13–1
13 Równaniestrunydrgaj¡cej. Równanie
przewodnictwaciepła.
13.1 Równanie strunydrgaj¡cej
Równanieró»niczkoweliniowedrugiegorz¦dutypuhiperbolicznego
(RS)
u
tt
−
u
xx
=0
nazywamy
równaniemstrunydrgaj¡cej
.
Rozwa»myzagadnieniepocz¡tkowedlarównaniastrunydrgaj¡cej:
8
<
:
u
tt
−
u
xx
=0 w(0
,
1
)
×
R
(RS-ZP)
u
=
g
na
{
0
}×
R
u
t
=
h
na
{
0
}×
R
,
gdzie
g,h
: R
!
R s¡zadanymifunkcjami.
Niech
'
=
'
(
t,x
)b¦dzierozwi¡zaniemzagadnienia(RS-ZP).Zauwa»my,»e
mo»nazapisa¢
!
!
@t
+
@
@
@t
−
@
@
(13.1)
'
=
'
tt
−
'
xx
=0
.
@x
@x
Połó»my
!
@t
−
@
@
(13.2)
(
t,x
):=
'
(
t,x
)
.
@x
Funkcja
jestrozwi¡zaniemzagadnieniapocz¡tkowegodlaliniowego
jednorodnegorównaniatransportu
<
:
v
t
+
v
x
=0 w(0
,
1
)
×
R
(13.3)
v
(0
,x
)=
a
(
x
) dla
x
2
R
,
gdzie
a
(
x
):=
v
(0
,x
).Zgodniezewzorem(11.5)mamy
(13.4)
(
t,x
)=
a
(
x
−
t
)
, t
-
0
, x
2
R
.
Napodstawie(13.1),(13.2)i(13.4),funkcja
'
spełnialiniowe
niejednorodnerównanietransportu
u
t
−
u
x
=
a
(
x
−
t
) w(0
,
1
)
×
R
.
13–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Zgodniezewzorem(11.6)mamy
Z
t
x
+
t
Z
a
(
x
+(
t
−
s
)
−
s
)
ds
+
b
(
x
+
t
)=
1
2
(13.5)
'
(
t,x
)=
a
(
y
)
dy
+
b
(
x
+
t
)
,
0
x
−
t
gdzie
b
(
x
):=
'
(0
,x
).
Wyliczmyteraz
a
i
b
.Oczywi±cie
b
(
x
)=
g
(
x
),natomiastzdrugiego
warunkupocz¡tkowegoiwzoru(13.2)wynika,»e
a
(
x
)=
(0
,x
)=
'
t
(0
,x
)
−
'
x
(0
,x
)=
h
(
x
)
−
g
0
(
x
)
, x
2
R
.
Zatem,podstawiaj¡cpowy»szedo(13.5)otrzymujemy
x
+
t
Z
'
(
t,x
)=
1
2
(
h
(
y
)
−
g
0
(
y
))
dy
+
g
(
x
+
t
)
,
x
−
t
czyli
x
+
t
Z
'
(
t,x
)=
1
2
(
g
(
x
+
t
)
−
g
(
x
−
t
))+
1
(d’A)
h
(
y
)
dy
2
x
−
t
dla
t
-
0i
x
2
R.Wzór(d’A)nazywamy
wzoremd’Alemberta
1
.
Zachodziponi»szetwierdzenie(któregodowóduzyskujemyprzeprowadzaj¡c
bezpo±rednirachunek).
Twierdzenie 13.1.
Załó»my,»e g
: R
!
R
jestklasy C
2
i h
: R
!
R
jest
klasy C
1
.Wówczasfunkcja '
:[0
,
1
)
×
R
!
R
okre±lonawzorem
d’Alemberta
(
d’A
)
manast¦puj¡cewłasno±ci:
(i)
' jestklasy C
2
na
[0
,
1
)
×
R
;
(ii)
'
tt
(
t,x
)
−
'
xx
(
t,x
)=0
dlaka»dego
(
t,x
)
2
(0
,
1
)
×
R
;
(iii)
lim
(
t,x
)
!
(0
,x
0
)
t>
0
'
(
t,x
)=
g
(
x
0
)
oraz
lim
(
t,x
)
!
(0
,x
0
)
t>
0
'
t
(
t,x
)=
h
(
x
0
)
dlaka»dego x
0
2
R
.
1
Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783), matematyk, zyk i lozof francuski
Równaniestrunydrgaj¡cej. Równanieprzewodnictwaciepła
13–3
13.2 Równanie przewodnictwa ciepła
Równanieró»niczkoweliniowedrugiegorz¦dutypuparabolicznego
(RC)
u
t
=
u
xx
nazywamy
jednowymiarowymrównaniemprzewodnictwaciepła
.
Rozwa»mynast¦puj¡ce
zagadnieniebrzegowo-pocz¡tkowe
dla
jednowymiarowegorównaniaprzewodnictwaciepła
<
:
u
t
=
u
xx
w(0
,
1
)
×
(0
,
)
(RC-ZBP)
u
(
t,
0)=
u
(
t,
)=0 dla
t >
0
u
(0
,x
)=
u
0
(
x
)
dla
x
2
(0
,
)
,
gdzie
u
0
:(0
,
)
!
R jestzadan¡funkcj¡.
