10–1
10 Pola wektorowe. Potoki. Stabilno±¢.
Układy dysypatywne. Atraktory dziwne.
10.1 Pola wektorowe.
Zakładamy, »e
D
R
n
jest obszarem (tzn. zbiorem otwartym i spójnym).
Polem wektorowym
f
okre±lonym na obszarze
D
nazywamy
przyporz¡dkowanie ka»demu punktowi
x
2
D n
-wymiarowego wektora
f
(
x
)
zaczepionego w punkcie
x
. Poniewa» punkt z
D
jest zadany przez
n
współrz¦dnych, zatem mo»e by¢ uto»samiony z uporz¡dkowan¡
n
-tk¡ liczb
rzeczywistych. Podobnie, wektor mo»na te» uto»sami¢ z uporz¡dkowan¡
n
-tk¡ liczb rzeczywistych (współrz¦dnych wektora). Zatem pole wektorowe
to funkcja wektorowa z
D
w R
n
. Mówimy, »e pole wektorowe
f
jest ci¡głe,
lokalnie lipschitzowskie, ró»niczkowalne, klasy
C
k
, itp., gdy funkcja
wektorowa
f
:
D
!
R
n
jest ci¡gła, lokalnie lipschitzowska, ró»niczkowalna,
klasy
C
k
, itp.
Niech
f
:
D
!
R b¦dzie polem wektorowym. Załó»my, »e
'
: (
,
)
!
D
jest rozwi¡zaniem układu
x
0
=
f
(
x
)
(UA)
równa« ró»niczkowych. Pochodna tej funkcji w punkcie
t
2
(
,
),
'
0
(
t
),
jest to wektor
f
(
'
(
t
)). Zatem rozwi¡zanie układu (UA) to ró»niczkowalna
funkcja wektorowa
'
taka, »e dla ka»dej chwili
t
pochodna tej funkcji to
wektor pola wektorowego zaczepiony w punkcie b¦d¡cym warto±ci¡ tej
funkcji w chwili
t
.
10.2 Pola wektorowe zupełne
Pole wektorowe
f
:
D
!
R
n
, klasy
C
1
, nazywamy
zupełnym
, je»eli ka»de
rozwi¡zanie nieprzedłu»alne układu (UA) jest okre±lone na całej prostej
(
−1
,
1
).
W przypadku, gdy
D
= R
n
, mamy prosty warunek dostateczny zupełno±ci
pola
f
:
Lemat 10.1.
Załó»my, »e
f
: R
n
!
R
n
jest polem wektorowym klasy C
1
,
dla którego istniej¡ stałe A,B
-
0
takie, »e
k
f
(
x
)
k¬
A
+
B
k
x
k
dla ka»dego
x
2
R
n
. Wówczas
f
jest zupełnym polem wektorowym.
Dowód.
Jest to wniosek z Twierdzenia 7.2.
10–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Załó»my, »e
f
:
U
!
R
n
jest zupełnym polem wektorowym klasy
C
1
.
Dla
x
0
2
D
, oznaczmy przez
'
(
·
;
x
0
) (jedyne) rozwi¡zanie zagadnienia
pocz¡tkowego
8
<
:
x
0
=
f
(
x
)
x
(0)=
x
0
.
Na podstawie Twierdzenia Picarda–Lindelofa (Tw. 6.2) funkcja powy»sza
jest dobrze okre±lona.
Twierdzenie 10.2.
Niech
f
:
D
!
R
n
b¦dzie zupełnym polem wektorowym
klasy C
1
. Wówczas zachodz¡ nast¦puj¡ce własno±ci:
(i)
'
(0;
x
0
)=
x
0
, dla ka»dego
x
0
2
D,
(ii)
'
(
t
;
'
(
s
;
x
0
))=
'
(
t
+
s
;
x
0
)
dla wszystkich s,t
2
R
i
x
0
2
D,
(iii)
'
(
−
t
;
'
(
t
;
x
0
))=
x
0
dla wszystkich t
2
R
i
x
0
2
D.
Dowód.
Cz¦±¢ (i) jest oczywista.
Aby wykaza¢ (ii), ustalmy
x
0
2
D
i
s
2
R. Wykorzystuj¡c wzór na
pochodn¡ funkcji zło»onej widzimy, »e funkcja wektorowa
[R
3
t
7!
