Zarzħdzanie portfelem inwestycyjnym
(materiaÿy pomocnicze do wykÿadu)
¡
Robert A. Haugen,
Teoria nowoczesnego
inwestowania. Obszerny podr
ħ
cznik analizy
portfelowej
¡
Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga,
Inwestycje.
Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe,
in
Ň
ynieria finansowa
¡
Edwin J. Elton, Martin J. Gruber,
Nowoczesna teoria portfelowa i analiza
papierów warto
Ļ
ciowych
dr Janusz Ƌarnowski
efzarnow@cyf-kr.edu.pl
ZaleŇnoĻci pomiħdzy oczekiwanym
dochodem i ryzykiem
Definicja stopy dochodu
Współczesna teoria inwestowania opiera siħ na dwu
podstawowych załoŇeniach:
a) nienasyconoĻci
b) awersji do ryzyka
Stopa dochodu
(stopa zwrotu) jest to procentowa
zmiana – wzrost lub spadek – wartoĻci inwestycji w
okreĻlonym czasie.
Na wzrost wartoĻci inwestycji (w akcje) składa siħ:
a) suma dywidend wypłaconych w rozpatrywanym
okresie
b) zmiana rynkowej wartoĻci akcji w tym okresie
ZałoŇenie
nienasycono
Ļ
ci
oznacza, Ňe podejmujĢc
decyzje dotyczĢce lokat kapitału inwestorzy kierujĢ siħ
dĢŇeniem do maksymalizacji stopy dochodu (wolĢ
wiħkszĢ stopħ dochodu od niŇszej).
Awersja do ryzyka
oznacza z kolei, Ňe podejmujĢc
decyzje dotyczĢce lokat inwestorzy starajĢ siħ
minimalizowaę ryzyko zwiĢzane z poszczególnymi
lokatami.
Definicja stopy dochodu
Definicja stopy dochodu
Stopa zwrotu wyraŇana jest w kategoriach wzglħdnych tj.
w procentach, co moŇemy zapisaę nastħpujĢco:
Aby obliczyę oczekiwanĢ stopħ dochodu konieczna jest
znajomoĻę rozkładu prawdopodobieıstwa moŇliwych do
wystĢpienia poziomów dochodu. JeŇeli znamy rozkład
prawdopodobieıstwa moŇliwych stóp dochodu, to
oczekiwanĢ stopħ dochodu moŇemy obliczyę wg wzoru:
dywidendy + zmiana warto
Ļ
ci rynkowej
r =
x 100%
pocz
Ģ
tkowa warto
Ļę
rynkowa
n
Ã
=
gdzie:
r – stopa zwrotu (stopa dochodu) z inwestycji
E
(
r
)
=
i
p
i
i
1
W momencie podejmowania decyzji o zainwestowaniu
gotówki nie wiemy jaka bħdzie stopa dochodu z
inwestycji, w zwiĢzku z czym moŇemy mówię o
oczekiwanej stopie dochodu.
gdzie:
E(r) – oczekiwana stopa dochodu
r
i
– i-ty poziom stopy dochodu
p
i
– prawdopodobieıstwo wystĢpienia i-tego poziomu stopy dochodu
1
r
Definicja stopy dochodu
– Ļrednia z próbki
Definicja stopy dochodu
– Ļrednia z próbki
NajczħĻciej w praktyce nie wiemy, jaki jest rzeczywisty
rozkład prawdopodobieıstwa, który przypuszczalnie
generuje stopy zwrotu.
W tej sytuacji musimy dokonaę szacunku na podstawie
próbki. NajczħĻciej oznacza to, Ňe posługujemy siħ
danymi z przeszłoĻci. Obserwujemy jak kształtowały siħ
np. tygodniowe stopy zwrotu z poszczególnych akcji i
obliczamy ĻredniĢ. W tej sytuacji zakładamy, Ňe rozkład
prawdopodobieıstwa jest stały w czasie.
LiczĢc ĻredniĢ z próbki naleŇy skorzystaę ze wzoru:
Ã
=
N
r
t
r
=
t
1
N
gdzie:
N – liczba obserwacji wchodzĢcych w skład próbki
Definicja stopy dochodu
– Ļrednia z próbki
Definicja i pomiar ryzyka
Tak obliczonĢ wartoĻę nazywamy
nieobci
ĢŇ
onym
estymatorem warto
Ļ
ci oczekiwanej
. Nie jest to jednak
miara absolutnie dokładna, gdyŇ nie jest obliczona na
podstawie populacji generalnej. DokładnoĻę obliczeı
moŇemy zwiħkszyę, jeŇeli zwiħkszamy liczbħ obserwacji.
