Wyznaczaniewspółczynnikaspr¦»ysto±ci
spr¦»yniichukładów
63.1.Zasada¢wiczenia
W ¢wiczeniu okre±la si¦ współczynnik spr¦»ysto±ci pojedynczych spr¦»yn i ich
układów, mierz¡c wydłu»enie spr¦»yn pod wpływem znanego obci¡»enia oraz okres
drga« obci¡»onych spr¦»yn.
63.2.Wiadomo±citeoretyczne
Pod wpływem działaj¡cych sił zewn¦trznych ka»de ciało stałe odkształca si¦, zmie-
niaj¡c swoj¡ obj¦to±¢ i kształt. W czasie, gdy ciało jest odkształcone, siły zewn¦trzne
s¡ równowa»one siłami reakcji spr¦»ystych ciała, które d¡»¡ do przywrócenia jego
pierwotnej postaci.
Przyjmiemy dalej, »e rozwa»ane ciało ma stały przekrój poprzeczny (np. pr¦t, drut,
spr¦»yna), a zewn¦trzna siła
F
jest skierowana wzdłu» podłu»nej osi ciała, powoduj¡c
jego wydłu»enie lub skrócenie o warto±¢
x
. Zachodzi wówczas zwi¡zek:
F
=
kx,
(63.1)
gdzie współczynnik
k
, maj¡cy wymiar [
k
] = N/m, nazywa si¦ współczynnikiem spr¦-
»ysto±ci ciała. Jego warto±¢ liczbowa jest równa warto±ci siły, powoduj¡cej wydłu»enie
lub skrócenie ciała o jednostk¦ długo±ci. Zale»no±¢ (63.1) stosuje si¦ jedynie dla ograni-
czonego zakresu działaj¡cych sił, nie przekraczaj¡cych tzw. granicy proporcjonalno±ci.
W przypadku spr¦»yny jej współczynnik spr¦»ysto±ci wyra»a si¦ wzorem:
k
=
Gr
4
4
NR
3
(63.2)
(np. [1]), gdzie
r
jest promieniem drutu spr¦»yny,
N
— liczb¡ jej zwojów,
R
— pro-
mieniem spr¦»yny, natomiast
G
— tzw. modułem sztywno±ci (lub modułem Kirch-
hoa) materiału spr¦»yny o wymiarze [
G
] = N/m
2
. Moduł sztywno±ci jest jednym
z podstawowych parametrów charakteryzuj¡cych własno±ci spr¦»yste danego mate-
riału, niezale»nym od rozmiarów i kształtu ciała.
2
wiczenie63
Rysunek63.1.a)Spr¦»ynabezobci¡»enia,b)obci¡»onaspr¦»ynawpoło»eniurównowagi,
c)obci¡»onaspr¦»ynawychylonazpoło»eniarównowagi
Współczynnik spr¦»ysto±ci
k
spr¦»yn mo»na łatwo wyznaczy¢ do±wiadczalnie. Gdy
na ko«cu spr¦»yny zawiesimy ciało o znanej masie
m
(rys. 63.1), zostanie ona rozci¡-
gni¦ta pod wpływem ci¦»aru ciała
Q
=
mg
(63.3)
(
g
— przyspieszenie ziemskie) o długo±¢
x
0
. Kład¡c we wzorze (63.1)
F
=
Q
i
x
=
x
0
,
otrzymujemy wzór, pozwalaj¡cy obliczy¢ współczynnik spr¦»ysto±ci:
k
=
mg
x
0
.
(63.4)
Gdy nast¦pnie wychylimy ciało w kierunku pionowym z poło»enia równowagi i pu-
±cimy swobodnie (rys. 63.1), zacznie ono wykonywa¢ drgania pod wpływem siły reakcji
F
s
=
−
F
odkształconej spr¦»yny. Zgodnie ze wzorem (63.1) siła reakcji jest równa:
F
s
=
−
kx,
(63.5)
przy czym znak „
−
” wskazuje, »e jest ona skierowana przeciwnie do kierunku wychy-
lenia ciała. Wiadomo, »e ruch ciała na skutek działania siły okre±lonej wzorem (63.5)
jest ruchem harmonicznym prostym, przy czym okres drga« ciała wynosi:
T
= 2
r
m
k
.
(63.6)
Współczynnik spr¦»ysto±ci mo»na wi¦c obliczy¢ ze wzoru:
k
=
4
2
m
T
2
.