Warunek
u
(
t,
0)=
u
(
t,
)=0 dla
t >
0
nazywamy
warunkiembrzegowymtypuDirichleta
2
.Niekiedyzakładamy
te»,wmiejscewarunkuDirichleta,innegotypuwarunkibrzegowe,na
przykład
warunekbrzegowytypuNeumanna
3
:
u
x
(
t,
0)=
u
x
(
t,
)=0 dla
t >
0
,
lub
okresowywarunekbrzegowy
:
u
(
t,
0)=
u
(
t,
)oraz
u
x
(
t,
0)=
u
x
(
t,
) dla
t >
0
.
Warunek
u
(0
,x
)=
u
0
(
x
) dla
x
2
(0
,
)
nazywamy
warunkiempocz¡tkowym
.
Przejdziemyterazdometodyszukaniarozwi¡za«jednowymiarowego
równaniaprzewodnictwacieplnego,zwanej
metod¡rozdzielaniazmiennych
.
Szukamymianowicierozwi¡zaniazagadnienia
8
<
:
u
t
=
u
xx
w(0
,
1
)
×
(0
,
)
(13.6)
u
(
t,
0)=
u
(
t,
)=0 dla
t >
0
2
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), matematyk niemiecki
3
Carl Neumann (1832 – 1925), matematyk niemiecki (
nie myli¢ z
Johnem von Neu-
mannem (1903 – 1957), matematykiem ameryka«skim pochodzenia w¦gierskiego!)
13–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
wpostaci
u
(
t,x
)=
T
(
t
)
X
(
x
).Rzeczjasna,interesuj¡nasfunkcjenierówne
to»samo±ciowozeru.
Zrównania(RC)otrzymujemyzatem
dT
dt
X
=
T
d
2
X
dx
2
,
czyli
dT
dt
d
2
X
dx
2
X
.
Poniewa»lewastronazale»ytylkood
t
,za±prawastronazale»ytylkood
x
,
równo±¢powy»szamo»eby¢spełnionatylkowtedy,gdyfunkcjepoobu
stronachs¡stałymi.
Je±lichodziofunkcj¦
T
=
T
(
t
),todladowolnejstałejrzeczywistej
k
istniej¡nietrywialnerozwi¡zaniarównaniaró»niczkowegozwyczajnego
liniowegopierwszegorz¦du
T
=
dT
dt
=
kT,
amianowiciefunkcje
T
(
t
)=
ae
kt
,gdzie
a
6
=0.
Funkcja
X
=
X
(
x
)musispełnia¢równanieró»niczkowezwyczajneliniowe
drugiegorz¦du
d
2
X
dx
2
−
kX
=0
.
Ponadto,zwarunkówbrzegowychtypuDirichletawynika,»emusi
zachodzi¢
X
(0)=
X
(
)=0.
Zteoriirówna«ró»niczkowychliniowychdrugiegorz¦duostałych
współczynnikach(Wykładnr8)wynika,»e
zagadnieniebrzegowe
8
<
:
d
2
X
dx
2
−
kX
=0 na(0
,
)
X
(0)=
X
(
)=0
manietrywialnerozwi¡zaniewtedyitylkowtedy,gdy
k
=
−
n
2
,
n
=1
,
2
,
3
,....
Rozwi¡zanietakiejestpostacistałaniezerowarazysin(
nx
).
Znale¹li±mywi¦cprzeliczalniewielerozwi¡za«zagadnienia
brzegowego(13.6):
'
n
(
t,x
):=
e
−
n
2
t
sin(
nx
)
,
n
=1
,
2
,
3
,....
Równaniestrunydrgaj¡cej. Równanieprzewodnictwaciepła
13–5
Zauwa»my,»enieuwzgl¦dnili±myjeszczewarunkupocz¡tkowego
(13.7)
u
(0
,x
)=
u
0
(
x
)=0 dla
x
2
(0
,
)
.
B¦dziemyszukalirozwi¡zaniazagadnieniabrzegowo-pocz¡tkowego
(RC-ZBP)wpostaciszeregu
'
(
t,x
)=
1
c
n
'
n
(
t,x
)=
1
X
X
c
n
e
−
n
2
t
sin(
nx
)
(13.8)
n
=1
n
=1
(narazieniezajmujemysi¦zagadnieniem,wjakimsensiepowy»szyszereg
jestzbie»ny).Podstawiaj¡cwarunekpocz¡tkowy(13.7)dopowy»szego
wzoruotrzymujemy
u
0
(
x
)=
1
X
c
n
sin(
nx
)
, x
2
(0
,
)
,
n
=1
czyli
c
n
powinnyby¢współczynnikamiszeregusinusówfunkcji
u
0
,toznaczy
Z
c
n
=
2
u
0
(
x
)sin(
nx
)
dx, n
=1
,
2
,
3
,...
0
Załó»myteraz,»efunkcja
u
0
jestelementemprzestrzeniHilberta
L
2
((0
,
)),
czyli»e
Z
|
u
0
(
x
)
|
2
dx <
1
.
0
Jesttorównowa»ne
1
X
|
c
n
|
2
<
1
.
n
=1
Przypowy»szymzało»eniu,zwłasno±ciszeregówFourierawynika,»e
funkcja
'
okre±lonawzorem(13.8)manast¦puj¡cewłasno±ci:
•
'
jestci¡głana(0
,
1
)
×
[0
,
];
•
'
jestjednokrotnieró»niczkowalnawzgl¦dem
t
idwukrotnie
ró»niczkowalnawzgl¦dem
x
na(0
,
1
)
×
(0
,
);
•
'
spełniarównanieró»niczkowena(0
,
1
)
×
(0
,
);
•
'
spełniawarunekbrzegowydla
t >
0.