W naszym przypadku oznaczałoby to obliczanie Ļredniej
na podstawie stóp dochodu z dłuŇszego okresu. Trzeba
jednak mieę na uwadze, Ňe zakładamy stałoĻę rozkładu
prawdopodobieıstwa w czasie. Im dłuŇszy okres
obliczeı, tym załoŇenie to staje siħ mniej realistyczne.
Ryzyko definiowane jest jako zmiennoĻę oczekiwanej
stopy zwrotu. W praktyce zmiennoĻę oczekiwanej stopy
dochodu mierzona jest za pomocĢ miar rozproszenia
zmiennej wokół jej wartoĻci Ļredniej, zaĻ statystycznymi
miarami tego rozproszenia sĢ:
a) wariancja
b) odchylenie standardowe
Definicja i pomiar ryzyka
Definicja i pomiar ryzyka
Wariancja
stanowi ĻredniĢ z róŇnic pomiħdzy
wartoĻciami zmiennej a jej wartoĻciĢ ĻredniĢ,
podniesionymi do kwadratu:
JeŇeli Ļrednia obliczona jest z próbki, to równieŇ
wariancjħ obliczamy w oparciu o dane z próbki, wtedy:
=
Ã
=
N
(
r
−
r
)
2
t
n
=
Ã
=
s
2
t
1
s
(
r
)
p
[
r
−
E
(
r
)]
2
r
i
i
N
−
1
i
1
DrugĢ miarĢ rozproszenia zmiennej wokół Ļredniej jest
odchylenie standardowe
, które jest pierwiastkiem
kwadratowym z wariancji.
gdzie:
– wariancja
2
2
s
r
Linia charakterystyczna papieru
wartoĻciowego
Linia charakterystyczna papieru
wartoĻciowego
r
j
,
t
=
a
j
+
b
j
r
M
,
t
+
e
j
,
t
r
j,t
x
x
x
y
g
gdzie
:
- stopa zwrotu z akcji lub portfela w okresie t
- wyraz wolny równania regresji
- współczynnik kierunkowy równania regresji
- stopa zwrotu z portfela rynkowego
- skþadnik resztowy (losowy) rwnania regresji
e
=
r
−
(
a
+
b
r
=
a
r
a
b
j
,
j
,
j
j
M
,
t
j
t
r
M,t
x
x
r
,
t
j
,
t
x
e
Współczynnik alfa
Współczynnik beta
a
=
r
b
−
r
b =
Cov
(
r
j
,
r
M
)
j
j
j
M
j
s
2
M
ã
jest miarĢ oczekiwanej stopy zwrotu gdy r
M
wynosi
zero
ã
jest miarĢ zwiĢzku miħdzy oczekiwanĢ stopĢ zwrotu
z danej akcji a stopĢ zwrotu z portfela rynkowego
Interpretacja współczynnika beta
Interpretacja współczynnika beta
D
b
>
1
D
WIG
b
=
1
WIG
b
<
1
b
<
0
3
)
t
t
Interpretacja współczynnika beta
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela
Oczekiwana stop
ħ
zwrotu
z portfela:
Ã
=
M
E
(
r
)
=
x
E
(
r
)
p
j
j
j
1
gdzie:
– oczekiwana stopa zwrotu j-tej akcji
– udział j-tej akcji w portfelu
E
(
j
r
)
x
j
Oczekiwana stopa dochodu jest ĻredniĢ waŇonĢ
oczekiwanych stóp dochodu akcji wchodzĢcych w skład
tego portfela.
„Ko-wariancja” tj. „Wspólna wariancja”
„
Ko-wariancja” tj. „Wspólna wariancja”
Do tego momentu mówiliĻmy o oczekiwanych stopach
dochodu i ryzyku pojedynczych akcji. Powstaje pytanie,
jak zachowujĢ siħ oczekiwane stopy dochodu oraz ryzyko
portfela składajĢcego siħ z wielu akcji.
W celu odpowiedzenia na to pytanie konieczne jest
wprowadzenie dodatkowej miary statystycznej, a
mianowicie kowariancji.
Kowariancjħ moŇna wyliczyę z nastħpujĢcych wzorów:
a) kowariancja w populacji generalnej
=
=
m
Cov(r
r
)
p
[
r
−
E
(
r
)][
r
−
E
(
r
)]
A,
B
i
A
,
A
B
,
B
i
1
Kowariancja
jest miarĢ statystycznĢ, która pozwala
udzielię odpowiedzi na pytanie, jak zachowujĢ siħ stopy
dochodu akcji wzglħdem siebie.
