l
¹
idem – współczynnik przewodzenia ciepła
Zmienność współczynnika
l
z temperaturą – materiały o małej przewodności np. materiały
ceramiczne.
l
= f(
g
) – funkcja temperatury
Postać ogólna wyraża się wzorem:
l
=
l
(
+
a
g
+
b
g
2
+
c
g
3
+
....)
0
Najczęściej wystarczy przyjąć dwa pierwsze człony:
)
l
=
l
(
+
a
g
l
0
– współczynnik przewodzenia w temp. zera stopni
°
C
0
Przewodzenie przez ścianki pojedyncze, proste
g
g
1
l = l
0
(1+ag) a = 0
a > 0
a < 0
g
2
d
d
g
q
=
-
l
dx
d
g
q
=
l
(
+
a
g
)
0
dx
q
×
dx
=
-
l
(
+
a
g
)
d
g
0
Całkujemy:
a
2
qx
=
-
l
(
g
+
g
)
+
C
0
2
Z warunków brzegowych:
x = 0 ;
g
=
g
1
x =
d
;
g
=
g
2
13
a
2
0
=
-
l
(
g
+
g
)
+
C
×
(
-
1
0
1
1
2
a
2
q
d
=
-
l
(
g
+
g
)
+
C
0
2
2
2
a
2
2
q
d
=
l
(
g
-
g
)
+
(
g
-
g
)
0
1
2
1
2
2
a
q
d
=
l
(
g
-
g
)
+
(
g
-
g
)(
g
+
g
)
0
1
2
1
2
1
2
2
a
(
g
+
g
)
1
2
q
d
=
l
1
+
(
g
-
g
)
0
1
2
2
1
4 2
4 3
średnia
wartośa
lambda
l
m
g
-
g
1
2
q
=
d
l
m
C – stała obliczamy podstawiając ‘q’ do równań.
Równanie rozkładu temperatur ma postać:
}
podstawić
C
i
q
2
g
qx
=
l
(
+
a
)
+
C
⇒
g
(
x
)
=
....
0
2
Przewodzenie w prętach, prętach ożebrowanych i żebrach
Pręt o zmiennym przekroju.
g
A
dQ
ax
Q
lx
Q
lx+dx
l
g
0
(x)
t
0
Q
g
x dx x
A – powierzchnia przekroju zmienna na długości pręta A(x);
14
O – obwód (długość poboczna) przekroju O(x);
g(x) – rozkład temperatury wzdłuż pręta;
t
0
– temperatura otoczenia;
dQ
ax
– ciepła odprowadzone przez pobocznicę wycinka dx;
*
*
*
Q
=
Q
+
d
Q
a
x
a
x
l
x
+
dx
dQ
*
Q
=
Q
+
l
x
x
l
x
+
dx
l
x
dx
d
g
*
Q
=
-
A
l
l
x
dx
*
d
Q
d
d
g
l
x
=
-
l
A
dx
dx
dx
*
d
Q
=
O
×
dx
×
a
(
g
-
t
)
{
a
x
0
obwód
Podstawiając otrzymamy:
dQ
l
x
Q
=
Q
+
x
+
dQ
l
x
l
x
a
x
dx
d
d
g
-
l
A
dx
+
O
×
a
(
g
-
t
)
dx
=
0
Q
=
g
- t
0
0
dx
dx
d
d
g
O
×
a
A
=
(
g
-
t
)
1
Q
0
dx
dx
l
Równanie różniczkowe rozkładu temperatur w pręcie o dowolnej długości:
d
Q
O
×
a
A
=
×
Q
dx
dx
l
Podstawić A(x) oraz O(x).
15
PRZYKŁAD
Pręt prosty A = idem, O = idem;
g
a
A
Q
a
Q
lx
g
(x)
Q
(x)
t
0
dx x
2
d
Q
a
A
=
O
×
×
Q
2
dx
l
O
×
a
m
=
2
d
Q
O
×
a
A
×
l
=
×
Q
2
dx
A
×
l
1
2
m
Równanie różniczkowe rozkładu temperatur dla dowolnego pręta prostego ma postać:
2
d
Q
2
=
m
Q
dx
2
mx
-
mx
Q
=
C
e
+
C
e
1
2
Z warunków brzegowych wyznaczyć C
1
i C
2
.
16
Przewodzenie w pręcie prostym nieskończenie długim
Pręt prosty nieskończenie długi:
l =
¥
Warunki brzegowe:
x = 0 ;
Q
=
Q
0
x = l =
¥
;
Q
= 0
1) 2)
mx
-
m
¥
0
=
C
e
+
C
e
1
1
2
0
-
0
Q
=
C
e
+
C
e
0
1
2
musi
C
być
1
równe
zeru
Q
=
C
+
C
0
1
2
C
=
Q
2
0
Rozkład temperatur dla pręta nieskończenie długiego:
e
-
mx
Q
=
Q
0
Ilość ciepła odprowadzonego na zewnątrz z pręta:
W stanie ustalonym:
*
*
Q
x
=
Q
l
a
*
d
Q
=
O
×
dx
×
a
×
Q
a
Całkowite ciepło wyraża się wzorem:
¥
¥
¥
¥
1
[
]
*
*
=
∫
∫
∫
∫
Q
d
Q
=
O
×
dx
×
a
×
Q
=
O
×
a
Q
e
-
mx
dx
=
O
×
a
×
Q
e
-
mx
dx
=
O
×
a
×
Q
×
e
-
mx
¥
=
C
a
0
0
0
0
m
0
0
0
0
1
1
O
×
a
=
O
×
a
×
Q
(
-
0
=
Q
×
a
×
O
=
Q
×
=
Q
A
×
l
×
O
×
a
0
0
0
0
m
m
O
×
a
A
×
l
17