11–1
11 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe.
Równania ró»niczkowe cz¡stkowe
pierwszego rz¦du.
11.1 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe. Denicje i
oznaczenia.
Równaniemró»niczkowymcz¡stkowym
nazywamy wyra»enie postaci
(RRCz)
F
(
x
1
,x
2
,...,x
n
,u,u
x
1
,u
x
2
,...,u
x
n
,u
x
1
x
1
,u
x
1
x
2
,...
)=0
,
|
{z
}
sko«czenie wiele
gdzie
u
=
u
(
x
1
,...,x
n
) jest funkcj¡ niewiadom¡, a
u
x
i
,
u
x
i
x
j
, itd., oznaczaj¡
jej pochodne cz¡stkowe. Maksymalny rz¡d pochodnej cz¡stkowej
wyst¦puj¡cej w równaniu nazywamy
rz¦dem
równania.
Je±li równanie ma rz¡d
k
, to funkcja
'
=
'
(
x
1
,...,x
n
) jest
rozwi¡zaniem
klasycznym
równania w obszarze
R
n
, gdy ma ci¡głe pochodne
cz¡stkowe do rz¦du
k
wł¡cznie w
i równo±¢ (RRCz) spełniona jest dla
wszystkich (
x
1
,...,x
n
)
2
. Niekiedy »¡da si¦ tylko aby
'
była funkcj¡
ci¡gł¡w
i miaław
ci¡głepochodne cz¡stkowe wyst¦puj¡ce w równaniu.
Rozpatruje si¦ tak»e rozwi¡zania mniej regularne, w tym tak»e nie b¦d¡ce
funkcjami ci¡głymi (rozwi¡zania
uogólnione
,
słabe
,
mocne
,
dystrybucyjne
,
lepko±ciowe
, ...). Ka»dorazowo wymaga to podania precyzyjnej denicji
poj¦cia rozwi¡zania.
Przykład
. Równanie ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego rz¦du
u
x
=0 w R
2
jest spełnione przez
u
(
x,y
)=
f
(
y
), gdzie
f
: R
!
R jest
dowoln¡
funkcj¡.
Rozwi¡zanie klasyczne powy»szego równania ma zatem posta¢
u
(
x,y
)=
f
(
y
), gdzie
f
: R
!
R jest dowoln¡ funkcj¡ klasy
C
1
(lub dowoln¡
funkcj¡ ci¡gł¡).
11.2 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego
rz¦du,
n
=2
.
W przypadku wymiaru przestrzeni
n
=2 równanie pierwszego rz¦du ma
ogóln¡ posta¢
F
(
x,y,u,u
x
,u
y
)=0
.
11–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Szczególnymi przypadkami s¡
a
(
x,y
)
u
x
+
b
(
x,y
)
u
y
=
c
(
x,y
)
u
+
f
(
x,y
)
–
równanieliniowe,
a
(
x,y
)
u
x
+
b
(
x,y
)
u
y
=
c
(
x,y,u
)
–
równaniesemiliniowe,
a
(
x,y,u
)
u
x
+
b
(
x,y,u
)
u
y
=
c
(
x,y,u
)
–
równaniequasiliniowe.
11.3 Zagadnienie Cauchy’ego dla równania
quasiliniowego
Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe quasiliniowe pierwszego rz¦du
(RRCzQ)
a
(
x,y,u
)
u
x
+
b
(
x,y,u
)
u
y
=
c
(
x,y,u
)
,
gdzie o funkcjach
a
,
b
i
c
zakładamy, »e s¡ klasy
C
1
na obszarze
R
3
.
Niech
`
2
b¦dzie krzyw¡ klasy
C
1
, bez samoprzeci¦¢, zadan¡ w postaci
parametrycznej
x
=
x
0
(
s
)
, y
=
y
0
(
s
)
, u
=
u
0
(
s
)
, s
2
[
s
1
,s
2
]
,
o tej własno±ci, »e jej rzut
`
0
na płaszczyzn¦
XOY
jest te» krzyw¡ klasy
C
1
bez samoprzeci¦¢.
1
ZagadnienieCauchy’ego
8
<
:
a
(
x,y,u
)
u
x
+
b
(
x,y,u
)
u
y
=
c
(
x,y,u
)
(ZC)
u
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))=
u
0
(
s
)
dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
polega na znalezieniu rozwi¡zania
'
=
'
(
x,y
) równania (RRCzQ),
okre±lonego w pewnym otoczeniu krzywej
`
0
i spełniaj¡cego
warunek
Cauchy’ego
:
(WC)
u
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))=
u
0
(
s
) dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
.
