Pawel G. Walczak
Wydzial Matematyki, Uniwersytet Lodzki
Wste p
Niniejszy tekst zawiera notatki autora do wykladu przedmiotu Algebra liniowa z
geometria dla studentw pierwszego roku keirunku "matematyka" w Uniwersytecie
Lodzkim. Notatki maja charakter nieformalny, sa dalekie od doskonalosci, nie
pokrywaja w calosci materialu prezentowanego w sali wykladowej. Moga wiec
byc pomocne w nauce pod warunkiem krytyczznego ich czytania, porownywania
z notatkami wlasnymi i ksiazkami polecanymi przez wykladowce na poczatku roku
akademickiego. Wszelkie uwagi krytyczne pochodzace od Sluchaczy sa mile widziane
i moga posluzyc ulepszeniu ponizszych notatek. Autor zyczy wszystkim Sluchaczom
wykladu przyjemnosci ze studiowania matematyki i powodzenia na egzaminach.
Typeset byA
M
S-T
E
X
1
2
PAWEL G. WALCZAK
Rozdzial 1. Struktury algebraiczne
1. Dzialania. Dla dowolnego zbioru A dzialaniem wewnetrznym w A nazywamy
dowolna funkcje : A A ! A. Dzialanie takie nazywamy lacznym, gdy dla
dowolnych elementow a; b; c 2 A zachodzi rownosc
(1)
a (bc) = (ab) c:
Dzialanie to nazywamy przemiennym, gdy dla dowolnych a; b 2 A spelniony jest
warunek
(2)
ab = ba:
Element e zbioru A nazywamy lewostronnie (odpowiednio, prawostronnie) neutralnym,
jezeli dla dowolnego a 2 A zachodzi rownosc
(3)
e a = a (odpowiednio, ae = e):
Element e nazywamy neutralnym, gdy jest jednoczesnie lewostronnie i prawostronnie
neutralnym.
Jezeli dzialanie posiada element neutralny, a; b 2 A i spelniony jest warunek
(4)
ab = e (odpowiednio, ba = e);
to b nazywamy elementem prawostronnie (odpowiednio, lewostronnie) odwrotnym
do a. Element jednoczesnie prawo- i lewostronnie odwrotny nazywamy po prostu
odwrotnym lub (zwlaszcza przy addytywnym (+) oznaczeniu dzialania) przeciwnym.
Twierdzenie 1. Dla dowolnego dzialania w A istnieje w A co najwyzej jeden
element neutralny. Jezeli dzialanie jest laczne i element neutralny istnieje, to kazdy
element a 2 A posiada co najwyzej jeden element odwrotny.
Dowod. Przypuscmy, ze e
1
i e
2
sa dwoma elementami neutralnymi. Z warunku (3)
wynika od razu, ze
e
1
= e
1
e
2
= e
2
:
(Pierwsza rownosc wynika z lewostroonej neutralnosci e
1
, druga - z prawostronnej
neutralnosci e
2
.) Podobnie, jezeli b
1
i b
2
sa odwrotne do a, to
b
1
= b
1
e = b
1
(ab
2
) = (b
1
a) b
2
= e b
2
= b
2
:
Element odwrotny do a oznacza sie zwykle przez a
1
w przypadku symboliki
multiplikatywnej () lub przez a w przypadku symboliki addytywnej (+). Powyzsze
twierdzenie uzasadnia poprawnosc takiego oznaczenia dla dzialania lacznego.
Przyklady. Dodawanie i mnozenie sa przemiennymi i lacznymi dzialaniami we-
wnetrznymi w zbiorach liczb rzeczywistych R, liczb wymiernych Q, liczb calkowitych
Z i liczb naturalnych N. Ponadto dzialania te sa wykonalne w zbiorach liczb postaci
Typeset byA
M
S-T
E
X
WYKLADY ALGEBRY LINIOWEJ Z GEOMETRIA
3
p, gdzie a i b sa dowolnymi liczbami calkowitymi, a p - ustalona liczba
naturalna. Oczywiscie, liczba 0 jest elementem neutralnym dodawania, a liczba
1 elementem neutralnym mnozenia. Liczba a jest elementem przeciwnym do a
wzgledem dodawania, a liczba
p
1
a
(a 6= 0) elementem odwrotnym do a wzgledem
mnozenia.
Dla dowolnej liczby naturalnej q > 1 mozna okreslic w zbiorze Z
q
= f0; 1; : : : ; q
1g dzialania dodawania i mnozenia modulo q (oznaczone tak jak zwykle dodawanie
i mnozenie, ale istotnie od nich rozne) w nastepujacy sposob:
a + b = reszta z dzielenia sumy a + b przez q;
ab = reszta z dzielenia iloczynu ab przez q:
Dzialania te sa przemienne i laczne, a 0 i 1 sa ich elementami neutralnymi.
