Wykład 10
Przykład
W przestrzeni euklidesowej rzeczywistej Rn rzeczywistych ciągów n-wyrazowych okreś-
amy działania
Σ (x1,x2,…xn)+(y1,y2,..y n)=(x1+y1,x2+y2,... ,xn+yn) ,
α(x1,x2,..,xn)=(αx1,αx2,..,αxn)
gdzie x1,y1εIR, n=1,2,..n ,α€IR .
Wtedy (Rn,R) jest rzeczywistą przestrzenną miarą. Wektorem zerowym w tej przestrzenii jest wektor (0,0p).Przestrzeń liniową (Rn,R) będziemy oznaczać przez n wyraz Rn
Analogicznie określamy zespoloną przestrzeń liniową Cn=(Cn,C).
Niech będą dane przestrzenie liniowe
(X,K),(Y,K) oraz odwzorowanie:
T:XàY spełniające aksjomaty
a) T(x+y)=T(x)+T(y) –addytywność
x,y€X
b) T(αx)=αT(x) – jednorodność
α€K x€X
Wtedy T nazywamy odwzorowaniem liniowym.
Przykład
Odwzorowanie T:R3àR2 dane wzorem :
T(x1,x2,x3)=(x1,x2+x3) jest liniowe gdyż :
Dla dowolnych wektorów x=(x1,x2,x3),
y=(y1,y2,y3) oraz dla dowolnego α € IR mamy
T(x+y)=T(x1+y1,x2+y2,x3+y3)=(x1+y1,x2+y2+x3+y3)=(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=T(x)+T(y),
T(α*x)=T(α(x1,x2,x3))=T(αx1,αx2*x3)=(αx1,α(x2+x3))=α(x1,x2+x3)=α*T(x)
Niech (X,K) będzie przestrzenią liniową oraz niech T: XàX będzie odwzorowaniem liniowym.
Def: Wektorem własnym odwzorowania T nazywamy niezerowy wektor x€X (tzn.x€X\{0}) spełniający równanie T(x)=λ*x dla pewnych λ€K. Liczbę lambda spełniające powyższe równanie przy ustalonym wektorze x≠0 nazywamy wówczas wartością własną odwzorowania T.
Mówimy wtedy ze wektor własny x odpowiada wartości własnej λ
Zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie 4
Niech K oznacza ciało liczb rzeczywistych liczb zespolonych oraz T:KnàKm niech będzie odwzorowaniem liniowym.
Istnieje macierz A=Am*n elementach z K taką,że (׃) T(x)=A*x
x€Kn
Na odwrót każde odwzorowanie T : KnàKm dane wzorem (׃) jest liniowe.
Macierz A we wzorze (׃) nazywamy macierzą odwzorowaną liniowego T.
W przypadku odwzorowania liniowego T:KnàKm równanie T(x)=α*x jest na mocy powyższego twierdzenia równoważne równaniu A*x=λ*x lub (.:) (A-λ I)*x=0, gdzie A jest macierzą odwzorowania T, a I macierzą jednostkową.
Jeżeli to
Równanie (:.) posiada rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy gdy:
(::) det(A-λI)=0
Wielomian det(A-λI) zmiennej λ nazywamy wielomianem charakterystycznym odwzorowania T lub macierzy A.
W równaniu (::)det(A-λI)=0 nazywamy równaniem charakterystycznym odwzorowania T lub macierzy A.
Pierwiastki równania (::) to tzw. wartości własne odwzorowania T.
Uwagi:
1) W przypadku odwzorowania T:KnàKm równanie charakterystycznie może nie posiadać pierwiastków rzeczywistych, zatem odwzorowanie to może nie mieć wektorów własnych.
2) W przypadku odwzorowania T:CnàCn równanie charakterystyczne posiada zawsze rozwiązanie a więc odwzorowanie T posiada co najmniej jeden wektor własny.
Przykład:
Dane jest odwzorowanie T:R2àR2zaprezentowane przez macierz:
Równanie charakterystyczne ma postać |
det(A-λI)= = λ2 -5λ+4-0
λ1=1, λ2=4
Szukamy wektora własnego x€R2,który odpowiada wartości własnej λ1=1.
{x€R2 : (A-λ1I)*x =0} = {(x1,x2)€R2\(0,0)}
: }
={(x1,x2)€R2\{(0,0)}:x1+2x2=0}= {(-2x2,x2):x2€R\{0}} (x1=-2x2)
Zatem każdy wektor (-2α,α), α€R\{0}, odpowiada wartości własnej λ1=1. Podobnie pokazujemy ,że każdy wektor postaci (β,β) , β€R\{0} jest wektorem własnym odwzorowania T odpowiadającym wartości własnej λ1=4.
Iloczyn wektorowy wektorów
W przestrzeni w której dany jest układ prostokątnych 0xyz rozróżnia się dwa rodzaje układów zorientowanych:
-układ prawoskrętny
-układ lewoskrętny
Wyróżniamy i ustalamy jedną z dwóch możliwych orientacji wektorów w przestrzeni 0xyz. Nazwijmy ją orientacją dodatnią
Definicja
Iloczynem wektorowym wektorów niezerowych i nie uwspólnionych nazywamy wektor taki, że:
1)
2) trójka uporządkowana ma orientację dodatnią
3)
Iloczyn wektorowym dwóch wektorów uspólnionych jest równy wektorowi .
Własności iloczynu wektorowego:
a)
b)
c) jeżeli
d) jeżli
to
e) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach jest równe
Rachunek całkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
1)Funkcje pierwotne
Definicja
Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji rzeczywistej f, określonej na przedziale (logarytmicznym lub nie) X,
i przyjmującej wartości rzeczywiste, jeżeli
Jeżeli f jest określona na przedziale domkniętym <a,b> to F nazywamy funkcją pierwotną f jeżeli
oraz ,
Niech C1 oznacza dowolną stałą. Jeżeli F jest funkcją pierwotną f, to ponieważ (F(x)+C1)’=F’(x)=f(x), więc G(x)=F(x)+C1 jest też funkcją pierwotną funkcji f.