowane równoważnie. Czasami się jednak odróżnia: zbiory to te klasy, które mogą być elementami innych klas. Stąd zespół wszystkich klas jest klasą, ale nie jest zbiorem.
Pojęcie zbioru jest pojęciem pierwotnym, definiowanym poprzez aksjomaty teorii mnogości, pojawia się w kontekście: x Î A
Słowo „zbiór” w języku potocznym jest dwuznaczne. Do odmiennych znaczeń nawiązują odpowiednie teorie filozoficzne i logiczne. Mamy znaczenie KOLEKTYWNE oraz DYSTRYBUTYWNE (ABSTARAKCYJNE).
W pierwszym znaczeniu – zbiór to jakiś obiekt przestrzenny, przestrzennie określony, mający części przestrzennie odseparowywane, jest to bryła, powierzchnia lub linia, albo jest to obiekt dający się pojąć za pomocą pojęć przestrzennych (np. czas), złożony z jednorodnych części. Przedmiot może być swą własną częścią. Należenie jest relacją przechodnią.
Zbiór w sensie dystrybutywnym to przedmiot abstrakcyjny, a więc pozaprzestrzenny i pozaczasowy. Możemy pojmować go jako wytwór myśli, albo jako coś istniejącego niezależnie i samoistnie od myśli, istniejącą w sposób odmienny od przedmiotów materialnych i psychicznych. Należenie nie jest relacją przechodnią.
U Leibniza znajdujemy prekursorskie rozumienie zbioru w sposób abstrakcyjny, będące punktem wyjścia dla przedaksjomatycznej teorii mnogości:
„Niech wolno nam będzie dowolnie wiele rzeczy rozważać naraz i traktować je jako całość, wówczas, gdy mając ich danych ilekolwiek, nawet w liczbie nieskończonej, da się o nich pomyśleć coś, co jest prawdziwe o nich wszystkich”
W rachunku zbiorów rozważane są operacje, które odnoszą się i do zbiorów skończonych i nieskończonych. Czasami się mówi o nim „algebra klas”.
Określenie zbioru, pochodzące od Cantora, jest następujące:
„Przez <<zbiór>> rozumiem każdą wielość, która da się pomyśleć jako jedność, tz. Każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą jakiegoś prawa powiązać [myślowo] w całość”
„Przez <<zbiór>> rozumiem ujęcie w całość (jedność) M określonych, dobrze wyróżnionych przedmiotów m – zwanych „elementami M” – naszego przedstawienia (intuicji) lub naszej myśli”
Powyższe określenie, charakteryzujące pojęcie zbioru, określane jest mianem PEWNIKA ABSTRAKCJI lub PEWNIKA DEFINICYJNEGO.
Symbolicznie: $y "x (x Î y Û a(x)) – istnieje coś takiego, że jeśli o czymkolwiek można coś prawdziwie orzec, to do niego należy)
Pewnik ten (plus pewnik ekstensjonalności) to podstawa NAIWNEJ TEORII MNOGOŚCI
Jeśli a(x) jest formułą, której jedyną zmienną indywiduową jest x, zaś a jest nazwą przedmiotu p, to napis a(a) oznacza wyrażenie powstające poprzez podstawienie nazwy a w miejsce zmiennej x. jeżeli zdanie a(a) jest prawdziwe, to mówimy, że przedmiot p spełnia formułę a. Operację, która polega na przyporządkowaniu formule wszystkich przedmiotów, które ją spełniają nazywamy operacją abstrakcji/operatorem abstrakcji, co notujemy: {x: a(x)} – jest to zbiór przedmiotów p, których nazwa a wstawiona w miejsce zmiennej x czyni z a zdanie prawdziwe.
Prowadzi on do sprzeczności
Z = {x: non (x Î x)} lub x Î z Û non (x Î x)
Osłabienie mówi, że dla każdego zbioru utworzyć można podzbiór jego elementów, spełniających pewną funkcję zdaniową (tzw. aksjomat wyróżniania): "A $B "x (x Î B Û (x Î A Ù a(x)))
Przyjęliśmy, że zbiorami są zakresy nazw. Zbiorem jest ogół wszystkich przedmiotów, o których dana nazwa może być prawdziwie orzekana. Każda nazwa wyznacza pewien zbiór. Wszystkie zbiory są odniesione do jakiegoś uniwersum – np. w uniwersum ciał niebieskich możemy wyznaczyć zbiory planet, gwiazd, komet, zbiory galaktyk itd.
