W EKONOMII
WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ
dr Robert Kowalczyk
Katedra Analizy Nieliniowej
Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
Definicja gry o sumie zerowej
Powiemy, że jest
grą o sumie zerowej
wtedy i tylko wtedy, gdy w
każdym wierzchołku końcowym funkcja wypłaty (
1
,
2
,…,
n
)
spełnia warunek
i=1..n
i
= 0.
Innymi słowy
: gra o sumie zerowej jest systemem zamkniętym, tzn.
jeśli ktokolwiek coś wygra, ktoś inny musi stracić.
W przypadku gier dwuosobowych będziemy podawali tylko
pierwszą współrzędną
1
i będziemy traktowali ją jako wypłatę
(formalnie wypłata drugiego gracza jest wówczas równa -
1
).
O parach strategii w równowadze
Gracz II
Twierdzenie
1
2
3
Gracz I
Niech (
1
,
1
) i (
3
,
3
) będą dwiema parami
strategii w równowadze dwuosobowej gry o sumie
zerowej. Wówczas:
1
1
4
1
(
1
,
3
) i (
3
,
1
) są też parami strategii w
równowadze,
2
-4
9
-4
(
1
,
1
) = (
3
,
3
) = (
1
,
3
) = (
3
,
1
).
G. Owen, Teoria Gier
3
1
4
1
Punkty siodłowe a punkt równowagi
Twierdzenie
Para strategii (
1,io
,
2,jo
) jest w równowadze wtedy i tylko
wtedy, gdy odpowiadający jej element (wypłata) a
io,jo
macierzy A=[a
i,j
]
i=1,..,m,j=1,..,n
jest jednocześnie największy w
swojej kolumnie i najmniejszy w swoim wierszu, tzn.
a
io,jo
= max
i=1,2,…,m
a
i,jo
= min
j=1,2,…,n
a
io,j
.
Uwaga
Każda gra dwuosobowa o sumie zerowej, która posiada punkt
siodłowy (punkt o którym mowa w powyższym twierdzeniu) posiada
rozwiązanie, tzn. punkt równowagi.
Gra dwuosobowa o sumie zerowej z punktem siodłowym
Poniższa gra posiada punkt siodłowy, a zatem ma rozwiązanie.
Gracz II
str 1
str 2
str 3
Gracz I
str 1
5
1
3
str 2
3
2
4
str 3
-3
0
1
Jej rozwiązaniem jest para strategii czystych
(str 2, str 2)
.