„Ko-wariancja” tj. „Wspólna wariancja”
Współczynnik korelacji
(wystandaryzowana kowariancja)
b) kowariancja z próbki
Istnieje moŇliwoĻę standaryzacji kowariancji poprzez
podzielenie jej przez odchylenia standardowe stóp zwrotu
z obu inwestycji:
=
Ã
=
N
[(
r
−
r
)
(
r
−
r
)]
A
t
A
B
,
t
B
Cov
t
1
Cov
(
r
,
r
)
r
A
r
B
N
−
1
r =
A
B
A
,
B
s
(
r
)
s
(
r
)
Kowariancja moŇe przyjmowaę wartoĻci
cov > 0 – akcje majĢ tendencjħ do odchylania siħ od
Ļredniej w tym samym kierunku
cov < 0 – akcje majĢ tendencjħ do odchylania siħ od
Ļredniej w przeciwstawnych kierunkach
(
−¥
+¥
)
A
B
Otrzymany wskaŅnik znany jest jako
współczynnik
korelacji
, którego wartoĻę waha siħ w przedziale
od -1 do +1.
4
i
i
,
,
Współczynnik korelacji
(wystandaryzowana kowariancja)
Współczynnik korelacji
(wystandaryzowana kowariancja)
Współczynnik korelacji:
¡
okreĻla siłħ i kierunek powiĢzania stóp zwrotu akcji
¡
im wyŇsza wartoĻę bezwzglħdna współczynnika
korelacji, tym wiħksza zaleŇnoĻę miħdzy badanymi
akcjami
¡
współczynnik korelacji równy zeru oznacza, Ňe
zachowanie siħ akcji jednej firmy jest statystycznie
niezaleŇne od zachowania siħ akcji drugiej firmy
¡
znak współczynnika korelacji wskazuje na kierunek
powiĢzania stóp zwrotu akcji
Współczynnik korelacji:
¡
dodatni współczynnik korelacji (korelacja dodatnia)
oznacza, Ňe wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednej
akcji towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu drugiej
akcji
¡
natomiast ujemny współczynnik korelacji (korelacja
ujemna) oznacza, Ňe wzrostowi (spadkowi) stopy
zwrotu jednej akcji towarzyszy spadek (wzrost) stopy
zwrotu drugiej akcji
Współczynnik determinacji
Macierz kowariancji
R
2
=
r
2
Do obliczania ryzyka portfela konieczna jest znajomoĻę
tzw.
macierzy kowariancji
dla papierów wchodzĢcych w
skład portfela. Np. macierz kowariancji dwu akcji
(A i B) wyglĢda nastħpujĢco:
A
,
B
A
,
B
ã informuje jaka czħĻę zmiennoĻci stopy zwrotu z jednej
inwestycji jest zwiĢzana ze zmiennoĻciĢ stopy zwrotu z
drugiej inwestycji
Akcja
A
B
A
B
Cov
(
r
A
r
,
A
)
Cov
(
r
B
r
,
A
)
Cov
(
r
A
r
,
B
)
Cov
(
r
B
r
,
B
)
Na głównej przekĢtnej macierzy kowariancji leŇĢ
kowariancje stopy zwrotu akcji z samĢ sobĢ.
Kowariancja
Macierz wariancji-kowariancji
Kowariancja stopy zwrotu z niĢ samĢ równa jest
wariancji stopy zwrotu tej akcji, gdyŇ:
BiorĢc pod uwagħ powyŇsze oraz dodatkowo
uwzglħdniajĢc niezbħdne do obliczenia wariancji z portfela
udziały poszczególnych akcji w portfelu macierz
pozwalajĢcĢ obliczyę wariancjħ moŇna zapisaę
nastħpujĢco:
Ã
m
Cov(
r
A
,
r
B
)
=
p
[
r
A
,
−
E
(
r
A
)][
r
A
,
i
−
E
r
A
)]
=
1
x
A
A
x
B
B
m
2
Akcja
Ã
=
p
[
r
−
E
(
r
)]
=
s
2
(
r
)
i
A
,
i
A
A
x
A
x
B
A
B
s
2
(
r
)
Cov
(
r
B
r
,
)
=
A
Cov
(
r
A
r
,
)
s
2
(
r
)
B
5
(
i
i
i
i
1