Wyklad6, Ubik - Materiały, Semestr I, Algebra

//-->.pos {position:absolute; z-index: 0; left: 0px; top: 0px;}Algebra21 grudnia 2014A. Strojnowskistr.22Wykªad 6EndomorzmyVw siebie.Przypomnijmy:Denicja 5.1Endomorzmem nazywamy przeksztaªcenie liniowe przestrzeniSymbolemEnd(V)okre±lamy zbiór wszystkich przeksztaªce« liniowychf:V→V.Twierdzenie 5.2Niech ukªadyA= (α1, α2, ..., αn)iB= (β1, β2, ..., βn)b¦d¡ dwiema bazami przestrzeniVnad ciaªemK. Niechf:V→VWówczasM(f )A=C−1M(f )BC, gdzieC=M(id)B.ABAPrzykªad 5.3NiechM(f )st=−1612,M(g)st= 10−6stst15−9−302219−12.30−19Wówczas dla bazyA= (2, 3); (3, 5)otrzymujemy:2 0M(f )A=,A0 41 0wi¦cgjest rzutem nalin{(2, 3)}wzdªu»lin{(3, 5)}M(g)A=A0 01M(h)A=wi¦chjest symetri¡ wzgl¦demlin{(2, 3)}wzdªu»lin{(3, 5)}.A−1iM(h)st=st1) Podprzestrze«V⊂Rnnazywamy podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡przeksztaªcenia f je»elif(V )⊂V.2) Wektorα∈Rnnazywamy wektorem wªasnym przeksztaªcenia f je»elif(α) =rαdla pewnej liczby r.3) Liczb¦ r nazywamy warto±ci¡ wªasn¡ przeksztaªcenia f je»elif(α) =rαdla pewnego niezerowego wektoraα.charakterystycznym M nazywamywM(x) = det (M−xI).Wielomianem charakterystycznym endomorzmu f nazywamywM(x) = det (M−xI), gdzie M jest macierz¡ f w dowolnej bazie.Denicja 5.4Niech f b¦dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeniRnw siebie.Denicja 5.5NiechM∈Rnb¦dzie macierz¡ kwadratow¡. WielomianemnDenicja 5.6Liczb¦ r nazywamy warto±ci¡ wªasn¡ macierzy kwadratowej Mje»elidet (M−rI)= 0czyli r jest pierwiastkiem wielomianu charakterysty-cznego macierzy M.M jest zbiorem warto±ci wªasnych M.Twierdzenie 5.7Zbiór pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzyAlgebra21 grudnia 2014A. Strojnowskistr.23Twierdzenie 5.8Wektory o ró»nych warto±ciach wªasnych tworz¡ zbiórliniowo niezale»ny.Wówczas macierzfw bazieBjest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdyBskªada si¦ z wektorów wªasnych.Twierdzenie 5.9Niechf:Kn→Knb¦dzie przeksztaªceniem liniowym.a1, a2, ..., an. Wówczas istnieje bazaB, zªo»ona z wektorówwªasnych i macierza10 0· · ·a2· · ·Bfw tej bazie ma posta¢M(f )B=. . . .... ... ..0 0 0· · ·anTwierdzenie 5.10Niechf∈L(Rn,Rn)ma n ró»nych warto±ci wªasnychDenicja 5.11Klatk¡ Jordana nazywamy macierz kwadratow¡ postaci:a1 0···a1···M=. . ... ... .0 0 0···.czyli macierz, której..aniezerowymi elementami s¡ a na przek¡tnej i 1 na drugiej przek¡tnej.Twierdzenie 5.12 (Jordana)Je»eli wielomian charakterystyczny endomor-przestrzeniKw której macierz f ma posta¢nzmu f rozkªada si¦ nad ciaªem K na czynniki liniowe to istnieje taka bazaM(f )AAK1···K2· · ·=.. ..........· · ·Kti na przek¡tnej stoj¡ klatki Jordana. Przedstawienie to jest jednoznacznez dokªadno±ci¡ do permutacji klatek.M rozkªada si¦ nad ciaªem K na czynniki liniowe toistnieje taka macierzK1···K2· · ·−1odwracalna A, »eA M A=.. ..........