Interpretacja geometryczna
.
Wprowadzaj¡c oznaczenia
A
:=(
a,b,c
),
N
=(
u
x
,u
y
,
−
1), równanie
(RRCzQ) mo»na zapisa¢ jako
(11.1)
h
A
,
N
i
=0
.
Poniewa»
N
jest wektorem normalnym do powierzchni zadanej równaniem
u
=
u
(
x,y
), wiec równo±¢ (11.1) oznacza, »e wektor
A
le»y w płaszczy¹nie
1
Przypominam, »e w denicji krzywej klasy
C
1
»¡da si¦, m.in., by wektor styczny w
ka»dym punkcie krzywej był niezerowy.
Równaniaró»niczkowecz¡stkowepierwszegorz¦du
11–3
stycznej do tej powierzchni. Warunek (WC) oznacza z kolei, ze krzywa
`
le»y na powierzchni danej równaniem
u
=
u
(
x,y
). Zatem zagadnienie
Cauchy’ego polega na znalezieniu powierzchni stycznej w ka»dym swym
punkcie do zadanego pola wektorowego
A
i przechodz¡cej przez zadan¡
krzyw¡
`
w przestrzeni R
3
.
Metoda charakterystyk.
Przytoczona interpretacja geometryczna le»y u podstaw metody
znajdowania rozwi¡zania zagadnienia Cauchy’ego, zwanej
metod¡
charakterystyk
. W skrócie polega ona na tym, »e przez ka»dy punkt krzywej
`
przeprowadzamy krzyw¡, która w ka»dym swoim punkcie jest styczna do
pola wektorowego
A
. Powierzchnia utworzona przez te krzywe jest
szukanym rozwi¡zaniem zagadnienia.
Dla ustalonego
s
2
[
s
1
,s
2
] rozwa»amy nast¦puj¡ce zagadnienie pocz¡tkowe
8
<
dx
dt
=
a
(
x,y,u
)
, x
(0)=
x
0
(
s
)
,
dy
dt
=
b
(
x,y,u
)
, y
(0)=
y
0
(
s
)
,
du
dt
=
c
(
x,y,u
)
, u
(0)=
u
0
(
s
)
.
Z twierdzenia Picarda–Lindelofa dla układów równa« ró»niczkowych
zwyczajnych (Twierdzenie 6.2) wynika, »e istnieje dokładnie jedno
rozwi¡zanie
(11.2)
:
(11.3)
=
(
t,s
)
,
=
(
t,s
)
,
=
(
t,s
)
zagadnienia pocz¡tkowego (11.2), okre±lone dla
t
2
(
−
s
,
s
), gdzie
0
<
s
¬1
.
Okazuje si¦, »e odwzorowanie
[
3
(
t,s
)
7!
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
2
R
3
]
,
gdzie
[
:=
(
−
s
,
s
)
×{
s
}
,
s
2
[
s
1
,s
2
]
jest klasy
C
1
(jest to wniosek z
twierdzeniaoró»niczkowalnejzale»no±ci
rozwi¡zaniazagadnieniapocz¡tkowegodlaukładurówna«ró»niczkowych
zwyczajnychodparametru
, wyniku do±¢ technicznego).
Szukamy teraz warunku dostatecznego na to, by,
przynajmniejwpobli»u
krzywej `
, wzory (11.3), gdy (
t,s
)
2
, były równaniami parametrycznymi
11–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
pewnej powierzchni w R
3
daj¡cej si¦ przedstawi¢ jako wykres funkcji
'
=
'
(
x,y
) klasy
C
1
.
Zdeniujmy przekształcenie
:
!
R
2
, klasy
C
1
, wzorem
(
t,s
):=(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
,
(
t,s
)
2
.