Elementami zbioru są elementy, które należą do niego. Elementami zbioru planet jest Mars, Ziemia itd. to, że element x należy do zbioru A zaznaczamy pisząc: xÎA. Zbiory wyznaczać można za pomocą funkcji zdaniowych, czyli wyrażeń, które nie są zdaniami logicznymi, np.: x jest planetą. Następnie konstruujemy abstrakcyjny przedmiot: ogół x-ów spełniających daną funkcję zdaniową (czyli tych ogół tych przedmiotów, o których funkcja zdaniowa może być prawdziwe orzeczona). Symbolem tej czynności są nawiasy { }. Zwrot: ogół ciał niebieskich będących planetami zapisujemy: {x: x jest planetą}
Zbiór pusty Æ - zbiór, który nie ma żadnych elementów, zbiór uniwersalny U – zbiór, do którego należy każdy element.
Działania
xÎAÈB ztw xÎA lub xÎB zbiór mężczyzn È zbiór kobiet = zbiór ludzi
xÎAÇB ztw xÎA i xÎB zbiór mężczyznÇzbiór kobiet=Æ
xÎA-B ztw xÎA i Ø(xÎB) zbiór ludzi – zbiór mężczyzn= zbiór kobiet
xÎA’ ztw Ø(xÎA) (zbiór czynów indyferentnych)’ = zbiór czynów zakazanych albo nakazanych
Chociaż niektóre operacje na zbiorach mogą być określone na drodze aksjomatycznej, my podamy je za pomocą definicji:
Operator abstracji: x Î {y: a(y)} Ûdf a(x)
Definicja równości zbiorów: A = B Ûdf ("x) (xÎA Û xÎB) [dwa zbiory są równe, gdy mają takie same elementy]
Definicja zawierania się zbiorów: A Í B Ûdf ("x) (xÎA Þ xÎB) [każdy A jest B, nie ma takiego A, który nie jest B]
Definicja rozłączności zbirów A, B: A)(B Ûdf ("x) (xÎA Þ xÏB) [żaden A nie jest B, nie ma takiego, że jednocześnie byłby i A i B]
Definicja krzyżowania się zbiorów: A B Ûdf [($x) (xÎA Ù x ÎB) Ù ($x) (xÎA Ù xÏB) Ù ($x) (xÏA Ù xÎB)] [tylko niektóre przedmioty A są B i tylko niektóre B są A]
Definicja zbioru pustego: A=Æ Ûdf ("x) Ø(xÎA)
Definicja zbioru pełnego (uniwersum): A=U Ûdf ("x) (xÎA)
Definicja dopełnienia zbioru do uniwersum: xÎA’ Ûdf (Ø(xÎA) Ù xÎU)
Definicja iloczynu zbiorów: xÎAÇB Ûdf (xÎA Ù xÎB)
Definicja sumy zbiorów: xÎAÈB Ûdf (xÎA Ú xÎB)
Definicja różnicy zbiorów: xÎA-B Ûdf (xÎA Ù Ø(xÎB))
ZBIORY 2
Sprawdź, czy jest prawem rachunku zbiorów:
1) A Í A
2) Æ Í A
3) A Í A È A
4) AÇB Í A
5) A )( A’
6) A È A = A
7) A Ç A = A
8) A Ç Æ = Æ
9) A È Æ = A
10) A Ç U = A
11) A È U = U
12) A – A = Æ
13) A - Æ = A
14) U – A = A’
15) AÈB = BÈA
16) AÇB = BÇA
17) (AÈB) È C = A È (B È C)
18) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
19) A Ç (B È C) = (AÇB) È (AÇC)
20) AÈ (BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC)
21) A È A’ = U
22) A Ç A’ = Æ
23) A )( B Û (A Ç B = Æ)
24) A Í B Û (AÈB = B)
25) A Í B Û (AÇB=A)
26) A – B = Æ Û A Í B
27) AÇ (B – C) = (AÇB) – (AÇC)
28) (AÍ B I BÍ C) Þ A Í C
29) AÈB Í C Û...