wyklad 5, gig, Matematyka, Wykłady word

1. Całki podwójne

A. Definicja – funkcja z=f(x,y) jest określona i ograniczona w obszarze domkniętym D. Dzielimy ten obszar na n podobszarów Di (i=1,2,…,n). W każdym z nich wybieramy punkt Pi (ζi , ηi) i tworzymy sumę iloczynów.

σn=i=1nf(ζi , ηi)∆xi∆yi

Zagęszczamy ten obszar, czyli nà∞. Jeśli suma iloczynów niezależnie od wyboru punktów Pi zmierza do tej samej granicy, to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji z = f(x,y) w obszarze D.

B. Interpretacja geometryczna – suma σn jest sumą objętości prostopadłościanów o podstawie Di i wysokości f( ζi , ηi ). Jeżeli całka istnieje to jest ona miarą objętości bryły o podstawie D leżącej pod płatem powierzchniowym.

a) V=Dfx,ydxdy ; f(x,y) ~ nieujemne

b) -V=Dfx,ydxdy ; f(x,y) ~ ujemne

c) Jeżeli płat powierzchniowy ma równanie z=1 to całka podwójna jest liczbowo równa polu obszaru D. D=D1dxdy

C. Własności całki podwójnej

a) cfx,ydxdy= cfx,ydxdy

b) Dfx,y±gx,ydxdy= Df(x,y)dxdy±Dgx,ydxdy

c) Jeżeli D=D1∪D2 i obszary D1 i D2 mają co najwyżej wspolny brzeg D1∩D2=Φ to Dfx,ydxdy=D1fx,ydxdy+D2fx,ydxdy

D. Zamiana całki podwójnej na iterowaną

a) Obszar D jest prostokątem a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d.

Dfx,ydxdy=abdxcdfx,ydy=cddyabfx,ydx

b) Obszar D jest normalny względem osi Ox : a ≤ x ≤ b ; g(x) ≤ y ≤ h(x)

Dfx,ydxdy=abdxg(x)h(x)fx,ydy

c) Obszar D jest normalny względem osi OY: c ≤ y ≤ d; g(y) ≤ x ≤ h(y)

Dfx,ydxdy=cddyg(y)h(y)fx,ydx

E. Zamiana zmiennych w całce podwójnej – jeżeli a) funkcje x(u,v), y(u,v) są ciągłe i mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze Δ b) przekształcenie obszaru Δ na D jest wzajemnie jednoznaczne c) jakobian jest ≠ 0, to:

Dfx,ydxdy=Δfxu,v, yu,v*|J|dudv

J = ∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v

F. Twierdzenie Greena – jeżeli weźmiemy dwie funkcje 2 zmiennych P(x,y) i Q(x,y) oraz ich pochodne ∂P∂y i ∂Q∂x są ciągłe wewnątrz i na brzegu K obszaru D, a brzeg jest krzywą zorientowaną dodatnio to:

KPx,ydx+Qx,ydy=D∂Q∂x-∂P∂ydxdy ;

symbolem Koznaczamy całkę krzywoliniową po krzywej zamkniętej K

2. Całki potrójne we współrzędnych kartezjańskich.

A. Def. Całkę potrójną definiujemy jako:

Vf(x,y,z)dxdydz=lim∆xi∆yj∆zkijkf(xi,yj,zk)∆xi∆yj∆zk

B. Interpretacja geometryczna – całka potrójna jest hiperobjętością w 4 wymiarowej przestrzeni. Jej obliczenie sprowadza się do policzenia 3 zwykłych całek lub jednej podwójnej i jednej pojedynczej.

C. Zamiana zmiennych w całce potrójnej

x = ϕ(u,v,w) ; y = Ψ(u,v,w) ; z = Θ(u,v,w)

J=∂(x,y,z)∂(u,v,w)=∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂z∂u∂z∂v∂z∂w

Vfx,y,zdxdydz=V'fφu,v,w, Ψu,v,w, Θu,v,w*|J|dudvdw

D. Zastosowanie całek potrójnych

A. Obliczanie objętości brył w 3D à V=Vdxdydz

B. Obliczanie masy ciała o objętości V, i gęstości σ(x,y,z) w punkcie (x,y,z) à M=Vσ(x,y,z)dxdydz

C. Obliczanie momentów statycznych ciała względem płaszczyzn współrzędnych (x,y), (x,z), (y,z) à

· mxy=Vσx,y,z*zdxdydz

· mxz=Vσx,y,z*ydxdydz

· myz=Vσx,y,z*xdxdydz

· Stąd współrzędne środka masy ciała są à x=myzm ; y=mxzm ; z=mxym