W zbiorze R
n
= R: : : R (n = 2; 3; : : : ) n- elementowych ciagow liczb rzeczywistych
mozna okreslic dodawanie + wzorem
(x
1
; : : : ; x
n
) + (y
1
; : : : ; y
n
) = (x
1
+ y
1
; : : : ; x
n
+ y
n
):
Jest ono laczne i przemienne, a ciag 0 = (0; : : : 0) jest jego elementem neutralnym.
Ciag liczb przeciwnych (x
1
; : : : ;x
n
) jest elementem przeciwnym do (x
1
; : : : ; x
n
).
Dla n = 2 elementy zbioru C = R
2
nazywamy liczbami zespolonymi. W zbiorze
C mozna okreslic mnozenie wzorem
(5)
(x
1
; y
1
) (x
2
; y
2
) = (x
1
x
2
y
1
y
2
; x
1
y
2
+ y
1
x
2
):
Tak okreslone dzialanie jest przemienne i laczne (sprawdzic !). Przy utozsamieniu
liczb rzeczywistych x z parami postaci (x; 0) liczba 1 = (1; 0) okazuje sie byc
elementem neutralnym mnozenia podobnie jak 0 = (0; 0) jest elementem neutralnym
dodawania liczb zespolonych. Liczba zespolona i = (0; 1) nazywana jest jednostka
urojona i spelnia warunek i
2
= i i = 1. Przy takim oznaczeniu kazda liczbe
zespolona z = (x; y) mozna zapisac w postaci sumy z = x + yi. W takiej sytuacji x
jest czescia rzeczywista, a y - czescia urojona liczby zespolonej z. Liczbe rzeczywista
jzj =
p
z
jzj
2
=
x
2
+ y
2
;
y
x
x
2
+ y
2
jest elementem odwrotnym do z wzgledem mnozenia.
Dla dowolnego zbioru A skladanie przeksztalcen jest lacznym ale na ogol
nieprzemiennym dzialaniem wewnetrznym w zbiorze wszystkich funkcji f : A !
A. Poniewaz zlozenie funkcji roznowartosciowych jest funkcja roznowartosciowa,
a zlozenie funkcji przeksztalcajacych A na A przeksztalca A na A, to dzialanie
to jest wykonalne w zbiorze S
A
wszystkich bijekcji zbioru A. Przeksztalcenie
tozsamosciowe id
A
(id
A
(x) = x dla kazdego x 2 A) jest elementem neutralnym
tego dzialania. Funkcja odwrotna f
1
jest elementem odwrotnym do bijekcji f .
Czytelnik bez trudu znajdzie przyklady przeksztalcen posiadajacych elementy lewo-
lub prawostronnie odwrotne, a nie posiadajacych elementu odwrotnego.
a + b
x
2
+ y
2
nazywa sie modulem liczby z. Dla dowolnego z = x + yi liczbe
z = x yi nazywamy sprzezona do z. Oczywiscie, z = z, jzj = jzj oraz z z = jzj
2
dla dowolnego z. Wynika stad, ze jesli z 6= 0, to liczba
4
PAWEL G. WALCZAK
W przypadku zbioru wyposazonego w dwa dzialania, powiedzmy + i , mozna
badac zwiazki miedzy nimi. Na przyklad, dzialanie nazywamy rozdzielnym wzgle-
dem dzialania +, gdy dla dowolnych argumentow a; b i c spelniony jest warunek
(6)
(a + b)c = ac + bc:
Mnozenie liczb (rzeczywistych, calkowitych, zespolonych itp.) jest rozdzielne wzgle-
dem ich dodawania. Podobnie, mnozenie modulo q jest rozdzielne wzgledem dodawania
modulo q dla dowolnego q.
Dla dowolnych dwu zbiorow P i A przeksztalcenie iloczynu kartezjanskiego PA
w A nazywa sie it dzialaniem zewnetrznym w A. Przykladem takiego dzialania moze
byc przeksztalcenie : R R
n
! R
n
dane wzorem
a (x
1
; : : : ; x
n
) = (ax
1
; : : : ; ax
n
):
2. Przeglad struktur algebraicznych. Przez strukture algebraiczna rozumiemy
uklad zlozony ze zbioru A i skonczonego zbioru dzialan (wewnetrznych lub zewnetrznych)
w A. Omowimy tu siedem podstawowych struktur algebraicznych.
Zbior wyposazony w jedno dzialanie laczne nazywamy polgrupa.
Polgrupe nazywamy grupa jezeli posiada element neutralny, a kazdy jej element
posiada element odwrotny. Jezeli dzialanie w grupie jest przemienne, to grupe
nazywamy przemienna lub abelowa.
