wzor, STUDIA IV SEMESTR, RW

//-->.pos {position:absolute; z-index: 0; left: 0px; top: 0px;}Fragment książki. Edward Preweda: Rachunek wyrównawczy⇒modele statystyczne. Progres, Kraków 20134.2. Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów4.2.1. Wprowadzenie do równań obserwacyjnychW różnorodnych zagadnieniach geodezyjnych mamy do czynienia z opracowaniemwyników pomiarów (obserwacji). Uzgadniane, w tradycyjnym rachunku wyrównawczym –wyrównywane, są wielkości związane funkcyjnie z parametrami opisującymi badane zjawi-sko, często też funkcyjnie powiazane pomiędzy sobą. Uzgadniane są zarówno wyniki po-miarów bezpośrednich, jak i obserwacje pośredniczące w wyznaczaniu innych wielkości.Przykładem typowym może być wyrównywanie wyników pomiaru kątów, długości czy róż-nic wysokości. Obserwacje geodezyjne obarczone są błędami losowymi, ale też na przykładmogą różnić się dokładnością pomiarów, w wyniku uzgodnienia (wyrównania) otrzymująpoprawki. Poprawki te mają spełniać zasadę metody najmnieszych kwadratów dla modelistochastycznych. W literaturze spotkać można się również z interpretacją, że poprawki tepowinno przypisywać się nie do obserwacji, a traktować je należy jak odchyłki do modelumatematycznego, który obserwacje powiny spełniać. Jest to oczywiście dylemat meryto-ryczny, którego autor nie będzie rozstrzygał, natomiast w znaczeniu praktycznym poprawkado obserwacji rózni się od odchyłki do modelu przeciwnym znakiem.Zgodnie z zasadą metody najmniejszych kwadratów zakładamy, że obserwowana wiel-kośćListanowi zależność funkcyjną względem parametrówΘjΘ1,Θ2, ...,Θk,czyli(j= 1, 2, ...,k)(i= 1, 2, ...,n)(4.24)(4.25)Li=gi(Θ1,Θ2, ...,Θk);W zagadnieniach geodezyjnych wielkościamiLimogą być na przykład wartości pomierzo-nych kątów, długości czy różnic wysokości, natomiast parametramiΘjwspółrzędne punk-tów, które definiują rozpatrywane kąty, długości lub różnice wysokości.Metodą najmniejszych kwadratów można bezpośrednio estymować parametryΘjwy-łącznie wtedy, kiedy zależność (4.25) jest liniowa względem parametrów. Najczęściej funk-cje te są na wejściu nieliniowe. Najwygodniejszym sposobem doprowadzenia każdej funkcjido postaci liniowej jest rozwinięcie danej funkcji w szereg Taylora, czyli230L=g+dg+d2g+...+dmg(4.26)Ze względu na fakt, że w pomiarach geodezyjnych zawsze możemy wyznaczyć przybliżonewartości parametrówΘj≈ Θj, w rozwinięciu (4.26) wystarczy uwzględnić tylko różnicz-kę stopnia pierwszego (dg). Praktycznie każdą wielkość funkcyjnąLmożemy z wystarcza-jącym przybliżeniem zapisać w postaci:L=g(Θ01,Θ02,...,Θk)+  ∂g ∂g ∂gdΘ1+ dΘ2+...+  ∂Θ  ∂Θ ∂Θ12kdΘk(4.27)Róznica pomiędzy wartością obserwowanąLa wartością funkcjigdla przybliżonych warto-ści parametrówΘj(czylig), nazywana jest zredukowaną wartością wielkościL.Różni-ca ta, czyli∆Li=Li−gistanowi stanowi wyraz wolny równania (4.27), a w geodezji jestoznaczana najczęściej małą literąli, czyli:∆Li=li=Li−LoiPo uwzględnieniu przyjętych oznaczeń, równanie (4.27) przyjmuje postaćl= ∆L=  ∂g ∂g ∂gdΘ1+ dΘ2+...