ZESTAW ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KOLOKWIUM ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
Studia Stacjonarne – I rok MSU, kierunek Zarządzanie
WNE UWM
Zadanie
Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa postaci:
xi
-3
-1
3
5
p1
0,1
0,2
0,5
0,2
Wyznaczyć miary położenia i rozproszenia zmiennej losowej. Wyznaczyć dystrybuantę i zrobić jej wykres.
Zadanie
Zmienna losowa X jest określona za pomocą gęstości prawdopodobieństwa w przedziale (2;4); na zewnątrz tego przedziału f(x)=0. Wyznaczyć wartość modalną, wartość oczekiwaną i medianę zmiennej X.
Zadanie
Urządzenie składa się z trzech niezależnie pracujących elementów. Prawdopodobieństwo awarii dla każdego elementu w jednym doświadczeniu jest równe 0,1. Określić rozkład prawdopodobieństwa liczby niedziałających elementów w jednym doświadczeniu.
Zadanie
Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X
X
2
4
7
P
0,5
0,2
0,3
Znaleźć dystrybuantę F(x) i naszkicować jej wykres.
Zadanie
Na pewnej trasie kursują 3 autobusy. Awarie autobusów są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia awarii każdego z nich w ciągu dnia wynosi 0,2.
a) Wyznaczyć prawdopodobieństwo dnia bez awarii,
b) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwo i dystrybuantę liczby awarii w ciągu dnia
c) Obliczyć wartość oczekiwaną, dominantę, medianę i wariancję tego rozkładu.
Zadanie
Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza. Znaleźć dystrybuantę F(x) i naszkicować jej wykres. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
ZadanieWłaściciel komisu samochodowego wie z długoletniego doświadczenia, ze spośród wystawionych samochodów około 25% ma poważne wady. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród 20 samochodów wziętych w komis 6 będzie wykazywało poważne usterki.
Zadanie
Funkcja gęstości dana jest wzorem: f(x) =
a) oblicz stałą c b) wyznacz parametry położenia
c) wyznacz dystrybuantę d) oblicz P(1<X<2)
Zadanie
Pewna zmienna losowa ma funkcję gęstości:
Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie:
a) Wartość nie mniejszą niż 2 oraz nie większą niż 3;
b) Wartość co najwyżej równą 2;
c) Wartość 4;
d) Wartość z przydziału (3,4).
Zadanie
Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie:
Wyznaczyć odchylenie standardowe. Obliczyć P(1<x<2) i podać interpretację geometryczną wyznaczonego prawdopodobieństwa.
Zadanie
Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X
Znaleźć dystrybuantę F(x). Wyznaczyć wartość oczekiwaną, modę, medianę oraz współczynnik asymetrii.
ZadanieZmienna losowa X określona jest za pomocą gęstości prawdopodobieństwa f(x)=2x w przedziale (0;1); na zewnątrz tego przedziału f(x)=0. Wyznaczyć momenty zwykłe i momenty centralne pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu.
ZadanieSprawdzić, czy funkcja: jest funkcją gęstości zmiennej losowej X. Jeśli tak, to:
a) przedstawić funkcję gęstości graficznie,
b) wyznaczyć i narysować dystrybuantę tak określonej zmiennej losowej,
c) obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
d) obliczyć P(0<X<2),
e) obliczyć medianę.
Zadanie
Wartość oczekiwana rozkładu normalnego zmiennej losowej X jest równa m=3, średnie odchylenie standardowe s=2. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Naszkicuj wykres funkcji gęstości.
Zadanie
Zmienna losowa X jest określona za pomocą gęstości prawdopodobieństwa f(x)=0,5sinx w przedziale (0;p) na zewnątrz tego przedziału f(x)=0. Wyznaczyć wariancję zmiennej losowej X. Wyznaczyć wartość oczekiwaną, modę oraz współczynnik ekscesu.
Zadanie
Masa ciała w populacji studentów Wydziału Nauk Ekonomicznych UWM ma rozkład normalny N(72,12). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowego studenta należy do przedziału:
a) (60,66),
b) (78,84),
c) (69,75).
Zadanie
Masa jabłek odmiany reneta złocista ma rozkład normalny N(150,25). Obliczyć prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150 gramów.