'
(
t
+
s
;
x
0
)
2
D
]
jest rozwi¡zaniem układu (UA). Oznaczmy
y
0
:=
'
(
s
;
x
0
). Funkcja
powy»sza jest zatem rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego
<
x
0
=
f
(
x
)
x
(0)=
y
0
,
:
zatem, na postawie jednoznaczno±ci,
'
(
t
+
s
;
x
0
)=
'
(
t
;
'
(
s
;
x
0
))
dla wszystkich
t
2
R.
Cz¦±¢ (iii) jest wnioskiem z (i) i (ii).
10.3 Denicja potoku (abstrakcyjnego)
Potokiem
na przestrzeni metrycznej
X
nazywamy odwzorowanie ci¡głe
: R
×
X
!
X
spełniaj¡ce nast¦puj¡ce warunki:
(1)
(0
,x
)=
x
dla ka»dego
x
2
X
.
Polawektorowe. Potoki. Stabilno±¢. Atraktorydziwne.
10–3
(2)
(
s
+
t,x
)=
(
s,
(
t,x
)) dla wszystkich
s,t
2
R i
x
2
X
.
(3)
(
−
t,
(
t,x
))=
x
dla wszystkich
t
2
R i
x
2
X
.
Dla
t
2
R oznaczmy
t
(
·
):=
(
t,
·
). Warunki (1)–(3) przybieraj¡ teraz
posta¢:
(1’)
0
=Id
X
,
(2’)
s
t
=
s
+
t
dla wszystkich
s,t
2
R,
(3’) dla ka»dego
t
2
R odwzorowanie
t
jest odwracalne, i zachodzi
(
t
)
−
1
=
−
t
.
Z warunków (1’)–(3’) wynika nast¦puj¡cy fakt:
Odwzorowanie
[R
3
t
7!
t
2
Hom(
X
)]
jest homomorzmem grupy
(R
,
+
,
0)
w grup¦
(Hom(
X
)
,
,
Id
X
)
, gdzie
Hom(
X
)
oznacza zbiór wszystkich homeomorzmów przestrzeni metrycznej
X na siebie.
10.4 Potok fazowy zupełnego pola wektorowego.
Dla zupełnego pola wektorowego
f
:
D
!
R
n
klasy
C
1
zdeniujmy
odwzorowanie
: R
×
D
!
D
wzorem:
(
t,
x
):=
'
(
t
;
x
)
, t
2
R
,
x
2
D.
Twierdzenie 10.2 mówi nam, »e tak zdeniowane
spełnia własno±ci (1),
(2) i (3) potoku na przestrzeni metrycznej
D
.
Pozostaje jeszcze kwestia ci¡gło±ci odwzorowania
. Poniewa» rozwi¡zanie
zagadnienia pocz¡tkowego otrzymuje si¦ jako punkt stały pewnego
odwzorowania zw¦»aj¡cego, idea dowodu ci¡głej zale»no±ci jest dosy¢
prosta, niemniej sprawdzenie wszystkiego wymaga przeprowadzenia wielu
raczej »mudnych rachunków.
Otrzymane powy»ej odwzorowanie
nazywamy
potokiem generowanym
przez
(
zupełne
)
pole wektorowe
f
, lub
potokiem fazowym
pola wektorowego
f
.
10–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
10.5 Klasykacja ruchów w potoku (abstrakcyjnym).
Niech
b¦dzie potokiem na przestrzeni metrycznej
X
.
Dla ustalonego
x
2
X
odwzorowanie
[R
3
t
7!
t
(
x
)
2
X
]
nazywamy
ruchem
punktu
x
2
X
.
Orbit¡ O
(
x
) punktu
x
2
X
nazywamy obraz jego ruchu,
O
(
x
)=
{
t
(
x
):
t
2
R
}
. Inne nazwy orbity to
trajektoria
,
krzywa fazowa
.
Twierdzenie 10.3.
Dla punktu x
2
X mog¡ zachodzi¢ trzy wzajemnie
wykluczaj¡ce sie przypadki:
(1)
Ruch punktu x jest funkcj¡ stał¡.
(
Punkt taki nazywamy
punktem
stacjonarnym, punktem równowagi
lub
poło»eniem równowagi
dla
potoku
.
)
(2)
Ruch punktu x jest
(
niestał¡
)
funkcj¡ okresow¡, o okresie podstawowym
T >
0
.
(
Punkt taki nazywamy
punktem okresowym
dla potoku
, a
jego orbit¦ nazywamy
orbit¡ okresow¡
.
)
(3)
Ruch punktu x jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡.
(
Punkt taki nazywamy
punktem nieokresowym
dla potoku
.
