13.V.2004
Bariera potencjału – cd
Energia E > V
0
Sposób rozwi¡zania jest dokładnie taki sam jak w przypadku, gdy energia
jestni»szaodbarierypotencjału.Równania(11.3)pozostaj¡wi¦cwmocy—
z t¡ tylko ró»nic¡, »e wyst¦puj¡cy tam współczynnik
staje si¦ teraz czysto
urojony:
q
2m(E −V
0
)
~
= i
;
=
.
Rozwi¡zania (11.4) zachowuj¡ zatem swój kształt przy podstawieniach
! i
, sinha
! isina
, cosha
!cosa
.
W ten sposób otrzyma si¦ wyra»enie na współczynnik przej±cia
T =|D|
2
=
4
2
k
2
4
2
k
2
cos
2
a+(k
2
+
2
)
2
sin
2
a
(12.1a)
4
2
k
2
4
2
k
2
+(k
2
−
2
)
2
sin
2
a
,
=
i na współczynnik odbicia
R =|A|
2
=
(k
2
−
2
)
2
sin
2
a
4
2
k
2
+(k
2
−
2
)
2
sin
2
a
, (12.1b)
Uogólnienie na gładkie bariery
Wyra»enie na współczynnik przej±cia (11.5b), otrzymane dla prostok¡tnej
bariery potencjału mo»na uogólni¢ na barier¦ potencjału dowolnego kształ-
tu.Rozpatrzmydwieznajduj¡cesi¦oboksiebiebarierypotencjału–jednao
53
wysoko±ciV
1
iszeroko±cia
1
,drugaowysoko±ciV
2
iszeroko±cia
2
.Współczyn-
nik przej±cia przez obie te bariery jest iloczynem współczynników przej±cia
przez ka»d¡ z tych barier z osobna
0
−
2a
1
q
2m(V
1
−E)
1
0
−
2a
2
q
2m(V
2
−E)
1
T
exp
@
A
exp
@
A
~
~
Rozpatrzmy teraz garb potencjału V(x). Pokrywamy go s¡siaduj¡cymi ze
sob¡ prostok¡tami o szeroko±ciach a
i
. ‘rodek ka»dego i-tego prostok¡ta jest
wyznaczonyprzezpunkt x
i
,ajegowysoko±¢wynosi V(x
i
).Jesttoanalogicz-
nepost¦powaniedotego,jakiejestbyłostosowaneprzyokazjiwprowadzenia
poj¦cia całki oznaczonej.
Rozpatrzmycz¡stk¦oenergiiE padaj¡c¡nanaszpotencjał.Efekttunelo-
wyzachodziwprzypadkuwszystkichtychprostok¡tów,dlaktórychV(x
i
) > E.
Ł¡cznywspółczynnikprzej±ciajestdanyprzeziloczyn„cz¡stkowych”współ-
czynników
0
q
1
!
−
2a
i
2m(V(x
i
)−E)
~
q
−
2
~
Y
X
T
exp
@
A
=exp
a
i
2m(V(x
i
)−E)
i
i
Przybli»aj¡c gładk¡ barier¦ V(x) coraz wi¦ksz¡ liczb¡ coraz w¦»szych
prostok¡tów otrzyma si¦ w granicy
T
e
−
~
x
2
dx
p
2
m
[
V
(
x
)
−E
]
x
1
gdzie x
1
,x
2
s¡
punktami zwrotu
wyznaczonymi przez równanie
V(x)= E .
Emisja elektronów z metalu pod wpływem pola elektrycznego
w przewodniku znajduj¡ si¦ swobodne elektrony. Aby wydosta¢ si¦ na ze-
wn¡trz musz¡ one wykona¢ prac¦ wyj±cia V
0
. Energia elektronu zwi¦kszana
jest przez podgrzanie przewodnika, co daje nam termoemisj¦ elektronów,
b¡d¹ przez padaj¡c¡ na powierzchni¦ przewodnika fal¦ elektromagnetyczn¡.
Mamywtedydoczynieniezfotoemisj¡.Gdynazewn¡trzprzewodnikab¦dzie
pole elektryczna E to zgodnie z fizyk¡ klasyczn¡ nie powinno to mie¢ wpły-
wu na zachowanie si¦ elektronów. Dzieje si¦ tak, poniewa» pole elektryczne
nie wnika do wn¦trza przewodnika. Rozpatrzmy jednak efektywny potencjał
54
R
zwi¡zany zarówno z prac¡ wyj±cia jak z przyło»onym polem elektrycznym.
Odpowiedni potencjał ma posta¢
(
0, dla x ¬0
V
0
−eEx, dla x > 0
V(x)=
(12.2)
Powierzchniaprzewodnikajesttupłaszczyzn¡prostopadł¡doosixwpunkcie
x =0.
Potencjał(12.2)jesttypowympotencjałemumo»liwiaj¡cymtunelowanie.
Po obliczeniach otrzymuje si¦ współczynnik przej±cia w postaci
T
e
−
/
E
co jest zgodne z wynikami do±wiadczalnymi.
Emisjaelektronówzmetalupodwpływempolaelektrycznegojestefektem
czysto kwantowym, niewytłumaczalnym na gruncie fizyki klasycznej.
Cz¡stka w sko«czonej jamie potencjału
Rozpatrzmy cz¡stk¦ znajduj¡c¡ si¦ w jednowymiarowej, symetrycznej jamie
potencjału o sko«czonej gł¦boko±ci
(
0, dla 0¬ x ¬ a
V
0
, dla x 2(0,a)
V(x)=
(12.3)
Zagadnienietorozwi¡zujesi¦zstandardowysposób,rozpatruj¡codpowiednie
równaniaSchrodingerawobszarachx < 0, 0 < x < aorazx > ainarzucaj¡c
warunki ci¡gło±ci funkcji falowej i jej pochodnej w punktach x =0 i x = a.
Przypadek E < V
0
: stany zwi¡zane
Okre±lamy
p
q
2mE
~
2m(V
0
−E)
~
q
k =
;
=
=
k
0
−k
2
gdzie
p
2mV
0
~
Rozwi¡zania w rozpatrywanych obszarach s¡ postaci
k
0
=
x < 0; (x) = Ae
x
;
0¬ x ¬ a; (x) = Bsin(kx+
)
x > a; (x) = C e
−
x
55
Warunki ci¡gło±ci daj¡
A = Bsin
(12.4a)
A = kBcos
(12.4b)
Bsin(ka+
)= C e
−
a
(12.4c)
kBcos(ka+
)=−
C e
−
a
(12.4d)
Dziel¡c odpowiednie równania stronami otrzymuje si¦
tg
=
k
tg(ka+
) = −
k
czyli
tg
=
q
k
(12.5)
k
0
−k
2
tg(ka+
) = −
k
q
k
0
−k
2
(12.6)
Zatem układ równa« (12.3) posiada niezerowe rozwi¡zania A,B,C tylko dla
k spełniaj¡cego równania (12.4,12.5).
Zagadnienia autokontrolne
1. Dlaczegozjawiskzimnejemisjielektronówzprzewodnikapodwpływem
zewn¦trznego pola elektrycznego jest zjawiskiem czysto kwantowym?
56