Ň
ne niepewno
Ļ
ci w sumie
q
=
x
+
y
x
=
x
±
d
x
q
=
x
+
y
d
q
»
d
x
+
d
y
y
=
y
±
d
y
Wielko
Ļ
ci
x
i
y
s
Ģ
niezale
Ň
ne gdy s
Ģ
to ró
Ň
ne wielko
Ļ
ci wyznaczone przy pomocy
ró
Ň
nych przyrz
Ģ
dów pomiarowych.
W takiej sytuacji d
x
i d
y
s
Ģ
niepewno
Ļ
ciami niezale
Ň
nymi i przypadkowymi.
50% szans,
Ň
e je
Ļ
li
x
jest niedoszcowane to
y
jest przeszacowane
50% szans,
Ň
e je
Ļ
li
x
jest przeszacowane to
y
jest niedoszacowane
Bardzo małe prawdopodobie
ı
stwo,
Ň
e obie wielko
Ļ
ci s
Ģ
jednocze
Ļ
nie
niedoszacowane lub przeszacowane o niepewno
Ļ
ci d
x
i d
y
Je
Ļ
li pomiary wielko
Ļ
ci x i y zostały wykonane niezale
Ň
nie i podlegaj
Ģ
rozkładowi
normalnemu (Gaussa) czyli obarczone s
Ģ
niepewno
Ļ
ciami przypadkowymi
q
=
x
+
y
d
q
d
y
2
2
d
q
=
(
d
x
)
+
(
d
y
)
d
q
£
d
x
+
d
y
d
x
d
q
=
d
x
+
d
y
górna granica niepewno
Ļ
ci dotycz
Ģ
ca wszystkich przypadków
1
Cz
ħ
sto nie ma znaczenia czy sumujemy niepewno
Ļ
ci, czy te
Ň
obliczamy pierwiastek
z sumy kwadratu
Przykład 1:
d
x
=
d
y
=
2
mm
2
2
(
d
x
)
+
(
d
y
)
=
8
mm
@
2.8
mm
@
3
mm
x
W wielu do
Ļ
wiadczeniach ocena niepewno
Ļ
ci jest na tyle zgrubna,
Ň
e ró
Ň
nica
mi
ħ
dzy niepewno
Ļ
ci
Ģ
3 mm i 4 mm jest bez znaczenia.
d
+
d
y
=
4
mm
Przykład 2:
d
x
=
d
y
=
1
mm
d
z
=
10
mm
2
2
2
(
d
x
)
+
(
d
y
)
+
(
d
z
)
=
102
mm
@
1
0
mm
d
x
+
d
y
+
d
z
=
12
mm
Podstawowy problem!!!
Czy wielko
Ļ
ci mierzone w sposób bezpo
Ļ
redni s
Ģ
niezale
Ň
ne?
• Je
Ļ
li pomiary dokonywane s
Ģ
przy pomocy ró
Ň
nych przyrz
Ģ
dów pomiarowych to
mo
Ň
emy przyj
Ģę
,
Ň
e pomiary s
Ģ
niezale
Ň
ne, a ich niepewno
Ļ
ci s
Ģ
niezale
Ň
ne i
przypadkowe –
niepewno
Ļę
wyniku jest pierwiastkiem z sumy kwadratów
• Je
Ļ
li istnieje podejrzenie,
Ň
e pomiary s
Ģ
zale
Ň
ne (np. wykonywane przy pomocy tego
samego przyrz
Ģ
du pomiarowego –
niepewno
Ļę
wyniku jest sum
Ģ
niepewno
Ļ
ci
2
Ogólnie
x
=
x
±
d
x
3
3
q
=
(
x
+
+
z
)
−
(
u
+
+
w
)
4
z
=
z
±
d
z
q
=
(
x
+
3
+
z
)
−
(
u
+
3
+
w
)
u
=
u
±
d
u
2
2
2
2
3
3
d
q
»
(
d
x
)
+
+
(
d
z
)
+
(
d
u
)
+
+
(
d
w
)
4
d
q
£
d
x
+
3
+
d
z
+
d
u
+
3
+
d
w
w
=
w
±
d
w
x
×
2
×
z
q
=
u
×
×
w
2
2
x
×
×
z
q
=
u
×
2
×
w
2
2
2
2
d
q
Ä
d
x
Ä
d
z
Ä
d
u
Ä
d
w
Ô
Ô
Ô
Ô
»
+
3
+
+
+
3
+
Æ
Ö
Æ
Ö
Æ
Ö
Æ
Ö
q
x
z
u
w
d
q
d
x
d
z
d
u
d
w
£
+
3
+
+
+
3
+
q
x
z
u
w
3
Przykład: Sprawno
Ļę
silnika elektrycznego
U
Ciało o masie
m
jest podnoszone na wysoko
Ļę
h
w czasie
t
przy pomocy silnika elektrycznego zasilanego
napi
ħ
ciem
U
, przez który przepływa pr
Ģ
d o nat
ħŇ
eniu
i
.
i
h, t
m
mgh
d
m
d
h
d
U
d
i
d
t
h
=
=
=
=
=
1
%
=
5
%
Uit
m
h
U
i
t
dh
£
1
%
+
1
%
+
1
%
+
1
%
+
5
%
=
9
%
h
dh
dh
d
2
2
2
2
2
@
1
+
1
+
1
+
1
+
5
%
=
29
%
@
5
.
38
%
@
5
%
¼
@
h
h
t
m
,
h
,
t
,
U
,
i
– ró
Ň
ne wielko
Ļ
ci fizyczne mierzone ró
Ň
nymi sposobami
(przyrz
Ģ
dami pomiarowymi)
½
uzasadnione jest traktowanie tych wielko
Ļ
ci jako niezale
Ň
ne
4
Niepewno
Ļę
dowolnej funkcji jednej zmiennej
Przykład: Wyznaczanie współczynnika załamania
powietrze
a
sin
a
=
n
sin
b
q – k
Ģ
t graniczny
1
=
n
sin
q
n
=
n
?
=
1
woda
b
q
=
q
±
dq
n
=
sin
d
?
q
q
q
=
f
(
x
)
q
=
f
(
x
)
f
x
+
d
x
(
)
f
(
x
−
d
x
)
d
d
f
( )
x
f
( )
x
d
d
f
(
x
−
d
x
)
f
(
x
+
d
x
)
x
x
x
−
d
x
x
x
+
d
x
x
−
d
x
x
x
+
d
x
d
q
=
−
[
f
(
x
−
d
x
)
−
f
( )
x
]
d
q
=
f
(
x
+
d
x
)
−
f
( )
x
df
df
@
−
d
x
@
d
x
5
dx
dx
x
x