· · ·KtTwierdzenie 5.13 (Jordana)Je»eli wielomian charakterystyczny macierzyi na przek¡tnej stoj¡ klatki Jordana.Przykªad 5.142 2 5Szukamy postaci Jordana macierzyM=1 3 20 0 52−x2513−x25−xLiczymy wielomian charakterystyczny:= (5−x)2−x213−x=Algebra21 grudnia 2014A. Strojnowskistr.24Dla ka»dej z warto±ci wªasnych 1,4,5 szukamy wektora wªasnegorozwi¡zuj¡c ukªady jednorodne o macierzach:2−1251 2 51 2 013−12=1 2 2→0 0 15−10 0 40 0 0= (5−x)(x2−5x + 4) = (5−x)(x−1)(x−4).Wektorem wªasnym, przeksztaªceniaφo warto±ci wªasnej 1 jest np.(−2, 1, 0).2−425−22 51−113−42=1−12→0 0 15−40 10 0 0Wektorem wªasnym, przeksztaªceniaφo warto±ci wªasnej 4 jest np.(1, 1, 0).72−525−32 51 0−213−52=1−22→0 1−1140 0 05−50 0Wektorem wªasnym, przeksztaªceniaφo warto±ci wªasnej 5 np.(14, 11, 7).W bazieB= (−2, 1, 0), (1, 1, 0), (14, 11, 4)macierz¡φ1 0 0jestM(φ)B=0 4 0i to jest posta¢ Jordana macierzyM.B0 0 5−21 14NiechA=1 1 11b¦dzie macierz¡, której kolumnami s¡ wektory0 0 41 0 0−1z bazyB. WtedyA M A=0 4 00 0 5Podamy teraz przykªad macierzy z wi¦kszymi klatkami:3−40 0Przykªad 5.15NiechM=M(f )st=1−10 0. Wielomianemst3 1−12−2432charakterystycznym jest:X−5X + 9X−7X + 2 = (X−1)3(X−2)1−42−41−2iM−2I =1−3M−I=1121−12−2 −2−12−2 −1Poniewa»r(M−I)= 2wi¦c w postaci Jordana macierz M ma jedn¡ klatk¦o warto±ci wªasnej 2 i4−2 = 2klatki o warto±ci wªasnej 1. Jedna z nichmusi by¢ rozmiaru 2 a druga 1.Algebra211121 grudnia 2014A. Strojnowskistr.25Postaci¡ Jordana macierzy jest1Ka»dy wektor wªasny o warto±ci wªasnej 1 jest rozwi¡zaniem ukªadurówna« jednorodnych o macierzy2−4−2II0 01−21−2M−I=210 2−12−2 −1+III−12 00 0 0 01−20 00 0 2 10 0 0 0x2i x3s¡ parametrami i ogóln¡ postaci¡ rozwi¡zania jest(2x2, x2, x3,−2x3) =x2(2, 1, 0, 0) +x3(0, 0, 1,−2).1+IIZatem wektory o warto±ci wªasnej 1 tworz¡ 2 wymiarow¡ podprzestrze« obazieB={(2,1, 0, 0), (0, 0, 1,−2)}.Ka»dy wektor wªasny o warto±ci wªasnej 2 jest rozwi¡zaniem ukªadu rów-na« jednorodnych o macierzy1−41−3−IM−2I=11−12−2 −2+2III1 0 0 00 1 0 00 0 2 10 0 0 0wi¦c jest postacix3(0, 0,−1,1).1−11221+I−2II1Szukamy bazy.α1∈lin{(0,0,−1,1)}za±α2, α4∈lin{(2,1, 0, 0), (0, 0, 1,−2)}.Natomiastα3speªniaf(α3) =α2+α3wi¦c jest rozwi¡zaniem ukªadua2−40 2a1−2ao macierzy21b−12−2 −1 −2b2Z wymiaru przestrzeni wektorów wªasnych wynika, »e w postaci Jordanamacierz M ma jedn¡ klatk¦ o warto±ci wªasnej 2 i dwie klatki o warto±ci wªas-nej 1. Jedna z nich musi by¢ rozmiaru 2 a druga 1.Postaci¡ Jordana macierzy jest111Algebra21 grudnia 2014A. Strojnowskistr.262−4a2a1−2a=wi¦c wystarczy przyj¡¢ale21b−12−2 −1b−a −ba=b= 1. Czyliα3= (1, 0, 0, 1),α2= (2, 1, 0, 0) + (0, 0, 1,−2)= (2, 1, 1,−2)iα4= (2, 1, 0, 0).Sprawdzenie−11111−1211−2−2−2−23−11 23−40 02 1 20 11−10 01 0 1=0 03 1−11 0 01 0−12−21−21 0−2 −13−40 02 1 2−1 −11−10 01 0 1=−13 11 0 011−12−21−21 021111

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

kachorra.htw.pl