Przykład
Oszacujmy parametry strukturalne modelu ekonometrycznego popytu na nowe
samochody segmentu B:
y
t
=
α
1
x
1
+
α
2
x
2
t
+
α
0
+
ξ
t
gdzie:
y
t
– popyt na nowe samochody segmentu B w tys. szt.,
x
1t
– dochody ludności na osobę w setkach zł,
x
2t
– średnia cena nowego samochodu segmentu B w tys. zł.
Odpowiednie dane prezentuje poniższa tablica.
y
t
x
1t
x
2t
3
2
5
4
2
3
9
5
1
5
3
3
8
4
2
3
3
6
5
3
3
4
2
2
2
2
5
8
4
2
6
4
2
9
5
2
Do szacowania parametrów strukturalnych wykorzystamy estymator:
a
=
(
X
T −
X
)
1
X
T
y
Macierze obserwacji zmiennych objaśniających, zmiennej endogenicznej oraz macierz
X
T
są równe:
⎡
2
5
1
⎤
⎡
3
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
2
3
1
⎥
⎢
4
⎥
⎢
5
1
1
⎥
⎢
9
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
3
1
5
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
4
2
1
8
2
2
5
3
4
3
3
2
2
4
4
5
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤
3
6
1
3
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
X
=
y
=
X
T
=
5
3
1
3
2
6
3
2
5
2
2
2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
3
3
1
5
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⎣
⎦
2
2
1
4
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
2
5
1
2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
4
2
1
⎥
⎢
8
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
4
2
1
⎥
⎢
6
⎥
⎢
5
2
1
⎥
⎢
9
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
1
Ekonometria – BOND Stacjonarne 15h
Można wykazać, że iloczyn macierzy X
T
X i X
T
y wynosi:
⎡
∑
x
2
1
∑
x
1
x
2
∑
x
1
⎤
⎡
∑
x
1
y
⎤
∑
∑
∑
X
T
X
=
x
2
2
x
X
T
y
=
x
y
⎢
⎥
⎢
⎥
2
2
⎢
⎥
⎢
∑
⎥
n
y
⎣
⎦
⎣
⎦
y
t
x
1t
x
2t
x
2
1
x
2
2
x
2
x
1
y
x
2
y
3
2
5
4
25
10
6
15
4
2
3
4
9
6
8
12
9
5
1
25
1
5
45
9
5
3
3
9
9
9
15
15
8
4
2
16
4
8
32
16
3
3
6
9
36
18
9
18
5
3
3
9
9
9
15
15
4
2
2
4
4
4
8
8
2
2
5
4
25
10
4
10
8
4
2
16
4
8
32
16
6
4
2
16
4
8
24
12
9
5
2
25
4
10
45
18
66
39
36
141
134
105
243
164
⎡
141
105
39
⎤
⎡
243
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
X
T
X
=
105
134
36
X
T
y
=
164
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
39
36
12
66
⎣
⎦
⎣
⎦
Wyznacznik macierzy X
T
X obliczony metodą Sarrusa wyniósł:
2718
.
1
⎡
312
144
−
1446
⎤
⎢
⎥
(
X
T
X
)
−
=
144
171
−
981
⎢
⎥
2718
⎢
⎥
−
1446
−
981
7869
⎣
⎦
w związku z tym wektor
a
wyniósł:
1
⎡
312
144
−
1446
⎤
⎡
243
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
a
=
144
171
−
981
⋅
164
,
⎢
⎥
⎢
⎥
2718
⎢
⎥
⎢
⎥
−
1446
−
981
7869
66
⎣
⎦
⎣
⎦
2
⎢
⎥
⎢
⎥
1
x
1
Ekonometria – BOND Stacjonarne 15h
1
⎡
3996
⎤
⎡
1
470
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
a
=
⎢
−
1710
⎥
=
⎢
−
0
629
⎥
2718
⎢
7092
⎥
⎢
2
609
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
W związku z tym postać modelu jest następująca:
y
t
= 1,470 x
1t
– 0,629 x
2t
+ 2,609 +u
t
Interpretacja parametrów:
Jeżeli dochód ludności zwiększy się o sto złotych na osobę (o jednostkę) to sprzedaż
samochodów zwiększy się 1, 470 tys. szt. (1 470 sztuk), przy założeniu, że jego cena nie
ulegnie zmianie. Jeżeli średnia cena nowego samochodu wzrośnie o tysiąc złotych to sprzedaż
samochodów zmniejszy się 0,629 tys. szt. (629 sztuki), przy założeniu, że dochody ludności
nie ulegną zmianie.