Zadanie 16
Naszkicować na wspólnym układzie współrzędnych gęstości rozkładów:
a) N(2;2); N(2;4); N(2; 0,5);
b) N(2,2); N(4;2); N(0,5; 2).
Zadanie
Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym są odpowiednio równe 15 i 5. Znaleźć prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartości:
a) Mniejszą niż 12;
b) Większą niż 14;
c) Należącą do przedziału (12, 14).
Zadanie
W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników na koniec 2008 roku był następujący:
37, 34, 0, 5, 17, 17, 0, 2,, 24, 33, 4, 0, 5, 32, 3, 19, 24, 6, 8, 26, 24, 29, 9, 29, 2.
Jeśli wiadomo, że w badanym przedsiębiorstwie rozkład stażu jest normalny:
a) Oszacować punktowo i przedziałowo (współczynnik ufności 0,95) średni staż pracy pracowników badanego przedsiębiorstwa.
b) Oszacować przedziałowo (współczynnik ufności 0,98) odchylenie standardowe stażu pracy,
c) Sprawdzić, czy mamy podstawy do uogólniania otrzymanego w punkcie a) przedziału ufności na populację pracowników zatrudnionych w badanym przedsiębiorstwie (wykorzystać względną precyzję oszacowania).
Zadanie
Przeciętny wiek 25 pracowników wylosowanych niezależnie spośród załogi pewnego przedsiębiorstwa wynosił 37,5 roku, a współczynnik zmienności obliczony na podstawie odchylenia standardowego był na poziomie 37,4%. Przyjęto współczynnik ufności na poziomie 0,95 oraz na poziomie 0,98. Oszacować nieznaną średnią wieku pracowników badanego przedsiębiorstwa, wiedząc, że rozkład wieku jest zgodny z rozkładem normalnym.
W jaki sposób długość przedziału ufności zależy od przyjętego poziomu ufności?
Zadanie
Należy przebadać punkty handlu detalicznego pod względem miesięcznego utargu otrzymanego ze sprzedaży tłuszczów roślinnych. Z próby o liczebności 600 punktów handlowych otrzymano wielkości: zł, s = 12050 zł. Wyznaczyć przydział ufności dla średniego utargu w tej grupie produktów w populacji generalnej. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,99.
Zadanie
Wariancja w pewnej prostej próbie losowej o liczebości 10 obserwacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym wynosi s2 = 29,83. Podać przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,9.
ZadanieAby ocenić jakość partii towaru wybrano losowo 140 sztuk i okazało się, że 6 miało pewne braki. Na poziomie ufności 0,9 ocenić, jaki procent całej produkcji stanowią produkty uszkodzone?
Zadanie
Spośród 400 losowo wybranych klientów pewnego banku 112 stwierdziło, że mają zastrzeżenia do pracowników obsługujących klientów. Wyznaczyć 98% przedział ufności dla frakcji niezadowolonych klientów.
Zadanie
Ilu elementową próbę należy wylosować niezależnie, aby przy współczynniku ufności 0,98 oszacować odsetek osób, które wybrały kierunek studiów głównie ze względu na swoje zainteresowania, jeżeli wśród 250 studentów WNE 180 osób uważa, ze zainteresowania były głównym powodem wyboru przez nich kierunku studiów. Przy oszacowaniu tego odsetka nie chcemy pomylić się o więcej niż 5%.
Zadanie
Z populacji studentów wylosowano 132-elementową próbę w celu oszacowania średniego czasu poświęconego na naukę w czytelni w ciągu tygodnia. Otrzymano następujące wyniki:
Czas nauki w godz.
0 – 2
2 – 4
4 – 6
6 – 8
8 – 10
10 – 12
Liczba studentów
10
28
42
30
15
7
Przyjmując współczynnik ufności 0,90 zbuduj przedział ufności dla średniego tygodniowego czasu nauki w czytelni całej populacji studentów.
Zadanie
Z prawdopodobieństwem 0,95 oszacuj, jaka część uczniów szkół średnich pali papierosy, jeżeli w próbie liczącej 1000 uczniów losowo wybranych 360 paliło papierosy
Zadanie
Zbadano wagę stu studentów. Wyniki zebrano w tabeli poniżej:
Waga[kg]
Liczba studentów
40-50
7
...