1. Szeregi Taylora
A. Wzór Taylora dla wielomianu
Px=Pa+P'a1!x-a+p''a2!(x-a)2+…+pnan!x-an=k=0npk(a)k!(x-a)k
Dla a=0 à Px=k=0npk(0)k!xk
B. Szereg Taylora dla funkcji f(x)
fx=Px+Rnx=fa+f'a1!x-a+f''(a)2!(x-a)2+…+fnan!x-an+Rn(x)
C. Szereg Maclaurina – szereg Taylora dla a = 0.
fx=Px+Rnx=f0+f'01!x+f''(0)2!x2+…+fn0n!xn+Rn(x)
D. Szereg Taylora i szereg Maclaurina – wzory uogólnione
a) Szereg Taylora fx=k=0nfk(a)k!(x-a)k
b) Szereg Maclaurina fx=k=0nfk(0)k!xk
2. Szeregi liczbowe
A. Szereg liczbowy – jest to jest to suma elementów nieskończonego ciągu liczbowego.
u1+u2+…+un=n=1∞un
B. Sumy częściowe (cząstkowe)
a) Sn=u1+u2+…+un=i=1nui (n=1,2,3…)
b) Szereg jest zbieżny jeżeli jest zbieżny ciąg jego sum częściowych.
c) Suma zbieżnego szeregu liczbowego równa się granicy ciągu jego sum częściowych. à Jeżeli limn→∞Sn=S to n=1∞un=S
d) Jeżeli ciąg sum częściowych rozbiega się to szereg nazywamy rozbieżnym i nie przypisujemy mu żadnej sumy.
e) Warunek konieczny zbieżności szeregów à limn→∞un=0
C. Własności szeregów liczbowych
a) Jeżeli nun=S to nc*un=c*S
b) n(un±vn)=nun±nvn=S1±S2
· Suma/różnica szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym
· Suma/różnica szeregów zbieżnego i rozbieżnego jest szeregiem rozbieżnym.
3. Kryteria zbieżności szeregów
A. Kryterium d’Alamberta – jeżeli dla szeregu nunz dodatnimi wyrazami istnieje taka liczba q<1, że dla wszystkich dostatecznie dużych n, zachodzi nierówność un+1≤q to szereg jest zbieżny, a jeżeli un+1un≥1 to szereg jest rozbieżny.
B. Kryterium Couchy’ego – jeżeli dla szeregu nunz dodatnimi wyrazami istnieje taka liczba q<1, że dla wszystkich dostatecznie dużych n, zachodzi nierówność nun≤q to szereg jest zbieżny, jeśli zaś nun≥1 to szereg jest rozbieżny.
4. Szereg z wyrazami zespolonymi
A. Definicja – Liczba z = x + iy nazywa się granicą ciągu zn , (n = 1,2,3…∞), jeżeli dla dowolne liczby ε>0 istnieje taki indeks wyrazu ciągu N(ε), że dla n>N(ε) zachodzi nierówność | z – zn| < ε.
B. Interpretacja geometryczna
Dla dowolnej liczby ε>0 zaczynając od pewnego indeksu wyrazu ciągu N(ε), wszystkie wyrazy ciągu leżą w kole o promieniu ε i środku z. Na zewnątrz tego koła może być tylko skończona liczba wyrazów.
C. Zbieżność szeregu z wyrazami zespolonymi – Aby zachodziła zbieżność ciągu Zn warunkiem koniecznym i dostatecznym jest, aby zbieżne były ciągi części rzeczywistych i urojonych.
x1 , x2 , … , xn (xn=Re(zn))
y1 , y2 , … , yn (yn=Im(Zn))
z=x + iy
Jeżeli limn→∞xn=x i limn→∞yn=y to limn→∞zn=z