(63.7)
Powy»sze wzory stosuj¡ si¦ przy zało»eniu, »e mo»na zaniedba¢ sił¦ oporu powietrza,
jak równie» mas¦ spr¦»yny w porównaniu z mas¡ ciała.
Wyznaczaniewspółczynnikaspr¦»ysto±cispr¦»yniichukładów
3
Rysunek63.2.Poł¡czeniespr¦»yn:a)równoległe,b)szeregowe
Spr¦»yny mo»na ł¡czy¢ ze sob¡ — równolegle lub szeregowo (rys. 63.2). Wypad-
kowy współczynnik spr¦»ysto±ci
k
poł¡czonych spr¦»yn jest zdefiniowany zale»no±ci¡
(63.1), w której
F
i
x
oznaczaj¡ sił¦ przyło»on¡ do układu spr¦»yn i jego wydłu»enie.
W przypadku poł¡czenia równoległego dwóch spr¦»yn o współczynnikach spr¦»y-
sto±ci
k
1
i
k
2
działaj¡ca na nie siła jest sum¡ sił
F
1
i
F
2
, działaj¡cych na poszczególne
spr¦»yny, a ich wydłu»enia s¡ jednakowe. Zachodz¡ wi¦c zale»no±ci:
F
1
=
k
1
x, F
2
=
k
2
x, F
=
F
1
+
F
2
,
(63.8)
z których, uwzgl¦dniaj¡c zale»no±¢ (63.1), otrzymuje si¦ zwi¡zek:
k
=
k
1
+
k
2
.
(63.9)
Dla szeregowego poł¡czenia spr¦»yn działaj¡ce na nie siły s¡, przy pomini¦ciu
ci¦»aru spr¦»yn, jednakowe, natomiast ich ł¡czne wydłu»enie jest sum¡ wydłu»e«
x
1
i
x
2
obu spr¦»yn. Mamy wi¦c zale»no±ci:
F
=
k
1
x
1
, F
=
k
2
x
2
, x
=
x
1
+
x
2
,
(63.10)
z których, po uwzgl¦dnieniu zale»no±ci (63.1), wynika zwi¡zek:
1
k
=
1
k
1
+
1
k
2
.
(63.11)
63.3.Aparaturapomiarowa
W skład u»ywanego w ¢wiczeniu zestawu pomiarowego (rys. 63.3) wchodz¡: spr¦-
»yny, ci¦»arki i statyw, na którym zawiesza si¦ spr¦»yny. Do pomiaru wydłu»enia
spr¦»yn słu»y pionowa podziałka z dwiema przesuwanymi wskazówkami. Mas¦ ci¦»ar-
ków wyznacza si¦ przy pomocy wagi, a okres drga« obci¡»onych spr¦»yn mierzy si¦
stoperem.
4
wiczenie63
Rysunek63.3.Zestawdopomiaruwspółczynnikaspr¦»ysto±cispr¦»yn.1—spr¦»yny,2—
ci¦»arki,3—statyw,4—podziałka,5—waga,6—stoper
63.4.Zadania
1. Wyznaczy¢ współczynnik spr¦»ysto±ci wybranej spr¦»yny: a) badaj¡c jej wydłu-
»enie pod wpływem zawieszonego ci¦»aru, oraz b) mierz¡c okres drga« obci¡»onej
spr¦»yny. Obliczy¢ moduł sztywno±ci materiału spr¦»yny.
2. Wyznaczy¢ obydwiema metodami współczynnik spr¦»ysto±ci układu dwóch spr¦-
»yn, poł¡czonych a) równolegle, b) szeregowo.
63.5.Przebiegpomiarówiopracowaniewyników
ad 1. Do dolnego ko«ca zawieszonej na statywie spr¦»yny zaczepia¢ kolejne ci¦»arki,
mierz¡c za ka»dym razem ich ł¡czn¡ mas¦
m
oraz wydłu»enie
x
0
spr¦»yny. Zapisa¢
w tabelce warto±ci
m
i
x
0
i sporz¡dzi¢ wykres zale»no±ci
x
0
–
m
. Zgodnie ze wzo-
rem (63.4), zale»no±¢ ta powinna przedstawia¢ w przybli»eniu lini¦ prost¡, okre±lon¡
ogólnym równaniem:
Y
=
A
·
X
+
B,
(63.12)
Wyznaczaniewspółczynnikaspr¦»ysto±cispr¦»yniichukładów
5
gdzie
X
=
m
,
Y
=
x
0
,
A
=
g/k
i
B
= 0. Je»eli ostatnie punkty na wykresie, odpowia-
daj¡ce najwi¦kszym masom
m
, odchylaj¡ si¦ od zale»no±ci prostoliniowej, ±wiadczy
to o przekroczeniu granicy proporcjonalno±ci dla danej spr¦»yny. Wyniki tych po-
miarów nale»y w dalszych obliczeniach pomin¡¢. Warto±ci parametrów
A
i
B
prostej
i niepewno±ci
S
A
i
S
B
parametrów wyznaczy¢ metod¡ regresji liniowej, aproksymuj¡c
do±wiadczaln¡ zale»no±¢
x
0
–
m
funkcj¡ (63.12). Narysowa¢ t¦ prost¡ na wykresie.
