Wykład
Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska
2006
Marek Krzysztof Jasina
6.
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego
odkształcalnego elementu prętowego
W przypadku płaskiego układu prętowego (rama płaska) siłami przekrojowymi
są siła normalna (osiowa, podłużna) , moment zginający
T
M
.
(dorysować
M
)
Rys. 6.1 Konwencja dodatnich sił przekrojowych (wersja tradycyjna)
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego = praca (rzeczywistych) sił we-
wnętrznych na odkształceniach.
N M T
2
2
2
M
2
E L
== + + +
∫ ∫ ∫ ∫
ds
ds
κ
ds
s
ds
(6.1)
p
w
EA EI
GA GI
l
l
l
l
s
Liczba pojawia się w powyższym wzorze po lewej stronie zamiast liczby
2
12
po stronie prawej (porównaj wzór z Twierdzenia Clapeyrona).
6.1.
Zależności kinematyczne
W przypadku płaskiego układu prętowego (rama płaska) lokalną deformację
osi pręta a co za tym idzie lokalną przemieszczenie przekroju poprzecznego
belki można przedstawić w sposób przedstawiony na poniższych rysunkach.
http://www.okno.pg.gda.pl
– 26 –
jasina@pg.gda.pl
N
M
i siła tnąca (po-
przeczna) (rys. 6.1). W przypadku dźwigarów załamanych w planie lub
rusztów uwzględnia się moment skręcający
2 2
Katedra Mechaniki Budowli
Wykład
Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska
2006
Marek Krzysztof Jasina
Rys. 6.2 Opis lokalnej deformacji belki (dodać
zs w
)
Rys. 6.3 Opis przemieszczenia przekroju poprzecznego belki (dodać
zs w
)
W związku z zależnościami geometrycznymi uwidocznionymi na rysunkach,
odkształcenia związane z deformacją pręta płaskiego zapisać można w poniż-
szy sposób:
ε=
dw ds
,
(6.2)
1 ρϕ
=
ds
,
(6.3)
γ
dv ds
,
ϕ
(6.4)
κθ
s
ds
gdzie
(),
zs
θ
.
(6.5)
http://www.okno.pg.gda.pl
– 27 –
jasina@pg.gda.pl
(),
(),
= +
=
Katedra Mechaniki Budowli
Wykład
Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska
2006
Marek Krzysztof Jasina
6.2.
Zależności konstytutywne
NEA
ε
(6.6)
M EI
=
ρ
(6.7)
TGA
γκ
(6.8)
MGI
=
s ss
κ
(6.9)
6.3.
Wpływ siły normalnej
(
ds
Rys. 6.4
dE
p
=
1
2
σε
dV
,
E
p
=
∫
1
2
σε
dV
(6.10)
V
gdzie:
dV Ads
σ=
N
A
=
,
, co po podstawieniu do
daje
E
=
1
∫
N
ε
Ads
=
1
∫
N
A ds N ds
ε
=
1
∫
Δ
(6.11)
p
2
A
2
A
2
l
l
l
gdzie
ε =Δ
ds ds
.
http://www.okno.pg.gda.pl
– 28 –
jasina@pg.gda.pl
Δ
)
Katedra Mechaniki Budowli
Wykład
Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska
2006
Marek Krzysztof Jasina
6.4.
Wpływ momentu zginającego
Rys. 6.5
dE
p
=
1
2
σε
dV
,
E
p
=
∫
1
2
σε
dV
(6.12)
V
uwaga -
jest taki sam jak
gdzie:
dV Ads
σ=
M
y
I
=
,
,
ε
=
y
(
ρ
- promień krzywizny), co po podstawie-
ρ
niu do
daje
1
My MyA yAs
1
2
1
2
1
E
=
∫
y Ads
=
∫
ds M
=
∫
=
∫
M
Δ
d
(6.13)
p
2
I
ρ
2
I
ρ
2
I
ρ
2
l
l
l
l
gdzie ϕ ρ
Δ
ds
- przyrost krzywizny.
6.5.
Wpływ siły tnącej
Rys. 6.6
http://www.okno.pg.gda.pl
– 29 –
jasina@pg.gda.pl
ϕ
Katedra Mechaniki Budowli
Wykład
Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska
2006
Marek Krzysztof Jasina
dE
p
=
1
2
τγ
dV
,
E
p
=
∫
1
2
τγ
dV
(6.14)
V
gdzie:
dV Ads
τ=
T
=
,
dA
, co po podstawieniu do
daje
E
=
1
∫
τγ
Ads T ds
=
1
∫
γ
(6.15)
p
2
2
l
l
Po dodaniu poszczególnych składowych pracy zgodnie ze wzorami
,
i
otrzymuje się
2
ENds Md Tds Md
θ
s
p
=Δ+Δ+ + Δ
∫ ∫ ∫ ∫
ϕ γ
(6.16)
l
l
l
l
gdzie zgodnie z rysunkami 6.4, 6.5 i 6.6 w wyniku działania sił wewnętrznych
wycinek pręta o długości doznaje deformacji, które można zapisać odpo-
wiednio:
ds
Δ=
M
d
EI
ds
,
(6.17)
Δ=
N
ds
EA
ds
,
(6.18)
γ κ
ds
=
T
ds
,
(6.19)
GA
Δ=
s
s
d
M
ds
.
(6.20)
GI
Podstawienie zależności
-
do
prowadzi do podanego wcze-
śniej wzoru
N M T
2
2
2
M
2
2 2
E L
== + + +
∫ ∫ ∫ ∫
ds
ds
κ
ds
s
ds
.
(6.21)
p
w
EA EI
GA GI
l
l
l
l
s
http://www.okno.pg.gda.pl
– 30 –
jasina@pg.gda.pl