WYKŁAD 2
2.3. Parcie na ściankę zakrzywioną
Parciem cieczy na dowolną zakrzywiona powierzchnie jest geometryczna suma par elementarnych. Obliczenie tego parcia polega na wyznaczeniu jego składowych, jako rzutów na osie przyjętego układu współrzędnych.
Rys. 8. Elementarne parcie wody
Na ściankę działa ciśnienie zewnętrzne p0 (ponad lustrem cieczy) oraz ciśnienie hydrostatyczne
Parcie elementarne na element powierzchni dA rozpatrywanej ścianki wynosi
Jeżeli kąt nachylenia parcia elementarnego względem pionu jest równy a, to składowe parcia elementarnego wyniosą
Rys. 9. wykres ciśnień składowych na ściankę zakrzywioną
gdzie dAx oraz dAy rzuty powierzchni elementarnej dA na powierzchnię pionową (prostopadłą do osi x) i powierzchnię poziomą (prostopadłą do osi y) a dPx i dPy - składowe pozioma i pionowa parć elementarnych (ciśnień składowych).
(16)
Równania (16) wykazują, że składowe parcia na ściankę zakrzywioną można wyliczyć jako objętość wykresów ciśnień składowych.
Moduł wypadkowej parcia wylicza się z zależności:
(17a)
Rys. 10. Przykład parcia na ściankę zakrzywioną
natomiast kierunek działania siły parcia P określa kąt nachylenia wypadkowej do pionu obliczamy z zależności: (17b)
2.4. Wypór. Prawo Archimedesa
Rys. 11. Wypór na ciało całkowicie zanurzone
Na ciało całkowicie zanurzone w cieczy działa ciśnienie cieczy na całej powierzchni tego ciała, przy czym wartość ciśnienia zależy od zagłębienia danego punktu poniżej swobodnego zwierciadła wody.
Na rys.11 pokazano wykresy składowych ciśnień z których wynika że składowe poziome wzajemnie się redukują stąd sumaryczna składowa pozioma wynosi 0.
Sumując składową pionową działając na górną powierzchnię zanurzonego ciała i składową przeciwnie skierowaną, działając na dolną powierzchnię otrzymujemy w wyniku
(18)
gdzie W jest wypadkową parcia, pionowo skierowaną w górę, zwaną wyporem; V - jest objętością zanurzonej bryły równą wypartej cieczy objętości wypartej cieczy, r - gęstość cieczy.
Wyrażenie to znane jest jako prawo Archimedesa, które brzmi:
ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na wadze tyle, ile waży wyparta przez nie ciecz, czyli
(19)
2.5. Równowaga ciał zanurzonych
Na dowolne całkowicie zanurzone w cieczy ciało działają dwie przeciwnie skierowane siły: ciężar ciała G, zaczepiony w środku ciężkości SG i wypór W, który zaczepiony jest w środku ciężkości zanurzonego ciała SW, zwanego środkiem wyporu. Między tymi siłami mogą zachodzić zależności
ð gdy G = W, ciało pozostaje w zanurzeniu, nie zmieniając głębokości swego położenia,
ð gdy G > W, ciało tonie opadając na dno,
ð gdy G < W, ciało wynurza się częściowo z wody i przyjmuje takie położenie, przy którym wypór części zanurzonej zrównoważy się z ciężarem całego ciała.
Ciało zanurzone w cieczy może znajdować się w zależności od wzajemnego położenia względem siebie środka ciężkości SG i środka wyporu SW w stanie równowagi stałej, chwiejnej lub obojętnej.
Rys. 12. Równowaga trwała, chwiejna i obojętna
Równowaga stała (trwała) występuje wówczas, gdy środek ciężkości SG leży poniżej środka wyporu SW, na jednej prostej. Niewielkie wychylenie ciała z tego położenia powoduje jego obrót i powrót do położenia pierwotnego, na skutek powstającego momentu sił. Jeżeli SG leży powyżej SW, powstaje stan równowagi chwiejnej, natomiast gdy Sw i SG leżą w tym samym punkcie, w stanie równowagi obojętnej.
2.6. Równowaga ciał pływających (częściowo zanurzonych)
Rys. 13. Ciało częściowo zanurzone
Ciało pływające, częściowo zanurzone w cieczy pozostaje pod działaniem dwóch sił: siły wyporu W i siły wynikającej z ciężaru własnego G. Warunki równowagi ciała pływającego są odmienne niż warunki dla ciała zanurzonego, np. ciało pływające może pozostać w stanie równowagi wówczas, gdy SG leży powyżej SW. Równowaga trwała zachodzi wówczas, gdy ciało wychylone pod wpływem chwilowej siły zewnętrznej powróci do pierwotnego stanu równowagi.
