Wklęsłość i wypukłość oraz
punkty przegięcia wykresu
funkcji
Funkcja
f
jest wypukła w przedziale
b
a
;
, jeśli
dla każdych dwóch punktów
x
,
x
a
;
b
i dla
1
2
każdego
t
0
f
x
t
x
x
f
x
t
f
x
f
x
.
1
2
1
1
2
1
Jeżeli odcinek siecznej wykresu funkcji
f
łączący
punkty
fx
leży nad wykresem
funkcji, to funkcję nazywamy wypukłą. Jeśli dla
każdych dwóch punktów
x
1
,
f
x
2
,
x
i
1
2
1
,
x
taki odcinek leży pod
wykresem funkcji, to funkcję nazywamy wklęsłą.
2
Dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnej badanie
wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji opiera się
na twierdzeniu:
Jeżeli
f
'
'
x
0
x
a
;
b
dla każdego
,
a
;
b
to wykres funkcji jest wklęsły w przedziale
.
Jeżeli
f
'
'
x
0
x
a
;
b
dla każdego
,
a
;
b
to wykres funkcji jest wypukły w przedziale
.
Załóżmy, że funkcja
f
jest ciągła na przedziale
a
;
b
i
różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie
S
x
,
a
,
b
.
0
0
nazywamy
punktem przegięcia
wykresu funkcji
f
wtedy i tylko
wtedy, gdy wykres funkcji
f
jest wklęsły (wypukły)
P
x
,
f
x
x
a
,
b
Punkt
, gdzie
0
0
0
na przedziale
x
,
x
i wypukły (wklęsły) na
0
0
przedziale
0
x
0
,
x
dla pewnego
.
0
