Piotr Iwicki
Wykład nr 10.
10.
Obliczanie przemieszczeń w układach statycznie
niewyznaczalnych. Twierdzenie redukcyjne.
10.1.
Wyprowadzenie twierdzenia redukcyjnego dla układów z
obciążeniem czynnym.
Do wyznaczania przemieszczeń w konstrukcjach możemy zastosować
wzór Maxwella-Mohra. Obliczanie przemieszczeń polega na:
•
rozwiązaniu danego układu (może to być dowolny układ statycznie
niewyznaczalny lub statycznie wyznaczalny) od obciążenia
zewnętrznego,
•
rozwiązaniu danego układu od obciążenia jednostkowego – wirtualnego
w kierunku szukanego przemieszczenia,
•
scałkowania wykresów wg poniższego wzoru (uwzględniono tylko
wpływ m
om
entów zginających):
δ
=
∫
M
×
M
=
EJ
(
) (
)
ds
∫
M
0
+
M
1
X
1
+
M
2
X
2
+
M
3
X
3
×
M
0
+
M
1
X
1
+
M
2
X
2
+
M
3
X
3
EJ
w liczniku funkcji podcałkowej powyższego wzoru rozpisano, zgodnie z
procedurą metody sił, zależności na momenty zginające w danym układzie
od obciążenia zewnętrz
neg
o
M
i momenty zginające w tym układzie od
obciążenia wirtualnego
M
.
P
Szukamy:
δ=?
1
q
W przypadku ogólnym oba wykresy należy wyznaczyć w układzie
statycznie niewyznaczalnym.
http://www.okno.pg.gda.pl
wykład 10/1
piwicki@pg.gda.pl
Mechanika Budowli (C16)
Piotr Iwicki
Po wymnożeniu składników występujących w liczniku powyższej
zależności otrzymamy:
=
M
0
+
M
0
M
1
X
1
+
M
1
X
1
M
1
X
1
+
M
2
X
2
M
1
X
1
+
M
3
X
3
M
1
X
1
+
M
0
M
2
X
2
+
M
1
X
1
M
2
X
2
+
M
2
X
2
M
2
X
2
+
M
3
X
3
M
2
X
2
+
M
0
M
3
X
3
+
M
1
X
1
M
3
X
3
+
M
2
X
2
M
3
X
3
+
M
3
X
3
M
3
X
3
Po wyciągnięciu przed nawias nadliczbowych układu z obciążeniem
wirtualnym mamy:
licznik
=
M
0
+
(
M
0
M
1
+
M
1
X
1
M
1
+
M
2
X
2
M
1
+
M
3
X
3
M
1
)
X
1
+
(
M
0
M
2
+
M
1
X
1
M
2
+
M
2
X
2
M
2
+
M
3
X
3
M
2
)
X
2
+
(
M
0
M
3
+
M
1
X
1
M
3
+
M
2
X
2
M
3
+
M
3
X
3
M
3
)
X
3
Zarówno w rozwiązaniu układu od obciążenia zewnętrznego jak i
wirtual
ne
go możemy zastosować taki sam układ podstawowy a więc
M
=
. Licznik powyższej zależności możemy przekształcić
wprowadzając definicje przemieszczeń
i
M
i
i
δ
znane z rozwiązywania układów
za pomocą metody sił:
licznik
=
M
0
+
(
δ
10
+
δ
11
X
1
+
δ
12
X
2
+
δ
13
X
3
)
X
1
+
(
δ
20
+
δ
21
X
1
+
δ
22
X
2
+
δ
23
X
3
)
X
2
+
(
δ
30
+
δ
31
X
1
+
δ
32
X
2
+
δ
33
X
3
)
X
3
Wykorzystując zależności opisujące zgodności przemieszczeń w
kierunkach wprowadzonych w układzie podstawowym nadliczbowych:
δ
10
+
δ
11
X
1
+
δ
12
X
2
+
δ
13
X
3
=
0
δ
20
+
δ
21
X
1
+
δ
22
X
2
+
δ
23
X
3
=
0
δ
30
+
δ
31
X
1
+
δ
32
X
2
+
δ
33
X
3
=
0
http://www.okno.pg.gda.pl
wykład 10/2
piwicki@pg.gda.pl
licznik
Mechanika Budowli (C16)
Piotr Iwicki
Licznik wzoru Maxwella – Mohra przyjmuje postać:
licznik
=
M
0
Uwzględniając powyższą zależność można sformułować
Twierdzenie redukcyjne.