Parametry struktury stochastycznej – przykład 2
Wyliczanie reszt modelu (u
t
)
ˆ = 1,470 x
1 1
– 0,629 x
2 1
+ 2,609= 1,470⋅2 – 0,629⋅5 + 2,609= 2,404
1
u −
1
= =3–2,404= 0,596
y
1
ˆ
1
ˆ = 1,470 x
1 2
– 0,629 x
2 2
+ 2,609= 1,470⋅2 – 0,629⋅3 + 2,609= 3,662
2
u −
2
=
=4–3,662= 0,338
y
2
ˆ
2
ˆ
= 1,470 x
1 3
– 0,629 x
2 3
+ 2,609= 1,470⋅5 – 0,629⋅1 + 2,609= 9,330
3
u −
3
= =9–9,330= –0,330
y
3
ˆ
3
y
t
x
1t
x
2t
y
2
t
ˆ
u
t
u
3
2
5
9
2,404
0,60
0,36
4
2
3
16
3,662
0,34
0,12
9
5
1
81
9,330
-0,33
0,11
5
3
3
25
5,132
-0,13
0,02
8
4
2
64
7,231
0,77
0,59
3
3
6
9
3,245
-0,25
0,06
5
3
3
25
5,132
-0,13
0,02
4
2
2
16
4,291
-0,29
0,08
2
2
5
4
2,404
-0,40
0,16
8
4
2
64
7,231
0,77
0,59
6
4
2
36
7,231
-1,23
1,51
9
5
2
81
8,701
0,30
0,09
430
0,02
3,71
Wariancja resztowa:
3
2
t
t
Ekonometria – BOND Stacjonarne 15h
=
∑
=
1
n
1
S
2
u
u
2
t
=
3
710
=
0
412
n
−
k
12
−
3
t
1
lub ze wzoru macierzowego
1
[ ]
1
⎡
1
⎡
3996
⎤
⎤
⎢
⎥
[
]
⎢
⎥
S
2
u
=
y
T
y
−
y
T
Xa
=
430
−
243
164
66
⋅
−
1710
⎢
⎢
⎥
⎥
n
−
k
12
−
3
2718
⎢
⎢
⎥
⎥
7092
⎣
⎦
⎣
⎦
y
T
y
=
∑
y
2
oraz
y =
T
X
(
X
T
y
)
T
.
S
u
=
1
[
430
−
426
,
291
]
=
1
⋅
3
709
=
0
412
9
9
Odchylenie resztowe:
S
u
=
S
2
u
=
0
412
=
0
642
Średnio rzecz biorąc wartości empiryczne (rzeczywiste) sprzedaży samochodów
odchylają się od wartości teoretycznych wyliczonych na podstawie modelu +/– 0,642 tys. szt.
Współczynnik zmienności przypadkowej:
V
=
S
u
⋅
100
%
=
0
642
⋅
100
%
=
11
,
67
%
u
y
5
y =
5
Odchylenie resztowe stanowi 11,67% średniego poziomu sprzedaży samochodów. Jest to
więcej niż 10% (powszechnie stosowane).
Współczynnik zbieżności:
∑
n
u
2
i
3
709
ϕ
2
=
i
=
1
=
=
0
055
()
2
66
2
⎛
n
⎞
∑
⎜
⎝
y
⎟
⎠
430
−
n
i
12
∑
y
2
i
−
i
=
1
n
i
=
1
5,5% zmian zmiennej endogenicznej (sprzedaży samochodów) nie można wyjaśnić zmianami
zmiennych egzogenicznych (dochodów i ceny).
Współczynnik determinacji
4
Ekonometria – BOND Stacjonarne 15h
R
2
= 1– ϕ
2
= 1–0,055= 0,945
94,5% wariancji zmiennej endogenicznej (sprzedaży samochodów) można wyjaśnić
zmianami zmiennych egzogenicznych (dochodów i ceny).
Skorygowany współczynnik determinacji
~
2
=
1
−
n
−
1
(
−
R
2
)
=
1
−
12
−
1
(
−
0
945
)
=
0
932
n
−
k
12
−
3
Błędy szacunku parametrów (macierz wariancji i kowariancji estymatorów parametrów)
D
2
(
a
)
=
S
2
u
(
X
T
X
)
−
1
D
(
a
)
=
D
2
(a
)
j
j
1
⎡
312
144
−
1446
⎤
⎢
⎥
D
2
(
a
)
=
0
412
⋅
⎢
144
171
−
981
⎥
2718
⎢
−
1446
−
981
7869
⎥
⎣
⎦
D
1
2
(
a
)
=
0
412
1
312
=
0
047
2718
D
1
(
a
)
=
0
047
=
0
217
D
2
2
(
a
)
=
0
412
1
171
=
0
026
2718
D
(
a
2
)
=
0
026
=
0
161
D
2
(
a
)
=
0
412
1
7869
=
1
193
0
2718
D
(
a
0
)
=
1
193
=
1
092
y
t
= 1,470 x
1t
– 0,629 x
2t
+ 2,609 +u
t
(0,217) (0,161) (1,092)
Gdybyśmy wielokrotnie szacowali nasz model, ale zawsze na podstawie 12 elementowej
próby to, w przypadku pierwszego parametru, mylilibyśmy się średnio +/- 0,217, w
przypadku drugiego parametru – +/- 0,161 i w przypadku wyrazu wolnego – +/- 1,092.
5