Dla ciał pływających, ze względu na ich stateczność, najbardziej niebezpieczne są obroty względem osi poziomej. Na rysunku przedstawiono zarys przekroju poprzecznego statku wychylonego z położenia równowagi, poprzez obrót o mały kąt j, względem podłużnej osi y przechodzącej przez punkt O prostopadle do płaszczyzny rysunku. W stanie równowagi siły W i G zaczepione w punktach odpowiednio SW i SG działały pionowo wzdłuż osi pływania, natomiast zwierciadło wody leży w płaszczyźnie xy. Wskutek obrotu wynurza się z wody klin OBB', zanurza się zaś OCC'. Objętości obu klinów są sobie równe. Wartość wyporu nie zmienia się, natomiast środek wyporu zmieni swoje położenie i przesunie się do punktu SW'. Środek ciężkości nie zmieni swojego położenia. Wypór W = W' działając ze środka wyporu SW' przetnie oś pływania w punkcie M, nazywanym metacentrum. Odcinek między punktami M i SW nazywamy wysokością metacentryczną (m), natomiast odcinek między środkiem ciężkości i środkiem wyporu w stanie równowagi wynosi a.
Wysokość metacentryczna jest miarą stateczności obiektu pływającego i można j obliczy ze wzoru
(20)
gdzie: J - moment bezwładności pola pływania względem osi obrotu, Vz – objętość części zanurzonej. Gdy m > 0 statek mimo wychylenia, pod wpływem działania siły wyporu powróci do poprzedniego położenia czyli zachowa stateczność.
3. HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika zajmuje się badaniem zjawisk zachodzących w cieczy podczas ruchu. Wyniki badań tych zjawisk ujęte w postaci równań matematycznych i wzorów doświadczalnych informują nas o przyczynach ruchu i zależnościach zachodzących między jego elementami.
3.1. Wielkości hydrodynamiczne
Wielkości charakteryzujące właściwości cieczy, takie jak gęstość r, lepkość µ także wielkości charakteryzujące stan i ruch cieczy, takie jak ciśnienie p i prędkość cieczy v nazywamy parametrami hydrodynamicznymi. Wielkości te mogą się zmieniać w zależności od położenia w przestrzeni i mogą być zmienne w czasie. Inaczej mówiąc wielkości te opisane są funkcją położenia i czasu czyli f(x, y, z, t). Ruch, w którym wielkości hydrodynamiczne nie zmieniają się w czasie a zależę jedynie od położenia, czyli opisane są funkcją f(x, y, z) nazywamy ruchem ustalonym (trwałym).
Rys. 14. Linie prądu
Tor cząsteczki (elementu płynu) - linia, którą zakreśla cząsteczka poruszając się w przestrzeni i w czasie
Linia prądu - wektory prędkości wszystkich cząsteczek położonych na linii prądu są w danej chwili do tej linii styczne. Linie prądu nie mogą się krzyżować.
Strugą cieczy - nazywamy zbiór linii prądu przechodzących prostopadle przez wszystkie punkty elementy pola dA. Linie prądu przechodzące przez kontur pola dA tworzą rurkę prądu.
Rys. 15. Struga cieczy
Strumień cieczy jest pojęciem określającym wszystkie strugi cieczy przechodzące przez dowolnie wyodrębnioną powierzchni przekroju poprzecznego A cieczy, prostopadłą do wszystkich linii prądu.
Przekrój poprzeczny strugi, strumienia A - pole powierzchni prostopadłej do wektorów prędkości.
Wydatkiem (natężeniem przepływu) nazywamy objętość cieczy przechodzącej przez przekrój czynny w jednostce czasu.
Rys. 16. Rozkład prędkości w pionie kanału otwartego
Prędkość średnia
3.2. Równanie ciągłości dla strumienia cieczy
u - prostopadła do dA
1. Boczne ścianki AB są ograniczone liniami strug - nie przepływa przez nie ciecz.
2. Ciecz jest nie ściśliwa r = const.
3. Strumień jest ciągły - cała przestrzeń wypełniona cieczą, stąd
3.3. Równanie Bernoulli'ego
Wyodrębniana elementarna objętość cieczy dV o gęstości r...