δ
=
∫
M
×
M
ds
=
∫
M
×
M
0
ds
=
∫
M
0
×
M
ds
EJ
EJ
EJ
Twierdzenie redukcyjne pozwala na uproszczenie sposobu obliczania
przemieszczeń w układzie statycznie niewyznaczalnym na podstawie
wzoru Maxwella Mohra. Możemy jeden z wykresów momentów
zginających występujących we wzorze Maxwella Mohra wyznaczyć w
dowolnym układzie podstawowym metody sił. W powyższej zależności
indeks „0” oznacza, że dany moment zginający został wyznaczony dla
układu podstawowego metody sił.
I twierdzenie redukcyjne: siłę wirtualną przykładamy w UPMS:
q
P
Szukamy:
δ=?
1
obliczamy wykres M
obliczamy wykres M
0
II twierdzenie redukcyjne: obciążenie zewnętrzne przykładamy w UPMS:
P
1
q
obliczamy wykres M
0
obliczamy wykres M
http://www.okno.pg.gda.pl
wykład 10/3
piwicki@pg.gda.pl
Mechanika Budowli (C16)
Piotr Iwicki
10.2.
Twierdzenie redukcyjne w układach obciążonych termicznie
lub przemieszczeniami podpór.
Układy obciążone termicznie.
Gdy obciążenie wirtualne przyłożymy do układu podstawowego to
przemieszczenia wyznaczymy wg wzoru:
δ
=
∫
M
α
Δ
t
ds
+
∫
N
α
t
ds
+
∫
(
M
0
M
t
+
N
0
N
t
)
ds
0
h
0
0
EJ
EA
Ponieważ obciążenie termiczne działa w układzie statycznie
niewyznaczalnym powstają siły wewnętrzne
Mt
i
Nt
wywołane działaniem
temperatury.
Jeżeli obciążenie wirtualne przyłożymy do układu statycznie
niewyznaczalnego a obciążenia termiczne do układu podstawowego to
twierdzenie redukcyjne przyjmie postać:
δ
=
∫
M
α
Δ
t
ds
+
∫
N
α
t
ds
h
W tym przypadku nie występują składniki
M
0t
i
N
0t
gdyż w układzie
statycznie wyznaczalnym obciążenie termiczne nie wywołuje sił
wewnętrznych (układ ma swobodę odkształceń).
http://www.okno.pg.gda.pl
wykład 10/4
piwicki@pg.gda.pl
Mechanika Budowli (C16)
Piotr Iwicki
Układy obciążone przemieszczeniami podpór.
W przypadku gdy obciążenie wirtualne przyłożymy do układu
podstawowego to przemieszczenia układu obciążonego osiadaniem podpór
wyznaczymy wg wzoru:
δ
=
−
∑
n
R
Δ
+
∫
(
M
0
M
Δ
+
N
0
N
Δ
)
ds
0
EJ
EA
i
=
1
M
,
.
Jeżeli obciążenie wirtualne przyłożymy do układu statycznie
niewyznaczalnego a obciążenia przemieszczeniem podpór do układu
podstawowego to twierdzenie redukcyjne przyjmie postać:
Δ
N
Δ
δ
=
−
∑
n
R
Δ
=
1
Wynika to stąd, że w układzie podstawowym obciążonym wymuszeniami
kinematycznymi - przemieszczeniami podpór nie powstają siły
wewnętrzne:
M
0
Δ 0
,
N
Δ
.
10.3.
Zastosowanie twierdzenia redukcyjnego do kontroli obliczeń
statycznych
Za pomocą twierdzenia redukcyjnego możemy dokonać sprawdzenia
istniejącego rozwiązania układu.
Na przykład kontrola poprawność danego wykresu momentów zginających
może polegać na wyznaczeniu pewnego zerowego przemieszczenia tego
układu. Przyjęcie układu podstawowego i obliczanie przemieszczenie
powinno być takie aby wykresy momentów zginających a co za tym idzie
całkowanie graficzne było jak najprostsze.
http://www.okno.pg.gda.pl
wykład 10/5
piwicki@pg.gda.pl
W układzie statycznie niewyznaczalnym pod wpływem osiadania podpór
występują siły wewnętrzne:
i