Wykład
Marek Krzysztof Jasina
11. Stopień statycznej niewyznaczalności
Układ geometrycznie zmienny wykazuje duże (dowolne) przemieszczenia przy pewnym
dowolnie małym obciążeniu:
a) mechanizm,
...
Rys. 11.1
b) chwilowa geometryczna zmienność.
...
Rys. 11.2
11.1. Warunek geometrycznej niezmienności układu
Dzielimy układ myślowo na tarcze sztywne - otwarte ciągi sztywno-połączonych
elementów.
Oznaczenia:
r
- liczba (suma) reakcji zewnętrznych i wewnętrznych (między-
elementowych) układu podzielonego myślowo na części zwane tarczami
sztywnymi. – ciąg „otwartych” sztywno-połączonych elementów,
e
- liczba dostępnych równań równowagi.
http://www.okno.pg.gda.pl
– 45 –
mjasina@pg.gda.pl
Mechanika Budowli (C16)
Wykład
Marek Krzysztof Jasina
Statyczna niewyznaczalność:
re
- gdy układ jest statycznie niewyznaczalny,
re
- gdy układ jest statycznie wyznaczalny,
re
- gdy układ jest kinematycznie zmienny.
11.2. Ramy płaskie.
Dla każdej tarczy możemy zapisać trzy równania równowagi:
∑
∑
∑
P
P
=
=
0,
0,
iy
(11.1)
M
io
=
0.
Stopień statycznej niewyznaczalności płaskiego układu ramowego można wyznaczyć ze
wzoru
nrer t
3
,
(11.2)
gdzie oznacza liczbę tarcz.
t
11.3. Kratownice płaskie.
W każdym węźle kratownicy możemy zapisać dwa równania równowagi
∑
∑
P
P
=
=
0,
0.
(11.3)
iy
Stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy płaskiej można wyznaczyć ze wzoru
nl r
w
2
,
(11.4)
gdzie oznacza liczbę prętów, liczbę reakcji a jest liczbą węzłów kratownicy.
l
r
l
http://www.okno.pg.gda.pl
– 46 –
mjasina@pg.gda.pl
ix
=−=−
ix
=+−
e
w
Mechanika Budowli (C16)
Wykład
Marek Krzysztof Jasina
12. Metoda sił
Metodę sił zapoczątkowały prace
J.C. Maxwella
[1864] i
O. Mohra
[1875] dotyczące
obliczeń statycznie niewyznaczalnych kratownic mostowych.
U podstaw metody sił leży znany z mechaniki ogólnej
aksjomat więzów
, który
mówi, że:
Jeśli układ jest w równowadze, to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go
reakcją tego więzu nie zmienia stanu równowagi ciała.
Statycznie niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej
niewyznaczalności 0 możemy przekształcić przez odrzucen
n
więzów
(zewnętrznych lub wewnętrznych) i zastąpieniem ich nieznanymi reakcjami
n
>
ie
X
i
( , , , )
=
…
n
.
W wyniku tego zabiegu otrzymujemy układ statycznie wyznaczalny (pozbawiony
pewnych więzów), nazywany dalej
układem podstawowym metody sił
– (
UPMS
),
który aby odpowiadał układowi wyjściowemu obciążony być musi (oprócz obciążenia
zewnętrznego) dodatkowymi siłami
n
X
zwanymi
nadliczbowymi
metody sił.
W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym mogą
pojawić się różne od zera przemieszczenia
δ ≠
i
0
odpowiednio w miejscu i na kierunku
odrzuconych więzów.
W układzie pierwotnym (wyjściowym), ze względu na istnienie więzów,
przemieszczenia te nie występują (równe są zeru)
δ =
0
X
są niewiadomymi
metody sił.
Niewiadome te można wyznaczyć z warunków zgodności przemieszczeń układów
pierwotnego - statycznie niewyznaczalnego oraz statycznie wyznaczalnego (UPMS),
przy założeniu, że układ podstawowy poddany jest łącznemu działaniu danych obciążeń
zewnętrznych oraz sił nadliczbowych
X
.