+  ∂Θ  ∂Θ ∂Θ12kdΘk(4.28)przy czym wskaźnik "0" przy nawiasie oznacza wartość pochodnej cząstkowej dla przybli-żonych wartości parametrówΘj.Układ równań (4.28) dla spełnia warunki liniowego modelu stochastycznego (3.62):∆Li=∑ ∂gi ∂Θjj=1kdΘj+δi(4.29)przy czymδioznacza składnik losowy reprezentujący tę część zmiennejLi(∆Li), któranie jest wyjaśniona przez model (4.25). Na ogół nie jest znany rozkład zmiennej losowejδi, natomiast przy założeniu rozkładu normalnego, zakładane są parametry, czyli wartośćprzeciętna i wariancja:E(δi)=orazV(δi)=σ2G, gdzieG=P−1.231Statystyczne oszacowanie modelu (4.29) na podstawie próby losowej (wyników po-ˆˆmiarów) polega na znalezienu ocen parametrówdΘjoraz wariancjiσ2, a także wartościskładnika losowegoδi. Na podstawie tych wartości można wyznaczyć najbardziej prawdo-podobne estymatory parametrówΘj, według zależnościˆˆΘj= Θj+dΘjoraz uzgodnione wartości względem przyjętego modelu dla wielkości obserwowanych, czyliˆLi=Li−δi(4.30)Opisany powyżej przypadek, interpretuje odchyłki losowe do modelu matematycznego, któ-ry obserwacje powiny spełniać. Oznacza to, że w celu uzgodnienia (wyrównania) należy odobserwacji odjąć te odchyłki. Równanie typu (4.29) w geodezyjnych procedurach obliczeńczęsto jest zapisywane w postacivi=∑ ∂gi ∂Θjj=1kdΘj− ∆Li(4.31)i nosi nazwę równania poprawek dla wielkości obserwowanej. Jak wspomniano, różnicaw obu postaciach wynika ze znaku przeciwnego przy składniku losowymδiwzględem po-prawki obserwacyjnejvi. Konsekwencją zapisu (4.31) jest równanieˆLi=Li+vi,gdzie(4.32)ˆLi- wartość wyrównana,Li- wartość obserwowana,vi- poprawka obserwacyjna (do obserwacji).Z porównania (4.29) i (4.31) wynikavi= −δi.2324.2.2. Równania obserwacyjne dla kątów, azymutów, długości i przewyższeńRównanie obserwacyjne dla kąta poziomegoKąt poziomy jest jednoznacznie zdefiniowany przez dwie współrzędne(x,y)trzech punk-tów (rys. 4.1), czylixLαLβ=arctgαPCβyP−yCy−yC−arctgL=xP−xCxL−xC∆Y∆Y=arctgP−arctgL∆XP∆XL(4.33)PRys. 4.1Po obliczeniu pochodnych cząstkowych względem poszczególnych współrzędnychpunktów otrzymamy ostateczną postać równania obserwacji dla kąta poziomegoβ:δβ+sinαLdLρdxL−cosαLdLρdyL−sinαPdPρdxP+cosαPdPρdyP−(4.34)sinαLsinαP−−ddPLgdzie:cosαLcosαPρdxC+ −ddPLρdyC= ∆β=lβδβ=vβ- składnik losowy zaobserwowanego kątaβ(vβ- poprawka do kąta),αL,αP- azymuty dla lewego i prawego ramienia kątaβobliczane na podstawieprzybliżonych wartości współrzędnych,dL,dP- długości lewego i prawego ramienia kątaβobliczone na podstawie przybli-żonych wartości współrzędnych punktów,dxL,dyL,dxP,dyP,dxC,dyC- różniczki (przyrosty) do przybliżonych współrzędnychpunktów L, P, C,lβ= ∆β=β−βo- różnica pomiędzy zaobserwowaną wartością kątaβa jego warto-ścią przybliżonąβo, obliczona na podstawie przybliżonych wartości współ-rzędnych punktów L, P, C. Różnica ta stanowi wyraz wolny równania.233Zamiast obliczać azymuty lewego i prawego ramienia kąta, znacznie wygodniej jestprzedstawić równanie obserwacyjne dla kąta poziomych w postaci:δβ+∆YLdL2ρdxL−∆XLdL2ρdyL−∆YPdP2ρdxP+∆XP2dPρdyP−(4.35) ∆Y∆Y− 2L−2PddPLprzy czymρdxC+  ∆XL− ∆XP22dPdLρdyC= ∆β=lβ∆XL,∆Y,∆XP,∆Y- różnice współrzędnych obliczone na podstawie współrzędnychLPpunktów L, P, C według zależności:∆XL=XL−XC∆XP=XP−XC∆Y=Y−YLLC∆Y=Y−YPPC.Równanie obserwacyjne dla kąta pionowegoKąt pionowy jest jednoznacznie zdefiniowany przez trzy współrzędne(x,y,z)trzechpunktów, czyli zgodnie z rys. 4.2 przez punktyG, DiC.zG(x,y,z)xD(x,y,z)γGγDdGdDγCRys. 4.2yPrzyjmując oznaczenia zgodnie z rysunkiem 4.2, interesujący nas kąt pionowy234

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

kachorra.htw.pl