Wst¦p do Analizy
Stochastycznej
RafałLatała
R.Latala@mimuw.edu.pl
Uniwersytet Warszawski, 2011
Streszczenie.
Ogólna teoria procesów, proces Wienera. Wprowadzenie do teo-
rii martyngałów z czasem ci¡głym. Definicja i podstawowe własno±ci całki
stochastycznej. Wzór Ito. Stochastyczne równania ró»niczkowe. Twierdzenie
Girsanowa.
Wersja internetowa wykładu:
(mo»e zawiera¢ dodatkowe materiały)
Niniejsze materiały s¡ dost¦pne na
Uznanie autorstwa — U»ycie niekomercyjne — Bez utworów zale»nych
.
Copyright c
R.Latala, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2011. Niniejszy
plik PDF został utworzony 13 kwietnia 2011.
Projekt współfinansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach
Skład w systemie L
A
T
E
X, z wykorzystaniem m.in. pakietów
beamer
oraz
listings
. Szablony podr¦cznika i prezentacji:
Piotr Krzy»anowski; koncept: Robert D¡browski.
Spis tre±ci
1. Procesy stochastyczne. Proces Wienera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Podstawowe definicje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Proces Wienera (ruch Browna)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Charakteryzacje procesu Wienera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Uwagi i uzupełnienia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1. Konstrukcja Procesu Wienera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2. Nieró»niczkowalno±¢ trajektorii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Rozkłady procesów stochastycznych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.
-ciało zbiorów cylindrycznych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Warunki zgodno±ci. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu
. . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Uwagi i uzupełnienia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Ci¡gło±¢ trajektorii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Procesy stochastycznie równowa»ne i nierozró»nialne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Twierdzenie o ci¡głej modyfikacji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Uwagi i uzupełnienia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Filtracje, momenty zatrzymania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1. Filtracje z czasem ci¡głym
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2. Momenty zatrzymania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3. Progresywna mierzalno±¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Martyngały z czasem ci¡głym
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1. Definicje i przykłady
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2. Nierówno±ci maksymalne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6. Twierdzenia o zbie»no±ci martyngałów
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1. Przej±cia w dół przez przedział
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2. Zbie»no±¢ prawie na pewno
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3. Jednostajna całkowalno±¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4. Ci¡gła wersja twierdzenia Dooba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.5. Zbie»no±¢ martyngałów w
L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6. Uwagi i uzupełnienia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.7. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Całka Stieltjesa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.1. Całka Riemanna-Stieltjesa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.2. Całka Lebesgue’a-Stieltjesa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3. Niesko«czone wahanie ci¡głych martyngałów
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8. Całka izometryczna wzgl¦dem procesu Wienera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1. Całka Paleya-Wienera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2. Procesy elementarne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Wst¦p do Analizy Stochastycznej c
R.Latala, Uniwersytet Warszawski, 2011.
4
Spis tre±ci
8.3. Martyngały ci¡głe, całkowalne z kwadratem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.4. Całka izometryczna Ito. Procesy prognozowalne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.5. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9. Własno±ci całki izometrycznej. Uogólnienie definicji całki stochastycznej
. . . . . . . 45
9.1. Twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2. Uogólnienie definicji całki stochastycznej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.3. Martyngały lokalne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.Całka wzgl¦dem ci¡głych martyngałów
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.1. Rozkład Dooba-Meyera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.2. Całka izometryczna
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.3. Uogólnienie definicji całki
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.Własno±ci nawiasu sko±nego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.1. Nawias sko±ny jako wariacja kwadratowa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.2. Uogólnienie definicji nawiasu sko±nego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.3. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12.Dalsze własno±ci całki stochastycznej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.1. Zbie»no±¢ zmajoryzowana dla całek stochastycznych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.2. Całkowanie przez podstawienie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.3. Całkowanie przez cz¦±ci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
12.4. Ci¡głe semimartyngały
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.5. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
13.Wzór Ito
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.1. Podstawowe twierdzenie analizy stochastycznej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.2. Twierdzenie Levy’ego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13.3. Charakteryzacja procesu Wienera za pomoc¡ martyngałów wykładniczych
. . . . . . . . . 71
13.4. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
14.Stochastyczne Równania Ró»niczkowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.1. Jednorodne równania stochastyczne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.2. Równania niejednorodne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
14.3. Przypadek wielowymiarowy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
14.4. Generator procesu dyfuzji.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14.5. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15.Twierdzenie Girsanowa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15.1. Przypadek dyskretny
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15.2. Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15.3. Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Literatura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1. Procesy stochastyczne. Proces Wienera
Podczas pierwszego wykładu okre±limy czym jest proces stochastyczny oraz zdefiniujemy
proces Wienera – najwa»niejszy przykład procesu o ci¡głych trajektoriach.
