Rz¡d macierzy
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
Spis tre±ci
1 Baza i rz¡d układu wektorów
2
2 Rz¡d macierzy
7
3 Twierdzenie Kroneckera-Capellego
12
1
1 Baza i rz¡d układu wektorów
Definicja 1
Niech
S
b¦dziedowolnymsko«czonymukłademwektorówzprze-
strzeni
V
.Baz¡tegoukładunazywamypodukład
(
u
1
,...,
u
r
)
wektorówna-
le»¡cychdo
S
taki,»e
wektory
u
1
,...,
u
r
s¡liniowoniezale»ne,
ka»dywektor
a
nale»¡cydoukładu
S
dajesi¦przedstawi¢wpostaci
a
=
r
X
j
u
j
,
j
=1
gdzie
1
,...,
r
s¡pewnymielementamiciała
K
.
Twierdzenie 1
Bazaukładuwektorów
a
1
,...,
a
m
jesttak»ebaz¡podprze-
strzeniliniowej
span(
a
1
,...,
a
m
)
.
Definicja 2
Liczb¦wektorówbazyukładuwektorów
S
nazywamyrz¦demtego
układu.
Je±li
S
=(
a
1
,...,
a
m
),torz¡dtenb¦dziemyoznaczalisymbolemrz(
a
1
,...,
a
m
)
lubrank(
a
1
,...,
a
m
)lubrz(
S
)lubrank(
S
).
Je±liwszystkiewektoryukładu
S
s¡zerowe,toprzyjmujemy,»erz¦dem
tegoukładujestzero,tzn.
rank(
S
)=0
.
Zpoprzedniegotwierdzeniamamywi¦c:
rank(
a
1
,...,
a
m
)=dim(span(
a
1
,...,
a
m
))
.
Definicja 3
Niech
S
b¦dzie(sko«czonym)układemwektorów.Operacjami
elementarnyminawektorachukładu
S
nazywamynast¦puj¡ceoperacje:
1.zmianakolejno±ciwektorówtegoukładu,
2.dodaniedojednegozwektorówtegoukładuinnegowektorapomno»onego
przezdowolnyelementciała
K
,
2
3.pomno»eniejednegozwektorówukładu
S
przezliczb¦zciała
K
,ró»n¡
odzera.
Twierdzenie 2
Niech
S
0
b¦dzieukładempowstałymzukładu
S
wwyniku
wykonaniasko«czonejliczbyoperacjielementarnych.Wtedy
span(
S
0
)=span(
S
)irank(
S
0
)=rank(
S
)
.
Dowód.Niech
S
b¦dzieukłademwektorów(
x
1
,
x
2
,
x
3
,...,
x
n
).
1
Niech
S
0
b¦dzieukładempowstałymzukładu
S
przezprzestawienie
dwóchwektorów.
Poniewa»dodawaniewektorówjestprzemienne,wi¦cka»dakombinacja
liniowawektorówukładu
S
jestjednocze±niekombinacj¡liniow¡układu
S
0
i
naodwrót.
Toznaczy
span(
S
0
)=span(
S
)
,
acozatymidzie
dim(span(
S
0
))=dim(span(
S
))
.
2
Przez
S
0
oznaczmyukładpowstałyzukładu
S
przezdodaniedowektora
x
1
wektora
x
2
pomno»onegoprzezskalar
,czyli
S
0
=(
x
1
+
x
2
,
x
2
,
x
3
,...,
x
n
)
.
Je±li
x
2
span(
S
)
,
toistniej¡liczby
1
,...,
n
zciała
K
takie,»e
x
=
1
x
1
+
2
x
2
+
3
x
3
+
...
+
n
x
n
.
Wtedy
x
=
1
(
x
1
+
x
2
)+(
2
−
1
)
x
2
+
3
x
3
+
...
+
n
x
n
,
cooznacza,»e
x
2
span(
S
0
)
.
Załó»myteraz,»e
x
2
span(
S
0
).
3
Wtedyistniej¡elementy
1
,
2
,...,
n
zciała
K
takie,»e
x
=
1
(
x
1
+
x
2
)+
2
x
2
+
3
x
3
+
...
+
n
x
n
,
czyli
x
=
1
x
1
+(
1
+
2
)
x
2
+
3
x
3
+
...
+
n
x
n
,
sk¡dwynika,»e
x
2
span(
S
)
.
Zpowy»szychrozwa»a«wynika,»e
span(
S
)=span(
S
0
)
,
ast¡dju»bezpo±redniownioskujemy,»erank(
S
0
)=rank(
S
)
.
3
Niech
S
0
=(
x
1
,
x
2
,
x
3
,...,
x
n
),gdzie
2
K
oraz
6
=0.
Poniewa»
1
x
1
+
2
(
x
2
)+
...
+
n
x
n
=
1
x
1
+(
2
)
x
2
+
...
+
n
x
n
oraz
1
x
1
+
2
x
2
+
3
x
3
+
...
+
n
x
n
=
=
1
x
1
+
2
·
−
1
·
(
x
2
)+
3
x
3
+
...
+
n
x
n
,
wi¦c
span(
S
0
)=span(
S
)
,
acozatymidzie
rank(
S
0
)=rank(
S
)
.
Ka»dapojedynczaoperacjaelementarnaniezmieniarz¦duukładuwek-
torów,zatemipodokonaniusko«czonejliczbytakichoperacjinaukładach
wektorówichrz¡dsi¦niezmienia.
Definicja 4
Układwektorów
a
1
,...,
a
r
wprzestrzeni
K
n
nadciałem
K
,ma-
j¡cychposta¢
a
1
=(0
,
0
,...,
1
,t
1
,...,
1
,t
2
,...,
1
,t
r
...,
1
,n
)
,
4
a
2
=(0
,
0
,...,
0
,...,
2
,t
2
,...,
2
,t
r
...,
2
,n
)
,
············
a
r
=(0
,
0
,...,
0
,...,
0
,...,
r,t
r
,...,
r,n
)
,
gdzie
1
¬
t
1
< t
2
<
···
< t
r
¬
ni
1
,t
1
6
=0
,
2
,t
2
6
=0
,...,
r,t
r
6
=0
,
nazywamyukłademschodkowym.
Twierdzenie 3
Schodkowyukładwektorówjestliniowoniezale»ny.
Przykład 1
Znale¹¢baz¦układuwektorów
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
i
a
5
,gdzie
a
1
=(1
,
1
,
−
1)
,
a
2
=(2
,
3
,
1)
,
a
3
=(
−
2
,
1
,
4)
,
a
4
=(1
,
2
,
2)
,
a
5
=(
−
1
,
2
,
0)
iprzedstawi¢ka»dyzwektorów,nienale»¡cychdotejbazy,wpostacikombi-
nacjiliniowejwektorówznalezionejbazy.
a
1
=[1, 1,
−
1]
a
2
=[2, 3, 1]
a
3
=[
−
2,1, 4]
!
a
4
=[1, 2, 2]
a
5
=[
−
1,2, 0]
a
1
=[1,1,
−
1]
a
2
−
2
a
1
=[0,1, 3]
a
3
+2
a
1
=[0,3, 2]
!
a
4
−
a
1
=[0,1, 3]
a
5
+
a
1
=[0,3,
−
1]
a
1
=[1,1,
−
1]
a
2
−
2
a
1
=[0,1, 3]
a
3
−
3
a
2
+8
a
1
=[0,0,
−
7]
!
a
4
−
a
2
+
a
1
=[0,0, 0]
a
5
−
3
a
2
+7
a
1
=[0,0,
−
10]
5