Obliczy¢ współczynnik spr¦»ysto±ci badanej spr¦»yny i jego niepewno±¢ ze wzorów:
k
=
g/A,
(63.13)
S
k
=
gS
A
/A
2
.
(63.14)
Za warto±¢ przyspieszenia ziemskiego przyj¡¢
g
= 9
,
815 m/s
2
.
W dalszym ci¡gu tej cz¦±ci ¢wiczenia zawiesza¢ na dolnym ko«cu spr¦»yny kolejne
ci¦»arki i wprawia¢ układ w drgania w kierunku pionowym. Mierzy¢ ka»dorazowo
ł¡czn¡ mas¦
m
ci¦»arków oraz czas
t
okre±lonej liczby
n
pełnych drga« (np.
n
= 20)
i oblicza¢ okres
T
=
t/n
drga« ci¦»arków. Dla ułatwienia pomiarów nale»y dobiera¢
stosunkowo du»e masy ci¦»arków, aby okres drga« układu był mo»liwie długi. Zapi-
sywa¢ w tabelce warto±ci
m
,
t
,
T
i
T
2
. Wyniki pomiarów przedstawi¢ na wykresie
T
2
–
m
. Jak wynika ze wzoru (63.10), wykres powinien by¢ w przybli»eniu prostoliniowy,
a współczynnik kierunkowy prostej powinien wynosi¢
A
= 4
2
/k
. Wyznaczy¢ warto±ci
parametrów
A
i
B
prostej (63.15) i ich niepewno±ci
S
A
i
S
B
metod¡ regresji liniowej
i narysowa¢ prost¡ na wykresie. Współczynnik spr¦»ysto±ci i jego niepewno±¢ obliczy¢
ze wzorów:
k
= 4
2
/A,
(63.15)
S
k
= 4
2
S
A
/A
2
.
(63.16)
Ko«cz¡c pierwsz¡ cz¦±¢ ¢wiczenia, okre±li¢ warto±ci modułu sztywno±ci
G
ma-
teriału spr¦»yny. W tym celu zmierzy¢ ±rednic¦
d
= 2
r
drutu spr¦»yny i ±rednic¦
D
= 2
R
spr¦»yny, odpowiednio za pomoc¡ ±ruby mikrometrycznej i suwmiarki i obli-
czy¢ promienie
r
i
R
. Policzy¢ ilo±¢
N
zwojów spr¦»yny. Warto±ci
G
i ich maksymalne
niepewno±ci
G
obliczy¢ z przekształconego wzoru (63.2):
G
=
4
NR
3
k
r
4
(63.17)
i ze wzoru:
N
N
+
3
R
R
+
4
r
r
+
k
k
|
G
|
=
G
.
(63.18)
Za niepewno±¢
N
przyj¡¢ ułamek liczby zwojów, niepewno±ci
R
i
r
oceni¢ na
podstawie dokładno±ci ±ruby mikrometrycznej i suwmiarki, a za niepewno±¢ współ-
czynnika spr¦»ysto±ci przyj¡¢
|
k
|
= 3
S
k
.
ad 2. Zmierzy¢ współczynniki spr¦»ysto±ci
k
1
i
k
2
dwóch wybranych spr¦»yn, oraz
wypadkowe współczynniki spr¦»ysto±ci
k
układu tych spr¦»yn, poł¡czonych równolegle
i szeregowo, w podobny sposób jak w punkcie 1. W celu skrócenia czasu pomiarów
mo»na je przeprowadzi¢ tylko dla jednej masy
m
ci¦»arków. Stosuj¡c metod¦ obci¡-
»ania spr¦»yny, nale»y wówczas oblicza¢ współczynniki spr¦»ysto±ci ze wzoru (63.4),