ALGEBRA WYKŁAD 2
Struktury algebraiczne
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
JacekJ¦drzejewski ALGEBRAWYKŁAD2Strukturyalgebraiczne
Wiadomo±ciwst¦pne
Grupy
Pier±cienie
Ciała
Wielomiany
I
Je±li
(
G
,
·
)
jestgrup¡,to
I
a
−
1
−
1
=
a
(1)
8
a
2
G
,
I
ab
−
1
=
b
−
1
a
−
1
(2)
8
a
2
G
8
b
2
G
,
I
ab
=
ac
=
)
b
=
c
(3)
8
a
2
G
8
b
2
G
8
c
2
G
,
I
(4)
8
a
2
G
8
b
2
G
8
c
2
G
ba
=
ca
=
)
b
=
c
,
I
.
(5)
8
a
2
G
8
b
2
G
9
x
2
G
9
y
2
G
ax
=
b
^
ya
=
b
JacekJ¦drzejewski ALGEBRAWYKŁAD2Strukturyalgebraiczne
Wiadomo±ciwst¦pne
Grupy
Pier±cienie
Ciała
Wielomiany
I
Dowód.Warunek(1)wynikabezpo±redniozdefinicji
elementuodwrotnego.
I
Ad.(2).Niech
a
i
b
b¦d¡dowolnymielementamigrupy
G
.
I
Wtedy
(
ab
)
·
b
−
1
·
a
−
1
=
a
·
b
·
b
−
1
·
a
−
1
=
=
a
·
bb
−
1
·
a
−
1
==
a
ea
−
1
=
aa
−
1
=
e
,
I
codowodziwarunku(2).
JacekJ¦drzejewski ALGEBRAWYKŁAD2Strukturyalgebraiczne
Wiadomo±ciwst¦pne
Grupy
Pier±cienie
Ciała
Wielomiany
I
Ad.(3).
I
Niechteraz
a
,
b
oraz
c
b¦d¡dowolnymielementamigrupy
G
.
I
Je±li
ab
=
ac
,torównie»
I
a
−
1
·
(
ab
) =
a
−
1
·
(
ac
)
,
I
wi¦c
a
−
1
·
a
·
b
=
a
−
1
·
a
·
c
,
I
zatem
eb
=
ec
,
czyli
b
=
c
.
JacekJ¦drzejewski ALGEBRAWYKŁAD2Strukturyalgebraiczne
Wiadomo±ciwst¦pne
Grupy
Pier±cienie
Ciała
Wielomiany
I
Dowódwarunku(4)jestanalogiczny.
I
Ad.(5).Niech
a
i
b
b¦d¡dowolnymielementamitejgrupy.
I
Wtedyelement
a
−
1
·
b
jestelementemgrupy
G
i
I
aa
−
1
·
b
=
eb
=
b
,
a
−
1
·
b
=
I
cooznacza,»eelement
a
−
1
·
b
jestrozwi¡zaniemrównania
ax
=
b
.
JacekJ¦drzejewski ALGEBRAWYKŁAD2Strukturyalgebraiczne
a
·