Siły nadliczbowe zwane są czasem wielkościami
hiperestatycznymi
.
http://www.okno.pg.gda.pl
– 47 –
mjasina@pg.gda.pl
i
i
.
Otrzymane w powyższy sposób niewiadome nadliczbowe siły
Mechanika Budowli (C16)
Wykład
Marek Krzysztof Jasina
Warunki zgodności przemieszczeń można zapisać w poniższej postaci
δ
i
(, , , , )0
1
2
…
, (, , , )
X p
n
=
i
=
…
,
n
(12.1)
gdzie - oznacza wpływ danego obciążenia zewnętrznego.
p
Przedstawiona powyżej idea metody sił oddaje jej nazwę bowiem niewiadomymi
metody są właśnie siły reakcji w pewnych usuniętych więzach wewnętrznych bądź
zewnętrznych, które odrzucono tworząc statycznie wyznaczalny układ podstawowy
metody sił.
Poniżej omówimy szczegółowy opis metody sił i zapiszemy jej algorytm.
Przemieszczenia δ
i
, które wyznaczane będą celem zapisania warunku zgodności
przemieszczeń obliczane będą przy zastosowaniu twierdzenia o pracy wirtualnej z
uwzględnieniem jedynie wpływu zginania.
Zgodnie ze wzorem
Maxwella-Mohra
poszukiwane sumaryczne przemieszczenie
δ
i
ze wzoru
otrzymujemy stosując zależność
δδδ δδ
i
=++++=
1
i
2
…
in
ip
=
∫ ∫
MM
i
1
ds
+
MM
i
2
ds
+ +
∫
MM
n
ds
+
∫
MM
p
ds
=
(12.2)
EI
EI
EI
EI
=Σ
∫
MM
ds
EI
gdzie symbol oznacza sumowanie po 1,
Σ
2 , ,
n
…
p
oraz czyli od obciążeń
X X
, , ,
2
…
oraz .
X
n
p
http://www.okno.pg.gda.pl
– 48 –
mjasina@pg.gda.pl
XX
i
i
…
i
1
Mechanika Budowli (C16)
Wykład
Marek Krzysztof Jasina
Przedmiotem rozważań będzie rama
rzedstawiona na rysunku 12.1.
Rys. 12.1 Układ wyjściowy
n
) jest przyjęcie układu podstawowego
metody sił (
UPMS
), który otrzymujemy przez odrzucenie więzów (zob. rys 12.2) w tym
przypadku zarówno więzu wew
zypa =
dku
2
nętr
znego (1) jak i zew rzn
nęt ego (2) .
UPMS
utworzono poprzez odrzucenie więzów równoznaczne z wstawieniem
przegubów w węzła (1
ch ) i
(
B
).
Na rysunku 12.2 zaznaczono wielkości nadliczbowe:
reakcję wewnętrzną w węźle (1) - moment zginający w przekroju (1) -
X
;
reakcję podporową w węźle
()
B
- moment podporowy w węźle ( -
B
)
X
.
Warunek równoważności układu wyjściowego i podstawowego czyli warunek
zgodności
wymaga, by w tym drugim, każde z przemieszczeń uogólnionych δ
i
wywołane łącznym działaniem obciążenia zewnętrznego oraz siły
p
X
i
X
było
równe zeru
δ δδδ
i
= ++=
1
2
0
(porównać ze wzorem
.
Należy zauważyć, że obciążeniem wirtualnym od którego należy wyznaczyć wykres
momentów uwzględniony we wzorze
są siły
X
1
=
1
,
X
2
=
1
.
1
Zaczerpnięto z
Mechanika Budowli – ujęcie komputerowe, Tom 1,
Arkady, 1991.
http://www.okno.pg.gda.pl
– 49 –
mjasina@pg.gda.pl
Pierwszym krokiem rozwiązania układu, po określeniu stopnia statycznej
niewyznaczalności (w tym pr
ip
i
i