19.II.2004
Podstawowe wiadomo±ci z mechaniki falowej. Widmo
promieniowaniaciaładoskonaleczarnegoipostulatykwan-
tyzacji energii
Wzór Plancka na g¦sto±¢ energii promieniowania ciała doskonale czarnego
u
(
)=
8
2
c
3
h
e
h/kT
−
1
(1.1)
gdzie stała Boltzmanna
k
=1
,
3807
·
10
−
23
J/K
.
Wzór Plancka został otrzymany przy otrzymany przy całkowicie nowym
zało»eniu o dyskretyzacji energii: energia przenoszona przez fal¦ elektroma-
gnetyczn¡jestwielokrotno±ci¡minimalnejporcjienergii.Taminimalnaener-
gia (kwant energii) wyra»a si¦ przez now¡ stał¡ fundamentaln¡
h
i cz¦sto±¢
fali
E
=
h
Dla du»ych cz¦sto±ci (tzn.
h/kT
1) otrzymuje si¦ st¡d znany wcze±niej
wzór Wien’a
:
u
(
)
3
e
−A/T
,
(1.2)
a dla małych cz¦sto±ci (tzn.
h/kT
1)
wzór Rayleigh’a - Jeans’a
:
u
(
)=
8
2
kT
c
3
(1.3)
Jako±ciowe porównanie zachowania si¦ powy»szych zale»no±ci jest uwidocz-
nione na rysunku 1.
1
3
x**3/ (exp(x)-1)
x**2
x**3/exp(x)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Rysunek 1.1:
Planck, Wien, Rayleigh - Jeans
Cz¡steczkowy obraz fali (elektromagnetycznej)
E
=
~!
(
~
=
h/
2
)
•
Efektfotoelektryczny:energiaemitowanychelektronówzale»ytylkood
cz¦sto±ci padaj¡cej fali,
E
=
h−
0
,
gdzie
0
jest prac¡ wyj±cia.
•
RozpraszanieComptona:zmianadługo±cifalizale»ywył¡cznieodk¡ta
rozproszenia,
f
p
f
i
p
i
p
e
Rysunek 1.2:
Rozpraszanie foton – elektron
2
Zasada zachowania p¦du daje
p
i
=
p
f
+
p
e
,
(1.4)
a zasada zachowania energii
q
h
i
+
m
e
c
2
=
h
f
+
m
e
c
4
+
p
e
c
2
.
(1.5)
Z równania (1.4) mamy wi¦c
p
e
=
p
i
+
p
f
−
2
p
i
p
f
cos
.
(1.6)
Uwzgl¦dniaj¡c ogólny zwi¡zek mi¦dzy długo±ci¡ fali
a cz¦sto±ci¡
=
c
orazplanckowskizwi¡zekmi¦dzyp¦demicz¦sto±ci¡falielektromagne-
tycznej
p
=
E
c
=
h
c
otrzymasi¦zrówna«(1.5,1.6)wzórwyznaczaj¡cyzmian¦długo±cifali
elektromagnetycznej rozproszonej na swobodnym elektronie
i
−
f
=2
h
m
e
c
sin
2
2
.
(1.7)
•
Jonizacjagazuprzezfal¦elektromagnetyczn¡–wyst¦pujecz¦sto±¢pro-
gowa, poni»ej której nie ma jonizacji
Falowy obraz cz¡stki
=
h/p
Fale de Broglie’a.
•
Dyfrakcja wi¡zki elektronów na krysztale:
–
promienierentgenowskiemaj¡maksimapoło»onepodk¡tami
n
=
2
d
sin
(
d
jest stał¡ sieci),
–
elektrony maj¡ maksima pod k¡tami
n
2
~/
p
2
m
e
T
= 2
d
sin
(
T
jest energi¡ kinetyczn¡ elektronu).
•
Dyfrakcja neutronów na krysztale
•
Dyfrakcja atomów (He, H
2
) na krysztale
3
Dyskretne widma energii
Atom wodoru, spektra atomowe, model Bohra
Zdo±wiadcze«wiadomo,»eabsorpcyjnewidmawodorudaj¡si¦sparametry-
zowa¢ zwi¡zkiem
E
n
=
A
1
−
1
n
2
;
n
=1
,
2
... ,
a emisyjne widma zwi¡zkiem
E
n,k
=
A
1
k
2
−
1
n
2
;
n,k
=1
,
2
... ,
Taka struktura widm jest odtworzona w modelu Bohra atomu wodoru pod-
stawie nast¦puj¡cych, uczynionych
ad hoc
zało»e«:
•
elektron porusza si¦ po orbicie kołowej,
•
moment p¦du elektronu
j
jest całkowit¡ wielokrotno±ci¡ stałej
~
j
=
n~, n
=1
,
2
... .
Rz¦dy wielko±ci wyst¦puj¡ce w skali mikro±wiata
~
=1
.
054
·
10
−
34
J
·
s;
m
e
=9
.
1
·
10
−
31
kg; 1eV=1
.
6
·
10
−
19
J
Zagadnienia autokontrolne
1. Dlaczego nie wystarcza zyka klasyczna?
2. Argumenty na rzecz falowej natury cz¡stek w mikro±wiecie.
3. Argumenty na rzecz korpuskularnej natury fali elektromagnetycznej.
4. Atom wodoru jako argument na rzecz mechaniki kwantowej.
4