Marek Balcerzak
1
Wlasnosci dzialan uogolnionych na zbiorach
Twierdzenie 1. Niech fA
i
: i 2 Ig bedzie rodzina indeksowana podzbiorow
zbioru X. Wowczas:
(1)
T
i2I
A
i
S
i2I
A
0
i
Dowod (1) wynika z prawa (8i 2 I)'(i) ) (9i 2 I)'(i), zas dowod (2) z
praw de Morgana dla kwantykatorow.
Twierdzenie 2. Niech fA
i
: i 2 Ig oraz fB
i
: i 2 Ig beda rodzinami indek-
sowanymi zbiorow. Wowczas:
(1)
T
i2I
A
i
)
0
=
S
i2I
A
0
i
(
S
i2I
A
i
)
0
=
T
T
i2I
(A
i
\B
i
) =
T
i2I
A
i
\
T
i2I
B
i
S
S
S
(2)
i2I
(A
i
[B
i
) =
i2I
A
i
[
i2I
B
i
S
S
S
(3)
i2I
(A
i
\B
i
)
i2I
A
i
\
i2I
B
i
T
T
T
i2I
(A
i
[B
i
)
Dowod wynika z praw rozdzielnosci dla kwantykatorow.
Twierdzenie 3. Niech A bedzie zbiorem i niech fA
i
: i 2 Ig bedzie indek-
sowana rodzina zbiorow. Wowczas:
(1)
i2I
A
i
[
i2I
B
i
T
i2I
(A\A
i
) = A\
T
i2I
A
i
T
T
(2)
i2I
(A[A
i
) = A[
i2I
A
i
S
S
(3)
i2I
(A[A
i
) = A[
i2I
A
i
S
S
i2I
A
i
Dowod wynika z praw wlaczania i wylaczania dla kwantykatorow.
Uwaga 1. Rozwazmy rodzine indeksowana postaci fA
(i;j)
: (i;j) 2 I Jg.
Zwyczajowo taka rodzine zapisuje sie w postaci fA
i;j
: i 2 I ^j 2 Jg (albo
fA
i;j
: i 2 I;j 2 Jg.
Twierdzenie 4. Niech fA
i;j
: i 2 I;j 2 Jg bedzie rodzina indeksowana
zbiorow. Wowczas:
(1)
i2I
(A\A
i
) = A\
S
S
j2J
A
i;j
=
S
S
i2I
A
i;j
T
i2I
T
T
j2J
T
(2)
j2J
A
i;j
=
i2I
A
i;j
S
i2I
T
T
j2J
S
i2I
A
i;j
Dowod wynika z praw przestawiania dla kwantykatorow.
j2J
A
i;j
i2I
j2J
2
i2I
A
i
(2) prawa de Morgana:
(
(4)
(4)
(3)
Denicja 1. Niech fA
n
: n 2Ng bedzie ciagiem zbiorow.
Granica dolna danego ciagu zbiorow nazywamy zbior
lim inf
n2N
A
n
=
[
\
A
m
:
n=1
m=n
Mamy
x 2 lim inf
n2N
A
n
, (9n 2N)(8m n) x 2 A
m
:
Oznacza to, ze lim inf
n2N
A
n
sklada sie z tych x, ktore naleza do prawie
wszystkich zbiorow ciagu (do wszystkich z wyjatkiem skonczonej ilosci).
Granica gorna danego ciagu zbiorow nazywamy zbior
lim sup
n2N
A
n
=
\
[
A
m
:
n=1
m=n
Mamy
x 2 lim sup
n2N
A
n
, (8n 2N)(9m n) x 2 A
m
:
Oznacza to, ze lim sup
n2N
A
n
sklada sie z tych x, ktore naleza do
nieskonczenie wielu zbiorow ciagu.
Przyklad 1. Niech A
n
= (1; 1 + (1)
n
) dla n 2N. Wtedy
lim inf
n2N
A
n
= (1; 0) lim sup
n2N
A
n
= (1; 2):
Uwaga: Sume i iloczyn mozna zdeniowac dla dowolnej niepustej rodziny
zbiorow.
Denicja 2. Niech
F
bedzie niepusta rodzina zbiorow. Deniujemy:
[
F
= fx: (9A 2F
) x 2 Ag { suma rodziny
F
\
F
= fx: (8A 2F
) x 2 Ag { przekroj (iloczyn) rodziny
F
:
3
Pojecie funkcji
Denicja 3. Niech dane beda zbiory X i Y . Funkcja nazywamy podzbior
f X Y taki, ze
(?) (8x 2 X)(8y
1
;y
2
2 Y ) (((x;y
1
) 2 f ^ (x;y
2
) 2 f) ) y
1
= y
2
):
Warunek (?) oznacza, ze kazdemu x 2 X odpowiada co najwyzej jeden
y 2 Y taki, ze (x;y) 2 f. Rozwazmy zbiory
dom(f) = fx 2 X : (9y 2 Y )(x;y) 2 fg
rng(f) = fy 2 Y : (9x 2 X)(x;y) 2 fg:
Nazywamy je odpowiednio dziedzina i zbiorem wartosci funkcji f.
Kazdy element x 2 dom(f) nazywamy argumentem funkcji f, zas kazdy
element y 2 rng(f) nazywamy wartoscia funkcji f.
Z (?) i denicji dom(f) wynika, ze dla kazdego x 2 dom(f) istnieje
dokladnie jeden y 2 Y taki, ze (x;y) 2 f. Jedyny element y taki, ze (x;y) 2
f dla x 2 dom(f), oznaczamy f(x) i zamiast (x;y) 2 f piszemy y = f(x).
Jesli X = dom(f), to stosujemy zapis f : X ! Y .
Przyklad 2. Zbior f = f(x;y) 2 RR: xy = 1g jest funkcja, przy
czym dom(f) = Rnf0g oraz rng(f) = Rnf0g. Zatem f : Rnf0g!R.
Zbior f = f(x;y) 2 RR: jxj = jyjg nie jest funkcja, bo (1; 1) 2 f,
(1;1) 2 f oraz 1 6= 1.
4