1.1. Podstawowe definicje
Zaczniemy od podania wa»nych definicji u»ywanych podczas całego wykładu.
Definicja 1.1.
Niech (
,
F
,
P) b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, (
E,
E
) przestrzeni¡ mie-
rzaln¡, za±
T
dowolnym zbiorem.
Procesem stochastycznym
o warto±ciach w
E
, okre±lonym
na zbiorze
T
, nazywamy rodzin¦ zmiennych losowych
X
= (
X
t
)
t
2
T
, przyjmuj¡cych warto±ci w
zbiorze
E
.
Uwaga
1.1
.
W czasie wszystkich dalszych wykładów
T
b¦dzie podzbioremR(najcz¦±ciej prze-
działem, niekoniecznie ograniczonym), za±
E
=RlubR
d
. Parametr
t
mo»na wówczas interpre-
towa¢ jako czas.
Definicja 1.2.
Trajektori¡ procesu X
nazywamy funkcj¦ (losow¡!)
t
!
X
t
(
!
), okre±lon¡ na
zbiorze
T
o warto±ciach w
E
.
Definicja 1.3.
Powiemy, »e proces
X
= (
X
t
)
t
2
T
,
T
R
ma przyrosty niezale»ne
je±li dla
dowolnych indeksów
t
0
¬
t
1
¬
...
¬
t
n
ze zbioru
T
, zmienne losowe
X
t
0
,X
t
1
−
X
t
0
,X
t
2
−
X
t
1
,...,X
t
n
−
X
t
n
−
1
s¡ niezale»ne.
Definicja 1.4.
Mówimy, »e proces stochastyczny (
X
t
)
t
0
ma przyrosty stacjonarne
, je±li roz-
kład
X
t
−
X
s
zale»y tylko od
t
−
s
, czyli
8
t>s
0
X
t
−
X
s
X
t
−
s
−
X
0
.
1.2. Proces Wienera (ruch Browna)
Definicja 1.5.
Procesem Wienera (ruchem Browna)
nazywamy proces stochastyczny
W
=
(
W
t
)
t
0
taki, »e
W
0
= 0 p.n.;
(W0)
W
ma przyrosty niezale»ne;
(W1)
Dla 0
¬
s < t
zmienna
W
t
−
W
s
ma rozkład normalny
N
(0
,t
−
s
);
(W2)
Trajektorie
W
s¡ ci¡głe z prawdopodobie«stwem 1.
(W3)
Uwaga
1.2
.
Warunek (W3) oznacza, »e istnieje zbiór
A
taki, »eP(
A
) = 1 oraz dla wszystkich
!
2
A
,
t
!
W
t
(
!
) jest funkcj¡ ci¡gł¡ na [0
,
1
). Czasami w definicji procesu Wienera zakłada
si¦, »e wszystkie trajektorie s¡ ci¡głe oraz
W
0
0.
Wst¦p do Analizy Stochastycznej c
R.Latala, Uniwersytet Warszawski, 2011.