Trojke (A; +;) zlozona ze zbioru A i dwu dzialan wewnetrznych, dodawania i
mnozenia, nazywamy pierscieniem jezeli para (A; +) stanowi grupe przemienna, a
mnozenie jest dzialaniem lacznym i rozdzielnym wzgledem dodawania. Pierscien A
nazywamy przemiennym, gdy przemienne jest mnozenie w A.
Cialem nazywamy pierscien przemienny z jednoscia (tj. z elementem neutralnym
mnozenia), w ktorym kazdy niezerowy (tj. rozny od elementu neutralnego dodawania)
element posiada element odwrotny wzgledem mnozenia.
Modulem nad pierscieniem F nazywamy uklad (A; +;), w ktorym para (A; +)
jest grupa przemienna, a : F A ! A jest dzialaniem zewnetrznym rozdzielnym
wzgledem dodawania w A (x(a+b) = xa+xb dla dowolnych a; b 2 A i dowolnego
x 2 F ) i wzgledem dodawania w F ((x + y)a = xa + ya dla dowolnych x; y 2 F
i dowolnegoa 2 A) oraz spelniajacym warunek
x (y a) = (xy)a
dla dowolnych x; y 2 F i a 2 A.
Modul nad cialem F nazywamy przestrzenia wektorowa, jezeli dla kazdego jego
elementu a zachodzi rownosc
1 a = a;
gdzie 1 jest jednoscia ciala F .
Wreszcie, algebra nazywamy przestrzen wektorowa wyposazona w jeszcze jedno
wewnetrzne dzialanie laczne, rozdzielne wzgledem dodawania i spelniajace warunek
a(xb) = (xa) b = x(ab)
dla dowolnych x 2 F i a; b 2 A.
WYKLADY ALGEBRY LINIOWEJ Z GEOMETRIA
5
Przyklady. Liczby calkowite (z dodawaniem i mnozeniem) tworza pierscien. Liczby
wymierne, rzeczywiste i zespolone tworza ciala. Liczby zespolone o module 1
oraz liczby wymierne lub rzeczywiste dodatnie z mnozeniem tworza grupy. Zbior
R
n
z dodawaniem i mnozeniem przez liczby rzeczywiste okreslonymi w paragrae
poprzednim tworzy przestrzen wektorowa nad cialem R. Podobnie okreslone dzialania
przeksztalcaja Q
n
i C
n
w przestrzenie wektorowe nad Q i C, odpowiednio. Dla
dowolnego q > 1 zbior Z
q
z dzialaniami wczesniej okreslonymi jest pierscieniem.
Pierscien ten jest cialem wtedy i tylko wtedy, gdy q jest liczba pierwsza (udowodnic
!).
3. Relacje rownowaznosci i struktury ilorazowe. Zalozmy, ze R jest relacja
rownowaznosci (tj., relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia) w zbiorze A. Relacja
taka jest zgodna z dzialaniem wewnetrznym w A, gdy dla dowolych a; a
0
; b; b
0
2 A
spelniony jest warunek
(1)
aRa
0
^ bRb
0
=) (ab)R(a
0
b
0
):
Podobnie, jesli : F A ! A jest dzialaniem zewnetrznym, to relacja R jest z nim
zgodna, gdy dla dowolnych a; a
0
2 A i x 2 F spelniony jest warunek
(2)
aRa
0
=) (xa)R(xa
0
):
Dzialania zgodne z relacja R wyznaczaja dzialania tego samego typu w zbiorze A=R
klas abstrakcji:
(3)
[a] [b] = [ab]
w przypadku dzialania zewnetrznego oraz
(4)
x [a] = [xa]
w przypadku dzialania zewnetrznego.
Jezeli zbior A jest wyposazony w strukture algebraiczna, ktorej wszystkie dzialania
sa zgodne z relacja R, to mowimy, ze relacja ta jest zgodna ze struktura algebraiczna.
W takiej sytuacji struktura na A wyznacza podobna (tj. zlozona z takiej samej
liczby dzialan takiego samego typu) strukture algebraiczna na A=R. Strukture
taka nazywamy ilorazowa.
Przyklady. Dla dowolnej liczby naturalnej q > 1, relacja R okreslona w zbiorze Z
przy pomocy warunku
(5)
q
(a b) 2 Z
jest relcja rownowaznosci zgodna z dodawaniem i mnozeniem. Dodawanie i mnozenie
wyznaczaja wiec odpowiednie dzialania z zbiorze Z=R. Zbior ten mozna w naturalny
sposob przeksztalcic wzajemnie jednoznacznie na Z
q
:
(6)
[a] 7! reszta z dzielenia liczby a przez q:
Przeksztalcenie to wyznacza izomorzm (w sensie wprowadzonym w nastepnym
paragrae) struktury ilorazowej w Z=R i wprowadzonej wczesniej struktury algebraicznej
w Z
q
.
aRb ()
1