Egzaminy:
15 czerwiec godz. 8
15
I termin s.301 D – 1
26 czerwiec godz. 8
15
II termin s.301 D – 1
NIEUSTALONE PRZEWODZEENIE CIEPŁA PRZEZ PŁYTĘ PŁASKĄ
g
t
l
,
r
, c
g
0
=
g
(0)
g
1
=
g
(
t
1
) Q
AK
Q
x
Q
x+dx
l
l
g
2
=
g
(
t
2
)
g
= (
t
=
¥
) t
ot
-
d
/2 0 x dx
d
/2 x
Temperatura w płycie jest funkcją położenia ‘x’ I czasu ‘
t
’.(jest dwuwymiarowe)
g(x,t)
¶
g
*
*
*
*
Q
+
Q
=
Q
Q
AK
=
-
V
×
r
×
c
×
-
cieplo
akumulacji
l
x
AK
l
x
+
dx
¶
t
*
¶
d
Q
*
*
l
x
Q
=
Q
+
×
dx
V = A
×
dx
l
x
+
dx
l
x
¶
x
2
¶
g
¶
g
-
A
×
dx
×
r
×
c
×
=
-
A
×
l
×
×
dx
¶
t
2
¶
x
2
¶
g
¶
g
r
×
c
×
=
l
×
2
¶
t
¶
x
2
¶
g
l
¶
g
=
×
- równanie różniczkowe opisujące pole temperatury w płycie
2
¶
t
r
×
c
¶
x
32
l
gdzie:
c
=
a
- współczynnik wyrównania temperatury (współ. dyfuzji temperatury)
r
×
Warunki graniczne:
I.
Warunek początkowy dla zmiennej czasowej ‘
t
’:
t = 0 ; g = g
0
Warunki brzegowe:
¶g
1). x = 0;
=
0
¶
¶
g
*
Q
=
-
A
×
l
×
l
¶
x
¶
x
a
2). x =
d
/2;
+
×
g
=
0
¶
g
¶
l
-
A
×
l
×
=
A
×
a
×
(
g
-
t
)
d
OT
¶
x
d
x
-
x
=
2
2
Przyjmujemy, że t
OT
= 0 i ‘
g
’ traktujemy jako nadwyższkę temperatury nad temperaturę
otoczenia.
Rozwiązanie równania różniczkowego pola temperatur płyty płaskiej z warunkami
granicznymi I, 1), 2).
Metoda Fouriera (rozdzielania zmiennych). Zakładamy, że funkcja będąca rozwiązaniem da
się przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji:
g
(
x
,
t
)
=
X
(
x
)
×
T
(
x
)
¶
g
¶
2
g
=
X
'
×
T
;
=
X
'
'
×
T
¶
x
2
¶
x
¶
g
=
X
×
T
'
¶
t
Podstawiając pochodne cząstkowe do równania różniczkowego otrzymamy:
X
×
T
'
=
a
×
X
'
'
×
T
(
X
×
T
)
T
'
X
'
'
=
a
×
-
równanie
zachodzi
gdy
obie
strony
są
stale
T
X
{
{
funkcja
funkcja
czasu
(
t
)
polożoloż
(
x
)
Rozbijamy następnie na dwa równania:
1
T
'
X
'
'
2
2
×
=
-
m
;
=
-
m
gdzie:
m
- określona stała
a
T
X
33
Równania równowagi:
T
'
X
'
'
=
-
a
×
m
2
;
=
-
m
2
T
X
ln
T
=
-
a
×
m
2
×
t
+
c
;
X
'
'
+
m
2
X
=
0
2
-
a
×
m
×
t
T
=
C
×
e
;
X
=
A
'
×
cos(
m
x
)
+
B
'
×
sin(
m
x
)
czyli:
A
=
A
'
×
C
2
-
a
×
m
×
t
g
(
x
)
=
e
(
-
A
×
cos(
m
x
)
+
B
×
sin(
m
x
))
gdzie:
B
=
B
'
×
c
Należy wyznaczyć A, B oraz m za pomocą warunków granicznych:
1)
¶
g
2
-
a
×
m
×
t
=
e
(
-
A
×
m
×
sin(
m
x
)
+
B
×
m
×
cos(
m
x
))
¶
x
Dla x = 0 całość ma równać się zeru:
2
-
a
×
m
×
t
e
(
-
A
×
m
×
0
+
B
×
m
×
1
=
0
B
=
0
2)
d
x
=
d
a
d
2
2
-
A
×
e
-
a
×
m
×
t
×
m
sin
m
+
×
A
×
e
-
a
×
m
×
t
×
cos
m
=
0
A
2
l
2
d
a
d
d
d
m
×
sin
m
=
×
cos
m
(
)
cos
m
2
l
2
2
2
d
a
×
d
d
2
m
×
×
tg
m
×
=
2
2
1
l
{
{
p
p
LICZBA
BIOTA
Bi
p
×
tgp
=
Bi
⇒
tgp
=
p
p
m
=
d
34
tg p
p
/2 3/2
p
5/2
p
Punkty przecięcia to rozwiązania równania:
Bi
p
×
tgp
=
Wynika z tego, że jest wiele rozwiązań, a za tym idzie wiele
m
.
2
1
-
a
×
m
×
t
g
=
A
×
e
×
cos
m
x
1
1
1
¥
=
2
2
2
-
a
×
m
×
t
-
a
×
m
×
t
g
=
A
×
e
×
cos
m
x
g
=
A
×
cos
m
×
x
×
e
i
2
2
2
i
i
i
1
2
3
-
a
×
m
×
t
g
=
A
×
e
×
cos
m
x
3
3
3
Do wyznaczenia mamy A
i
:
o
; e
0
= 1
Aby wyznaczyć A
i
wykorzystujemy:
t
= 0;
g
=
g
¥
=
g
=
A
×
cos
m
×
x
×
1
×
cos
m
×
x
0
i
i
k
i
1
k – ustalony wyraz szeregu sumy
Następnie całkujemy:
d
d
2
2
¥
∑
∫
∫
g
cos
m
×
x
=
A
cos
m
×
x
×
cos
m
×
x
×
dx
0
k
i
i
k
i
=
1
0
0
obliczamy całki:
d
d
2
1
1
d
2
∫
cos
m
×
x
×
dx
=
sin
m
×
x
×
=
×
sin
m
×
k
k
k
m
m
2
k
k
0
0
35
d
2
1
1
d
d
∫
2
gdy
i
=
k
to
⇒
cos
m
×
x
×
dx
=
×
sin
2
m
×
+
d
k
k
2
m
2
2
2
2
0
k
∫
cos
m
×
x
×
cos
m
×
x
×
dx
=
i
k
d
d
0
m
tg
m
×
x
2
cos
m
×
x
×
cos
m
×
x
2
∫
k
k
gdy
i
¹
k
to
⇒
cos
m
×
x
×
cos
m
×
x
×
dx
=
i
k
i
k
2
2
-
m
tg
m
×
x
m
-
m
i
i
0
k
i
0
Końcowy wynik:
1
d
d
1
d
g
=
sin
m
=
A
(
+
sin
m
×
)
0
k
k
k
m
2
2
4
m
2
k
k
36