)
W przypadku
(2)
, oznaczmy przez
T
okr¡g sparametryzowany w nast¦puj¡cy
sposób:
T =
{
(cos
#,
sin
#
):
#
2
[0
,
2
]
}
.
Wówczas odwzorowanie
T
[T
3
z
=(cos
#,
sin
#
)
7!
2
#,x
]
jest homeomorzmem okr¦gu
T
na O
(
x
)
.
Dowód.
Ustalmy
x
2
X
, i oznaczmy
G
:=
{
t
2
R :
t
(
x
)=
x
}
.
Łatwo wida¢, »e zbiór
G
zawiera 0 i jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na operacje
dodawania i brania liczby przeciwnej. Zatem
G
jest podgrup¡ grupy
addytywnej liczb rzeczywistych (R
,
+
,
0).
Zbiór
G
jest zbiorem domkni¦tym: istotnie, niech (
t
k
)
k
=1
G
b¦dzie
ci¡giem zbie»nym do
t
2
R. Skoro
t
k
(
x
)=
x
dla ka»dego
k
2
N, z ci¡gło±ci
odwzorowania
wynika, »e
t
(
x
)=
x
, zatem
t
2
G
.
Korzystamy teraz z wyniku mówi¡cego, »e dla domkni¦tej podgrupy
G
addytywnej grupy liczb rzeczywistych (R
,
+
,
0) zachodz¡ nast¦puj¡ce trzy
(wzajemnie wykluczaj¡ce si¦) przypadki:
Polawektorowe. Potoki. Stabilno±¢. Atraktorydziwne.
10–5
(1)
G
= R.
(2) Istnieje
T >
0 takie, »e
G
=
{
kT
:
k
2
Z
}
.
(3)
G
=
{
0
}
.
W przypadku (1), ruch jest funkcj¡ stał¡, podobnie w przypadku (2) ruch
jest funkcj¡ okresow¡, o okresie
T
(zauwa»my, »e nie wiemy jeszcze, czy
T
jest okresem podstawowym!). W przypadku (3), niech
t
1
,t
2
2
R b¦d¡ takie,
»e
t
1
(
x
)=
t
2
(
x
). Nakładaj¡c na obie strony równo±ci odwzorowanie
−
t
1
widzimy, »e
t
2
−
t
1
(
x
)=
x
, a zatem
t
1
=
t
2
.
Załó»my teraz, »e zachodzi przypadek (2). Na pocz¡tek musimy stwierdzi¢,
czy odwzorowanie
T
(10.1)
[T
3
z
=(cos
#,
sin
#
)
7!
2
#,x
]
jest dobrze okre±lone. Jedyny punkt, w którym mo»e co± si¦ „psu¢”, to
z
=(1
,
0), odpowiadaj¡cy
#
=0 i
#
=2
. Lecz wtedy
(
2
0
,x
)=
(0
,x
)=
(
T,x
)=
(
2
2
,x
). Twierdzimy, »e
odwzorowanie (10.1) jest ró»nowarto±ciowe. Niech 0
¬
#
1
¬
#
2
¬
2
oraz
(
2
#
1
,x
)=
(
2
#
2
,x
). Nakładaj¡c na ostatni¡ równo±¢ odwzorowanie
(
−
2
#
1
,
·
) otrzymujemy, »e
(
2
(
#
2
−
#
1
)
,x
)=
x
. Zatem
T
#
2
−
#
1
2
2
G
=
{
kT
:
k
2
Z
}
,
zatem musi by¢ albo
#
1
=0 i
#
2
=2
, albo
#
1
=
#
2
. Odwzorowanie (10.1)
jest zatem ró»nowarto±ciowe. Przy okazji otrzymali±my, »e
T
jest okresem
podstawowym dla ruchu.
Ci¡gło±¢ odwzorowania (10.1) jest oczywista. Teraz wykorzystujemy znany
fakt z topologii, »e odwzorowanie ci¡głe i ró»nowarto±ciowe przestrzeni
metrycznej zwartej jest homeomorzmem na swój obraz.
Ostatnim krokiem jest zauwa»enie, »e w przypadku (2)
O
(
x
)=
{
t
(
x
):
t
2
[0
,T
]
}
.
Zachodzi nast¦puj¡cy (niemal) oczywisty rezultat:
Lemat 10.4.
Niech
b¦dzie potokiem fazowym zupełnego pola wektorowego
f
klasy C
1
na obszarze D
R
N
. Wówczas
x
2
D jest punktem
stacjonarnym potoku
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
jest miejscem zerowym
pola wektorowego
f
.