Jakobian przekształcenia
w punkcie (
t,s
)
2
wyra»a si¦ wzorem
@
@t
(
t,s
)
@
@s
(
t,s
)
J
(
t,s
):=
@
@t
(
t,s
)
@
@s
(
t,s
)
Dla
t
=0 otrzymujemy
a
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
)
,u
0
(
s
))
x
0
0
(
s
)
J
(0
,s
):=
dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
.
b
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
)
,u
0
(
s
))
y
0
0
(
s
)
Na podstawie twierdzenia o funkcji odwrotnej, warunkiem dostatecznym na
to, by istniało otoczenie
D
odcinka
{
0
}×
[
s
1
,s
2
] takie, »e
|
D
jest
odwracalne, z odwzorowaniem odwrotnym (
|
D
)
−
1
:
E
1
−
1
D
klasy
C
1
,
−−
na
jest, by zachodziło
a
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
)
,u
0
(
s
))
x
0
0
(
s
)
(11.4)
6
=0
b
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
)
,u
0
(
s
))
y
0
0
(
s
)
dla ka»dego
s
2
[
s
1
,s
2
].
Zauwa»my, »e (11.4) oznacza pewien warunek na poło»enie krzywej
`
0
:
wektor styczny do
`
0
i rzut wektora
A
na płaszczyzn¦
XOY
nie mog¡ by¢
równoległe w »adnym punkcie krzywej
`
0
.
Deniujemy odwzorowanie
'
:
E
!
R, klasy
C
1
, wzorem
'
:=
(
|
D
)
−
1
.
Udowodnimy teraz, »e
'
jest rozwi¡zaniem zagadnienia Cauchy’ego (ZC).
Zapiszmy powy»sz¡ równo±¢ w postaci
'
(
x,y
)=
(
t
(
x,y
)
,s
(
x,y
))
,
(
x,y
)
2
E,
gdzie (
|
D
)
−
1
(
x,y
)=(
t
(
x,y
)
,s
(
x,y
)).Dokonuj¡c zamiany zmiennych,
otrzymujemy
'
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))=
(
t,s
)
,
(
t,s
)
2
D.
Równaniaró»niczkowecz¡stkowepierwszegorz¦du
11–5
Ró»niczkuj¡c powy»sz¡ równo±¢ po
t
, i uwzgl¦dniaj¡c równania ró»niczkowe
zwyczajne w (11.2), otrzymujemy
'
x
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
·
a
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
+
'
y
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
·
b
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
=
c
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
,
co po przej±ciu do zmiennych (
x,y
) daje
'
x
(
x,y
)
·
a
(
x,y,'
(
x,y
))+
'
y
(
x,y
)
·
b
(
x,y,'
(
x,y
))=
c
(
x,y,'
(
x,y
))
.
To, »e spełnione s¡ warunki Cauchy’ego (WC), wynika z warunków
pocz¡tkowych w (11.2).
W dalszym ci¡gu udowodnimy, ze rozwi¡zanie to jest wyznaczone
jednoznacznie w pewnym otoczeniu krzywej
`
0
. Niech
'
(
x,y
) b¦dzie
dowolnym rozwi¡zaniem zagadnienia (ZC). Wyka»emy, ze
'
(
x,y
)=
'
(
x,y
)
w pobli»u krzywej
`
0
. W zmiennych (
t,s
) równo±¢ ta jest równowa»na z
'
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))=
(
t,s
)
dla (
t,s
) z pewnego otoczenia zbioru
{
0
}×
[
s
1
,s
2
]. Dla ustalonego
s
2
[
s
1
,s
2
] rozwa»my ró»nic¦
z
(
t
):=
'
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
−
(
t,s
)
.
Mamy
z
(0)=0 oraz, ró»niczkuj¡c obustronnie wzgl¦dem
t
,
z
0
(
t
)=
'
x
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)))
·
a
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
+
'
y
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)))
·
b
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
−
c
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
,
(
t,s
))
=
'
x
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)))
·
a
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
, '
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
−
z
(
t
))
+
'
y
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)))
·
b
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
, '
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
−
z
(
t
))
−
c
(
(
t,s
)
,
(
t,s
)
, '
(
(
t,s
)
,
(
t,s
))
−
z
(
t
))
=:
F
(
t,s,z
(
t
))
.
Funkcja
z
(
t
) jest zatem rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego
8
<
:
z
0
=
F
(
t,s,z
)
z
(0)=0
.
Zauwa»my przy tym, ze
F
(
t,s,z
) i
F
z
(
t,s,z
) s¡ funkcjami ci¡głymi.
Zauwa»my ponadto, ze funkcja stale równa zeru jest rozwi¡zaniem tego