8.IV.2004
Pochodna czasowa warto±ci ±redniej obserwabli
Pochodn¡ zupełn¡ operatorowej obserwabli A wzgl¦dem czasu — d A/dt —
deniujemy tak, aby dla ±rednich warto±ci oczekiwanych zachodziło
D
d A
dt
E
=
dh Ai
dt
.
(8.1)
Rozpisuj¡c dalej praw¡ stron¦ tej denicji otrzymuje si¦
dh Ai
dt
=
d
Z
d
3
r
(~r,t)
A
(~r,t)
dt
Z
Z
Z
d
3
r
@ A
d
3
r
@
@t
A
+
d
3
r
A
@
@t
.
Człon z @ A/@t wyst¦puje wtedy gdy operator A zale»y bezpo±rednio od
czasu.
Wyra»enia na @
/@t i @
/@t otrzymuje si¦ korzystaj¡c z równania
Schrodingera z rzeczywistym potencjałem
1
@
=
@t
+
@t
=
1
H
;
@
@t
=−
1
H
.
i~
i~
Mamy wtedy
dh Ai
Z
d
3
rH
A
+
Z
d
3
r
@ A
@t
+
1
Z
d
3
r
AH
.
i~
i~
Wykorzystuj¡c w pierwszym członie hermitowsko±¢ hamiltonianu otrzymuje
si¦
dt
=−
1
Z
d
3
r
H A
+
Z
d
3
r
@ A
@t
+
1
Z
d
3
r
AH
,
i~
i~
1
Wtedy H
= H.
34
dt
=−
1
dh Ai
czyli
dh Ai
dt
=
@ A
@t
D
E
+
i
~
h[H, A]i.
(8.2)
St¡d wynika równanie operatorowe
dt
=
@ A
@t
+
i
[H, A]
(8.3)
~
Równanie, zwane równaniem Heisenberga, jest w rzeczywisto±ci denicj¡
pochodnej czasowej operatora. Denicja ta spełnia warunek (8.1).
Równania Ehrenfesta
Stosuj¡c równanie (8.2) do operatorów p¦du i poło»enia dla układu z hamil-
tonianem postaci
p
2
H =
2m
+ V(
r
)
otrzymuje si¦
dt
h~ri=
hpi
m
;
(8.4a)
d
dt
hpi=−hrVi;
(8.4b)
Równania te nazywaj¡ si¦ równaniami Ehrenfesta. Formalnie maj¡ one bar-
dzo podobny kształt do równa« Hamiltona mechaniki klasycznej z hamilto-
nianem H(~r,p)=p
2
/2m+V(~r)
dt
=
p
m
.
dp
dt
=−rV .
Jest jednak istotna ró»nica. Klasyczna siła spełnia relacj¦
F
cl
=[−rV(
r
)]
Natomiast
hrVi6=[rV(
r
)]
r=
h
r
i
.
(8.5)
Dlatego te», w przeciwie«stwie do równa« klasycznych, równania Ehrenfesta
nie tworz¡ zamkni¦tego układu równa« na ±rednie warto±ci oczekiwane h~ri i
hpi. Nierówno±¢ (8.5) jest swoist¡ miar¡ odst¦pstwa od ruchu klasycznego.
35
d A
d
d~r
Przykład
Rozpatrzmy jednowymiarowe potencjały postaci V(x) =
x
n
.
Równania Ehrenfesta przybieraj¡ wtedy kształt
dt
hxi=
hpi
m
;
(8.6a)
d
dt
hpi=−n
hx
n
−
1
i;
(8.6b)
Dla n=0 mamy
dt
hxi=
hpi
m
;
d
dt
hpi=0;
Dla n=1 mamy
dt
hxi=
hpi
m
;
d
dt
hpi=−
;
Dla n=2 mamy
dt
hxi=
hpi
m
;
d
dt
hpi=−2
hxi,;
Jak wida¢, we wszystkich tych trzech przypadkach równania (8.6) tworz¡
układzamkni¦tyirównanianawarto±ci±rednies¡„samowystarczalne”,tzn.
mo»na je rozwi¡za¢ bez uprzedniego rozwi¡zywania równania Schrodingera.
Gdy n > 2 wtedy hx
n
−
1
i 6= hxi
n
−
1
i dla otrzymania prawej strony równania
(8.6b) niezb¦dna jest znajomo±¢ funkcji falowej.
Cz¡stka w niesko«czonej jamie potencjału
Rozpatrujemy jednowymiarowe zagadnienie cz¡stki o masie m znajduj¡cej
si¦ w niesko«czonej prostok¡tnej jamie potencjału o szeroko±ci a. Potencjał
taki jest dany jako
(
0, dla 0¬x¬a
V(x)=
1, dla x 2(0,a)
.
36
d
d
d
d
Odpowiadaj¡ce mu stacjonarne równanie Schrodingera ma posta¢
−
~
2
2m
d
2
dx
2
=E
dla 0¬x¬a.
(8.7)
Niemo»no±¢ znalezienia si¦ cz¡stki w obszarach x < 0 i x > a oznacza, »e
funkcjafalowajesttamrównazeru.Postulatci¡gło±cifunkcjifalowejwcałej
przestrzeni prowadzi wi¦c do warunków brzegowych
(0)=
(a)=0.
(8.8)
Unormowane rozwi¡zania (8.7) maj¡ wtedy posta¢
8
<
:
a
sin
n
a
x, dla 0¬x¬a
0, dla x 2(0,a)
2
n
(x)=
(8.9a)
a dopuszczalnymi warto±ciami energii s¡
E
n
=
~
2
2
2ma
2
n
2
.
(8.9b)
37
q